Theorem legov2 26947

Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legov.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legov.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem legov2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		legov.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		legov.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		legov.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	legov 26946	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
12	5	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	8	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
15	9	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
17	6	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	7	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
20	1, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19	btwncolg1 26916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))
22	21	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐶 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))
23	1, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22	lnext 26928	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
24	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
27	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	17	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
31		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
33	32	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
34	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33	tgbtwnxfr 26891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
35	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	trgcgrcom 26889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
36	1, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35	cgr3simp3 26883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐶))
37	1, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
38	34, 37	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
39	38	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
40	39	reximdva 3203	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
41	23, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
42	41	adantllr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
43		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
44		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
45		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 − 𝑦) = (𝐶 − 𝑧))
46	45	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
47	44, 46	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
48	47	cbvrexvw 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
49	43, 48	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
50	42, 49	r19.29a 3218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
51	5	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	6	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
53		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
54	7	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
55	8	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
56	9	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
57		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
58	1, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57	btwncolg3 26918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
59		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))
60	1, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59	lnext 26928	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
61	51	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62	52	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
63	54	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
64	53	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
65	55	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
66		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
67	56	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
68		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
69	1, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68	cgr3swap23 26885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
70		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
71	70	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
72	1, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71	tgbtwnxfr 26891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
73	1, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68	cgr3simp3 26883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐶))
74	1, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73	tgcgrcomlr 26841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))
75	72, 74	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
76	75	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
77	76	reximdva 3203	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
78	60, 77	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
79	78	adantllr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
80		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
81		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
82	81	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
83		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑧))
84	83	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
85	82, 84	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))))
86	85	cbvrexvw 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
87	80, 86	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
88	79, 87	r19.29a 3218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
89	50, 88	impbida 798	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
90	10, 89	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  cgrGccgrg 26871  ≤Gcleg 26943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944

This theorem is referenced by:  legtri3  26951  legtrid  26952