Theorem legov2 28821

Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legov.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legov.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem legov2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		legov.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		legov.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		legov.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	legov 28820	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
11		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
12	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	8	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
15	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
17	6	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
20	1, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19	btwncolg1 28790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))
22	21	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐶 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))
23	1, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22	lnext 28802	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
24	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
27	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
31		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
33	32	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
34	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33	tgbtwnxfr 28765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
35	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	trgcgrcom 28763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
36	1, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35	cgr3simp3 28757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐶))
37	1, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36	tgcgrcomlr 28715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
38	34, 37	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
39	38	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
40	39	reximdva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
41	23, 40	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
42	41	adantllr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
43		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
44		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 − 𝑦) = (𝐶 − 𝑧))
45	44	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
46	43, 45	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
47	46	cbvrexvw 3250	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
48	47	bilani 509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
49	42, 48	r19.29a 3179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
50	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51	6	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
53	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
54	8	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
55	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
56		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
57	1, 11, 3, 50, 51, 53, 52, 56	btwncolg3 28792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
58		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))
59	1, 11, 3, 50, 51, 52, 53, 16, 54, 55, 2, 57, 58	lnext 28802	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
60	50	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
61	51	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	53	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
63	52	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
64	54	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
65		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
66	55	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
67		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
68	1, 2, 3, 16, 60, 61, 63, 62, 64, 66, 65, 67	cgr3swap23 28759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
69		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
70	69	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
71	1, 2, 3, 16, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 70	tgbtwnxfr 28765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
72	1, 2, 3, 16, 60, 61, 63, 62, 64, 66, 65, 67	cgr3simp3 28757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐶))
73	1, 2, 3, 60, 62, 61, 65, 64, 72	tgcgrcomlr 28715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))
74	71, 73	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
75	74	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
76	75	reximdva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
77	59, 76	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
78	77	adantllr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
79		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
80	79	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
81		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑧))
82	81	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
83	80, 82	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))))
84	83	cbvrexvw 3250	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
85	84	bilani 509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
86	78, 85	r19.29a 3179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
87	49, 86	impbida 812	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
88	10, 87	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ⟨“cs3 14879  Basecbs 17269  distcds 17319  TarskiGcstrkg 28662  Itvcitv 28668  LineGclng 28669  cgrGccgrg 28745  ≤Gcleg 28817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-trkgc 28683  df-trkgb 28684  df-trkgcb 28685  df-trkg 28688  df-cgrg 28746  df-leg 28818

This theorem is referenced by:  legtri3  28825  legtrid  28826