MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov2 28608
Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a (𝜑𝐴𝑃)
legov.b (𝜑𝐵𝑃)
legov.c (𝜑𝐶𝑃)
legov.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   (𝑥)

Proof of Theorem legov2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . 3 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legov.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 legov.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
8 legov.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
9 legov.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9legov 28607 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
11 eqid 2734 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
125ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
138ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧𝑃)
159ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐷𝑃)
16 eqid 2734 . . . . . . 7 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
176ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐴𝑃)
187ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐵𝑃)
19 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
201, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19btwncolg1 28577 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))
2221eqcomd 2740 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐶 𝑧) = (𝐴 𝐵))
231, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22lnext 28589 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
2412ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2513ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶𝑃)
2614ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧𝑃)
2715ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷𝑃)
2817ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴𝑃)
2918ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵𝑃)
30 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥𝑃)
31 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
3332simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
341, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33tgbtwnxfr 28552 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
351, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31trgcgrcom 28550 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
361, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35cgr3simp3 28544 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 𝐴) = (𝐷 𝐶))
371, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))
3834, 37jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
3938ex 412 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4039reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4123, 40mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
4241adantllr 719 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
43 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
44 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
45 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 𝑦) = (𝐶 𝑧))
4645eqeq2d 2745 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4744, 46anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
4847cbvrexvw 3235 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4943, 48sylib 218 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
5042, 49r19.29a 3159 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
515ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
526ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐴𝑃)
53 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝑧𝑃)
547ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵𝑃)
558ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐶𝑃)
569ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐷𝑃)
57 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
581, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57btwncolg3 28579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
59 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))
601, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59lnext 28589 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
6151ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6252ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴𝑃)
6354ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵𝑃)
6453ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧𝑃)
6555ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶𝑃)
66 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦𝑃)
6756ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷𝑃)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
691, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3swap23 28546 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
70 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
7170simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
721, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71tgbtwnxfr 28552 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
731, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3simp3 28544 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 𝐴) = (𝑦 𝐶))
741, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73tgcgrcomlr 28502 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))
7572, 74jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7675ex 412 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7776reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7860, 77mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7978adantllr 719 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
80 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
81 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
8281eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
83 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
8483eqeq1d 2736 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8582, 84anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))))
8685cbvrexvw 3235 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8780, 86sylib 218 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8879, 87r19.29a 3159 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
8950, 88impbida 801 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
9010, 89bitrd 279 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  ⟨“cs3 14877  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  LineGclng 28456  cgrGccgrg 28532  ≤Gcleg 28604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-cgrg 28533  df-leg 28605
This theorem is referenced by:  legtri3  28612  legtrid  28613
  Copyright terms: Public domain W3C validator