Theorem tgbtwnconnln3 26364

Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn3.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconn3.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
tgbtwnconnln3.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconnln3	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem tgbtwnconnln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwnconnln3.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	btwncolg1 26341	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
14	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
19	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18	btwncolg3 26343	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
20		tgbtwnconn.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
21		tgbtwnconn3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
22		tgbtwnconn3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
23	1, 3, 4, 6, 10, 8, 20, 21, 22	tgbtwnconn3 26363	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
24	13, 19, 23	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  TarskiGcstrkg 26216  Itvcitv 26222  LineGclng 26223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26234  df-trkgb 26235  df-trkgcb 26236  df-trkg 26239  df-cgrg 26297

This theorem is referenced by:  tglineeltr  26417