MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconnln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconnln3 27406
Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn3.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconnln3.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconnln3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem tgbtwnconnln3
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwnconnln3.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
10 tgbtwnconn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
12 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg1 27383 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
144adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
168adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
1710adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
18 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
191, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18btwncolg3 27385 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
20 tgbtwnconn.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
21 tgbtwnconn3.1 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
22 tgbtwnconn3.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
231, 3, 4, 6, 10, 8, 20, 21, 22tgbtwnconn3 27405 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
2413, 19, 23mpjaodan 957 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  TarskiGcstrkg 27255  Itvcitv 27261  LineGclng 27262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-er 8644  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-s1 14476  df-s2 14729  df-s3 14730  df-trkgc 27276  df-trkgb 27277  df-trkgcb 27278  df-trkg 27281  df-cgrg 27339
This theorem is referenced by:  tglineeltr  27459
  Copyright terms: Public domain W3C validator