Theorem btwnhl1 28860

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl1.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl1	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐴)𝐵)

Proof of Theorem btwnhl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
2		btwnhl1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3	2	necomd 3011	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4		btwnhl1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5	4	orcd 886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
6		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
9		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ishlg 28850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐴)𝐵 ↔ (𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))))
14	1, 3, 5, 13	mpbir3and 1359	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐴)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  TarskiGcstrkg 28672  Itvcitv 28678  hlGchlg 28845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-hlg 28846

This theorem is referenced by:  outpasch  29012  hlpasch  29013  lnopp2hpgb  29020  dfcgra2  29114  cgranbtwn  35022