MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov2 28269
Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a (𝜑𝐴𝑃)
legov.b (𝜑𝐵𝑃)
legov.c (𝜑𝐶𝑃)
legov.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   (𝑥)

Proof of Theorem legov2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . 3 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legov.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 legov.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
8 legov.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
9 legov.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9legov 28268 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
125ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
138ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧𝑃)
159ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐷𝑃)
16 eqid 2731 . . . . . . 7 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
176ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐴𝑃)
187ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐵𝑃)
19 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
201, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19btwncolg1 28238 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))
2221eqcomd 2737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐶 𝑧) = (𝐴 𝐵))
231, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22lnext 28250 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
2412ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2513ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶𝑃)
2614ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧𝑃)
2715ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷𝑃)
2817ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴𝑃)
2918ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵𝑃)
30 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥𝑃)
31 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
3332simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
341, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33tgbtwnxfr 28213 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
351, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31trgcgrcom 28211 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
361, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35cgr3simp3 28205 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 𝐴) = (𝐷 𝐶))
371, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36tgcgrcomlr 28163 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))
3834, 37jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
3938ex 412 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4039reximdva 3167 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4123, 40mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
4241adantllr 716 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
43 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
44 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
45 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 𝑦) = (𝐶 𝑧))
4645eqeq2d 2742 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
4847cbvrexvw 3234 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4943, 48sylib 217 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
5042, 49r19.29a 3161 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
515ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
526ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐴𝑃)
53 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝑧𝑃)
547ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵𝑃)
558ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐶𝑃)
569ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐷𝑃)
57 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
581, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57btwncolg3 28240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
59 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))
601, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59lnext 28250 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
6151ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6252ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴𝑃)
6354ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵𝑃)
6453ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧𝑃)
6555ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶𝑃)
66 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦𝑃)
6756ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷𝑃)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
691, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3swap23 28207 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
70 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
7170simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
721, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71tgbtwnxfr 28213 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
731, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3simp3 28205 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 𝐴) = (𝑦 𝐶))
741, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73tgcgrcomlr 28163 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))
7572, 74jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7675ex 412 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7776reximdva 3167 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7860, 77mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7978adantllr 716 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
80 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
81 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
8281eleq2d 2818 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
83 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
8483eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8582, 84anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))))
8685cbvrexvw 3234 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8780, 86sylib 217 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8879, 87r19.29a 3161 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
8950, 88impbida 798 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
9010, 89bitrd 279 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  ⟨“cs3 14800  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28110  Itvcitv 28116  LineGclng 28117  cgrGccgrg 28193  ≤Gcleg 28265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-trkgc 28131  df-trkgb 28132  df-trkgcb 28133  df-trkg 28136  df-cgrg 28194  df-leg 28266
This theorem is referenced by:  legtri3  28273  legtrid  28274
  Copyright terms: Public domain W3C validator