Theorem legov2 28672

Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legov.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legov.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legov.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
legov2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem legov2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
5		legval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		legov.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		legov.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		legov.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	legov 28671	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
11		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
12	5	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	8	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
15	9	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
17	6	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	7	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
19		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
20	1, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19	btwncolg1 28641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))
22	21	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (𝐶 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))
23	1, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22	lnext 28653	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
24	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
27	15	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
28	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	18	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
31		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32		simpllr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
33	32	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
34	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33	tgbtwnxfr 28616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
35	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	trgcgrcom 28614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
36	1, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35	cgr3simp3 28608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐶))
37	1, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36	tgcgrcomlr 28566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
38	34, 37	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
39	38	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
40	39	reximdva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
41	23, 40	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
42	41	adantllr 725	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
43		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
44		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 − 𝑦) = (𝐶 − 𝑧))
45	44	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
46	43, 45	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧))))
47	46	cbvrexvw 3218	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
48	47	bilani 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑧)))
49	42, 48	r19.29a 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)))
50	5	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
51	6	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
52		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
53	7	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
54	8	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
55	9	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
56		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
57	1, 11, 3, 50, 51, 53, 52, 56	btwncolg3 28643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
58		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))
59	1, 11, 3, 50, 51, 52, 53, 16, 54, 55, 2, 57, 58	lnext 28653	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
60	50	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
61	51	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	53	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
63	52	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
64	54	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
65		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
66	55	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
67		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
68	1, 2, 3, 16, 60, 61, 63, 62, 64, 66, 65, 67	cgr3swap23 28610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
69		simpllr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
70	69	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
71	1, 2, 3, 16, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 70	tgbtwnxfr 28616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
72	1, 2, 3, 16, 60, 61, 63, 62, 64, 66, 65, 67	cgr3simp3 28608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐶))
73	1, 2, 3, 60, 62, 61, 65, 64, 72	tgcgrcomlr 28566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))
74	71, 73	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
75	74	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
76	75	reximdva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦))))
77	59, 76	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
78	77	adantllr 725	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
79		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
80	79	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
81		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑧))
82	81	eqeq1d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
83	80, 82	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷))))
84	83	cbvrexvw 3218	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
85	84	bilani 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 − 𝑧) = (𝐶 − 𝐷)))
86	78, 85	r19.29a 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)))
87	49, 86	impbida 806	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))
88	10, 87	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  LineGclng 28520  cgrGccgrg 28596  ≤Gcleg 28668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-cgrg 28597  df-leg 28669

This theorem is referenced by:  legtri3  28676  legtrid  28677