Theorem dfcgra2 28764

Description: This is the full statement of definition 11.2 of [Schwabhauser] p. 95. This proof serves to confirm that the definition we have chosen, df-cgra 28742 is indeed equivalent to the textbook's definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dfcgra2	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐴,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐵,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐶,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐷,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐸,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐺,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐼,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝑃,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓

Proof of Theorem dfcgra2

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		dfcgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane1 28746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane2 28747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
21	20	necomd 2981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ≠ 𝐵)
22	19, 21	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane3 28748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐷)
24	23	necomd 2981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ≠ 𝐸)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane4 28749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐹)
26	25	necomd 2981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	24, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))
28		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
29		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
30	4	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
32	8	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
34		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
35	14	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
37	16	ad6antr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
38	12	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39	10	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	6	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 30, 3, 40, 32, 39, 38, 35, 37, 41	cgracom 28756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
43	28	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎))
44		dfcgra2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ − = (dist‘𝐺)
45	19	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43, 45	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑎)
47	1, 2, 3, 32, 31, 40, 30, 40, 43, 46, 45	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
48	1, 2, 3, 40, 31, 32, 30, 47	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
49	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 40, 32, 39, 42, 31, 48	cgrahl1 28750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝐶”⟩)
50	28	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
51	21	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
52	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50, 51	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑐)
53	1, 2, 3, 32, 33, 39, 30, 40, 50, 52, 51	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
54	1, 2, 3, 39, 33, 32, 30, 53	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
55	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 31, 32, 39, 49, 33, 54	cgrahl2 28751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
56	1, 2, 30, 3, 38, 35, 37, 31, 32, 33, 55	cgracom 28756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57	29	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑))
58	24	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
59	1, 44, 2, 30, 35, 38, 34, 57, 58	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑑)
60	1, 2, 3, 35, 34, 38, 30, 40, 57, 59, 58	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
61	1, 2, 3, 38, 34, 35, 30, 60	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
62	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 38, 35, 37, 56, 34, 61	cgrahl1 28750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝐹”⟩)
63	29	simprld 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
64	26	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
65	1, 44, 2, 30, 35, 37, 36, 63, 64	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑓)
66	1, 2, 3, 35, 36, 37, 30, 40, 63, 65, 64	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑓)
67	1, 2, 3, 37, 36, 35, 30, 66	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
68	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 62, 36, 67	cgrahl2 28751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
69	46	necomd 2981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ≠ 𝐵)
70	1, 2, 3, 31, 40, 32, 30, 69	hlid 28543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
71	52	necomd 2981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ≠ 𝐵)
72	1, 2, 3, 33, 40, 32, 30, 71	hlid 28543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
73	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝑎𝐼𝐵))
74	28	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷))
75	1, 44, 2, 30, 40, 31, 35, 38, 74	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
76	29	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
77	76	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑑))
78	1, 44, 2, 30, 32, 40, 38, 34, 77	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑑))
79	1, 44, 2, 30, 31, 40, 32, 35, 38, 34, 73, 57, 75, 78	tgcgrextend 28419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑑))
80	1, 44, 2, 30, 31, 32, 35, 34, 79	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑎) = (𝐸 − 𝑑))
81	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝑐𝐼𝐵))
82	28	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))
83	1, 44, 2, 30, 39, 33, 35, 37, 82	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
84	29	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
85	84	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑓))
86	1, 44, 2, 30, 32, 39, 37, 36, 85	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑓))
87	1, 44, 2, 30, 33, 39, 32, 35, 37, 36, 81, 63, 83, 86	tgcgrextend 28419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑓))
88	1, 44, 2, 30, 33, 32, 35, 36, 87	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝐸 − 𝑓))
89	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 68, 31, 44, 33, 70, 72, 80, 88	cgracgr 28752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))
90	28, 29, 89	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
91	90	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
92	91	reximdva 3147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
93	92	reximdva 3147	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
95	1, 44, 2, 4, 8, 6, 14, 12	axtgsegcon 28398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)))
96	1, 44, 2, 4, 8, 10, 14, 16	axtgsegcon 28398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))
97		reeanv 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
98	95, 96, 97	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
99	1, 44, 2, 4, 14, 12, 8, 6	axtgsegcon 28398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
100	1, 44, 2, 4, 14, 16, 8, 10	axtgsegcon 28398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
101		reeanv 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
102	99, 100, 101	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
103	98, 102	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
104		r19.41vv 3208	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
105		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
106	105	2rexbii 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
107		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
108	104, 106, 107	3bitr3i 301	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
109	108	2rexbii 3110	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
110		r19.41vv 3208	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
111	109, 110	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
112	103, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
113	112	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
114	94, 113	reximddv2 3197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
115	22, 27, 114	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
116		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
117	4	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	12	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
119	14	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
120	16	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
121	6	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
122	8	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
123	10	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
