Theorem btwnhl1 29078

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl1.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl1	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐴)𝐵)

Proof of Theorem btwnhl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
2		btwnhl1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3	2	necomd 3010	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4		btwnhl1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5	4	orcd 887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
6		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
9		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ishlg 29068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐴)𝐵 ↔ (𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))))
14	1, 3, 5, 13	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐴)𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  hlGchlg 29063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-hlg 29064

This theorem is used by:  outpasch  29233  hlpasch  29234  lnopp2hpgb  29241  dfcgra2  29338  tgextahpl  33069  tgextalem1inag  33070  tgaasexc  33081  cgranbtwn  35340