Theorem legov2 25898

Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legov.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legov.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem legov2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		legov.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		legov.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		legov.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	legov 25897	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
11		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
12	5	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	8	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simplr 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
15	9	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
17	6	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	7	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19		simprl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
20	1, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19	btwncolg1 25867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21		simprr 791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))
22	21	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐶 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))
23	1, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22	lnext 25879	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
24	12	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	13	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	14	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
27	15	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	17	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	18	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30		simplr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
31		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32		simpllr 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
33	32	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
34	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33	tgbtwnxfr 25842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
35	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	trgcgrcom 25840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
36	1, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35	cgr3simp3 25834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐶))
37	1, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36	tgcgrcomlr 25792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
38	34, 37	jca 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
39	38	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
40	39	reximdva 3225	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
41	23, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
42	41	adantllr 712	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
43		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
44		eleq1 2894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
45		oveq2 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 − 𝑦) = (𝐶 − 𝑧))
46	45	eqeq2d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
47	44, 46	anbi12d 626	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
48	47	cbvrexv 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
49	43, 48	sylib 210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
50	42, 49	r19.29a 3288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
51	5	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	6	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
53		simplr 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
54	7	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
55	8	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
56	9	ad2antrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
57		simprl 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
58	1, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57	btwncolg3 25869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
59		simprr 791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))
60	1, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59	lnext 25879	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
61	51	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62	52	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
63	54	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
64	53	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
65	55	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
66		simplr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
67	56	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
68		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
69	1, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68	cgr3swap23 25836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
70		simpllr 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
71	70	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
72	1, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71	tgbtwnxfr 25842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
73	1, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68	cgr3simp3 25834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐶))
74	1, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73	tgcgrcomlr 25792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))
75	72, 74	jca 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
76	75	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
77	76	reximdva 3225	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
78	60, 77	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
79	78	adantllr 712	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
80		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
81		oveq2 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
82	81	eleq2d 2892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
83		oveq2 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑧))
84	83	eqeq1d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
85	82, 84	anbi12d 626	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))))
86	85	cbvrexv 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
87	80, 86	sylib 210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
88	79, 87	r19.29a 3288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
89	50, 88	impbida 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
90	10, 89	bitrd 271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∃wrex 3118   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ⟨“cs3 13963  Basecbs 16222  distcds 16314  TarskiGcstrkg 25742  Itvcitv 25748  LineGclng 25749  cgrGccgrg 25822  ≤Gcleg 25894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-s2 13969  df-s3 13970  df-trkgc 25760  df-trkgb 25761  df-trkgcb 25762  df-trkg 25765  df-cgrg 25823  df-leg 25895

This theorem is referenced by:  legtri3  25902  legtrid  25903