125		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
127		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
128		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
129		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
130	129	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
131		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
132	131	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧))
133	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝑧𝐼𝐸))
134	131	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
135	134	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑧))
136	1, 44, 2, 117, 122, 121, 118, 126, 135	tgcgrcomr 28412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐷))
137	129	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))
138	1, 44, 2, 117, 121, 125, 119, 118, 137	tgcgrcomr 28412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐷 − 𝐸))
139	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 126, 118, 119, 130, 133, 136, 138	tgcgrextend 28419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐸))
140	1, 44, 2, 117, 122, 125, 126, 119, 139	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑧 − 𝐸))
141	129	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦))
142	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141	tgbtwncom 28422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝑦𝐼𝐵))
143	131	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡))
144	129	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))
145	1, 44, 2, 117, 123, 124, 119, 120, 144	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
146	131	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))
147	146	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑡))
148	1, 44, 2, 117, 122, 123, 120, 127, 147	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑡))
149	1, 44, 2, 117, 124, 123, 122, 119, 120, 127, 142, 143, 145, 148	tgcgrextend 28419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑡))
150	1, 44, 2, 117, 124, 122, 119, 127, 149	tgcgrcoml 28413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑦) = (𝐸 − 𝑡))
151		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
152	1, 44, 2, 117, 125, 124, 126, 127, 151	tgcgrcomlr 28414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑡 − 𝑧))
153	1, 44, 128, 117, 125, 122, 124, 126, 119, 127, 140, 150, 152	trgcgr 28450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑧𝐸𝑡”⟩)
154		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)))
155	154	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
156	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132, 155	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑧)
157	1, 2, 3, 119, 126, 118, 117, 122, 132, 156, 155	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑧)
158	1, 2, 3, 118, 126, 119, 117, 157	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
159	154	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
160	1, 44, 2, 117, 119, 120, 127, 143, 159	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑡)
161	1, 2, 3, 119, 127, 120, 117, 122, 143, 160, 159	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑡)
162	1, 2, 3, 120, 127, 119, 117, 161	hlcomd 28538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
163	1, 2, 3, 117, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 126, 127, 153, 158, 162	iscgrad 28745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
164	1, 2, 117, 3, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 163	cgracom 28756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩)
165	154	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
166	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 130, 165	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑥)
167	1, 2, 3, 122, 125, 121, 117, 121, 130, 166, 165	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑥)
168	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 125, 122, 124, 164, 121, 167	cgrahl1 28750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑦”⟩)
169	154	simplrd 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
170	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141, 169	tgbtwnne 28424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑦)
171	1, 2, 3, 122, 124, 123, 117, 121, 141, 170, 169	btwnhl1 28546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑦)
172	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 168, 123, 171	cgrahl2 28751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
173	1, 2, 117, 3, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 172	cgracom 28756	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
174	173	adantl3r 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
175		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
176		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐸𝐼𝑑) = (𝐸𝐼𝑧))
177	176	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ↔ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧)))
178		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 − 𝑑) = (𝐷 − 𝑧))
179	178	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)))
180	177, 179	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))))
181	180	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
182		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑑 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑓))
183	182	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)))
184	181, 183	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓))))
185		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐸𝐼𝑓) = (𝐸𝐼𝑡))
186	185	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ↔ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡)))
187		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 − 𝑓) = (𝐹 − 𝑡))
188	187	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))
189	186, 188	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
190	189	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))))
191		oveq2 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝑧 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑡))
192	191	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
193	190, 192	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
194	184, 193	cbvrex2vw 3221	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
195	175, 194	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
196	174, 195	r19.29vva 3198	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
197	196	adantl3r 750	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
198		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
199		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵𝐼𝑎) = (𝐵𝐼𝑥))
200	199	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥)))
201		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − 𝑥))
202	201	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)))
203	200, 202	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))))
204	203	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
205		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑐))
206	205	eqeq1d 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
207	204, 206	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
208	207	2rexbidv 3203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
209		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐵𝐼𝑐) = (𝐵𝐼𝑦))
210	209	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ↔ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦)))
211		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑦))
212	211	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹) ↔ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))
213	210, 212	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
214	213	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))))
215		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑦))
216	215	eqeq1d 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
217	214, 216	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
218	217	2rexbidv 3203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
219	208, 218	cbvrex2vw 3221	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
220	198, 219	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
221	197, 220	r19.29vva 3198	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
222	221	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
223	116, 222	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
224	115, 223	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ⟨“cs3 14815  Basecbs 17186  distcds 17236  TarskiGcstrkg 28361  Itvcitv 28367  cgrGccgrg 28444  hlGchlg 28534  cgrAccgra 28741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-trkgc 28382  df-trkgb 28383  df-trkgcb 28384  df-trkg 28387  df-cgrg 28445  df-leg 28517  df-hlg 28535  df-cgra 28742

This theorem is referenced by: (None)