MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirtrcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirtrcgr 28202
Description: Point inversion of one point of a triangle around another point preserves triangle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirtrcgr.e ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
mirtrcgr.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΅)
mirtrcgr.n 𝑁 = (π‘†β€˜π‘Œ)
mirtrcgr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
mirtrcgr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
mirtrcgr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
mirtrcgr.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
mirtrcgr (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π΄)π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œ(π‘β€˜π‘‹)π‘Œπ‘β€βŸ©)

Proof of Theorem mirtrcgr
StepHypRef Expression
1 mirval.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 mirval.d . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 mirtrcgr.e . 2 ∼ = (cgrGβ€˜πΊ)
4 mirval.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
7 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
8 mirtrcgr.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
9 mirtrcgr.m . . 3 𝑀 = (π‘†β€˜π΅)
10 mirtrcgr.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
111, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 9, 10mircl 28180 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ 𝑃)
12 mirtrcgr.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
13 mirtrcgr.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
14 mirtrcgr.n . . 3 𝑁 = (π‘†β€˜π‘Œ)
15 mirtrcgr.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
161, 2, 5, 6, 7, 4, 13, 14, 15mircl 28180 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝑃)
17 mirtrcgr.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
18 mirtrcgr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œπ‘β€βŸ©)
191, 2, 5, 3, 4, 10, 8, 12, 15, 13, 17, 18cgr3simp1 28039 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝑋 βˆ’ π‘Œ))
201, 2, 5, 4, 10, 8, 15, 13, 19tgcgrcomlr 27999 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
211, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 9, 10mircgr 28176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ (π‘€β€˜π΄)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
221, 2, 5, 6, 7, 4, 13, 14, 15mircgr 28176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
2320, 21, 223eqtr4d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ (π‘€β€˜π΄)) = (π‘Œ βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)))
241, 2, 5, 4, 8, 11, 13, 16, 23tgcgrcomlr 27999 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ 𝐡) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ π‘Œ))
251, 2, 5, 3, 4, 10, 8, 12, 15, 13, 17, 18cgr3simp2 28040 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
261, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 9, 10mirbtwn 28177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((π‘€β€˜π΄)𝐼𝐴))
271, 6, 5, 4, 11, 10, 8, 26btwncolg1 28074 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((π‘€β€˜π΄)𝐿𝐴) ∨ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴))
281, 6, 5, 4, 11, 10, 8, 27colcom 28077 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐿(π‘€β€˜π΄)) ∨ 𝐴 = (π‘€β€˜π΄)))
291, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 9, 14, 10, 8, 15, 13, 19mircgrextend 28201 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ (π‘€β€˜π΄)) = (𝑋 βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)))
301, 2, 5, 4, 10, 11, 15, 16, 29tgcgrcomlr 27999 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ 𝐴) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ 𝑋))
311, 2, 3, 4, 10, 8, 11, 15, 13, 16, 19, 23, 30trgcgr 28035 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅(π‘€β€˜π΄)β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œ(π‘β€˜π‘‹)β€βŸ©)
321, 2, 5, 3, 4, 10, 8, 12, 15, 13, 17, 18cgr3simp3 28041 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝑍 βˆ’ 𝑋))
331, 2, 5, 4, 12, 10, 17, 15, 32tgcgrcomlr 27999 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝑋 βˆ’ 𝑍))
34 mirtrcgr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
351, 6, 5, 4, 10, 8, 11, 3, 15, 13, 2, 12, 16, 17, 28, 31, 33, 25, 34tgfscgr 28087 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) βˆ’ 𝐢) = ((π‘β€˜π‘‹) βˆ’ 𝑍))
361, 2, 5, 4, 11, 12, 16, 17, 35tgcgrcomlr 27999 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘€β€˜π΄)) = (𝑍 βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)))
371, 2, 3, 4, 11, 8, 12, 16, 13, 17, 24, 25, 36trgcgr 28035 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π΄)π΅πΆβ€βŸ© ∼ βŸ¨β€œ(π‘β€˜π‘‹)π‘Œπ‘β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  βŸ¨β€œcs3 14798  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27946  Itvcitv 27952  LineGclng 27953  cgrGccgrg 28029  pInvGcmir 28171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27967  df-trkgb 27968  df-trkgcb 27969  df-trkg 27972  df-cgrg 28030  df-mir 28172
This theorem is referenced by:  sacgr  28350
  Copyright terms: Public domain W3C validator