Theorem dfcgra2 28809

Description: This is the full statement of definition 11.2 of [Schwabhauser] p. 95. This proof serves to confirm that the definition we have chosen, df-cgra 28787 is indeed equivalent to the textbook's definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dfcgra2	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐴,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐵,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐶,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐷,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐸,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐺,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐼,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝑃,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓

Proof of Theorem dfcgra2

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		dfcgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane1 28791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane2 28792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
21	20	necomd 2984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ≠ 𝐵)
22	19, 21	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane3 28793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐷)
24	23	necomd 2984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ≠ 𝐸)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane4 28794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐹)
26	25	necomd 2984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	24, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))
28		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
29		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
30	4	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
32	8	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
34		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
35	14	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
37	16	ad6antr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
38	12	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39	10	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	6	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 30, 3, 40, 32, 39, 38, 35, 37, 41	cgracom 28801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
43	28	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎))
44		dfcgra2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ − = (dist‘𝐺)
45	19	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43, 45	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑎)
47	1, 2, 3, 32, 31, 40, 30, 40, 43, 46, 45	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
48	1, 2, 3, 40, 31, 32, 30, 47	hlcomd 28583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
49	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 40, 32, 39, 42, 31, 48	cgrahl1 28795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝐶”⟩)
50	28	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
51	21	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
52	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50, 51	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑐)
53	1, 2, 3, 32, 33, 39, 30, 40, 50, 52, 51	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
54	1, 2, 3, 39, 33, 32, 30, 53	hlcomd 28583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
55	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 31, 32, 39, 49, 33, 54	cgrahl2 28796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
56	1, 2, 30, 3, 38, 35, 37, 31, 32, 33, 55	cgracom 28801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57	29	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑))
58	24	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
59	1, 44, 2, 30, 35, 38, 34, 57, 58	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑑)
60	1, 2, 3, 35, 34, 38, 30, 40, 57, 59, 58	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
61	1, 2, 3, 38, 34, 35, 30, 60	hlcomd 28583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
62	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 38, 35, 37, 56, 34, 61	cgrahl1 28795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝐹”⟩)
63	29	simprld 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
64	26	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
65	1, 44, 2, 30, 35, 37, 36, 63, 64	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑓)
66	1, 2, 3, 35, 36, 37, 30, 40, 63, 65, 64	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑓)
67	1, 2, 3, 37, 36, 35, 30, 66	hlcomd 28583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
68	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 62, 36, 67	cgrahl2 28796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
69	46	necomd 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ≠ 𝐵)
70	1, 2, 3, 31, 40, 32, 30, 69	hlid 28588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
71	52	necomd 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ≠ 𝐵)
72	1, 2, 3, 33, 40, 32, 30, 71	hlid 28588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
73	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝑎𝐼𝐵))
74	28	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷))
75	1, 44, 2, 30, 40, 31, 35, 38, 74	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
76	29	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
77	76	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑑))
78	1, 44, 2, 30, 32, 40, 38, 34, 77	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑑))
79	1, 44, 2, 30, 31, 40, 32, 35, 38, 34, 73, 57, 75, 78	tgcgrextend 28464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑑))
80	1, 44, 2, 30, 31, 32, 35, 34, 79	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑎) = (𝐸 − 𝑑))
81	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝑐𝐼𝐵))
82	28	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))
83	1, 44, 2, 30, 39, 33, 35, 37, 82	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
84	29	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
85	84	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑓))
86	1, 44, 2, 30, 32, 39, 37, 36, 85	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑓))
87	1, 44, 2, 30, 33, 39, 32, 35, 37, 36, 81, 63, 83, 86	tgcgrextend 28464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑓))
88	1, 44, 2, 30, 33, 32, 35, 36, 87	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝐸 − 𝑓))
89	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 68, 31, 44, 33, 70, 72, 80, 88	cgracgr 28797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))
90	28, 29, 89	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
91	90	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
92	91	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
93	92	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
95	1, 44, 2, 4, 8, 6, 14, 12	axtgsegcon 28443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)))
96	1, 44, 2, 4, 8, 10, 14, 16	axtgsegcon 28443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))
97		reeanv 3205	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
98	95, 96, 97	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
99	1, 44, 2, 4, 14, 12, 8, 6	axtgsegcon 28443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
100	1, 44, 2, 4, 14, 16, 8, 10	axtgsegcon 28443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
101		reeanv 3205	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
102	99, 100, 101	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
103	98, 102	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
104		r19.41vv 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
105		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
106	105	2rexbii 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
107		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
108	104, 106, 107	3bitr3i 301	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
109	108	2rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
110		r19.41vv 3203	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
111	109, 110	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
112	103, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
113	112	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
114	94, 113	reximddv2 3192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
115	22, 27, 114	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
116		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
117	4	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	12	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
119	14	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
120	16	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
121	6	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
122	8	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
123	10	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
125		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
127		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
128		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
129		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
130	129	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
131		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
132	131	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧))
133	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝑧𝐼𝐸))
134	131	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
135	134	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑧))
136	1, 44, 2, 117, 122, 121, 118, 126, 135	tgcgrcomr 28457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐷))
137	129	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))
138	1, 44, 2, 117, 121, 125, 119, 118, 137	tgcgrcomr 28457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐷 − 𝐸))
139	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 126, 118, 119, 130, 133, 136, 138	tgcgrextend 28464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐸))
140	1, 44, 2, 117, 122, 125, 126, 119, 139	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑧 − 𝐸))
141	129	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦))
142	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝑦𝐼𝐵))
143	131	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡))
144	129	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))
145	1, 44, 2, 117, 123, 124, 119, 120, 144	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
146	131	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))
147	146	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑡))
148	1, 44, 2, 117, 122, 123, 120, 127, 147	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑡))
149	1, 44, 2, 117, 124, 123, 122, 119, 120, 127, 142, 143, 145, 148	tgcgrextend 28464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑡))
150	1, 44, 2, 117, 124, 122, 119, 127, 149	tgcgrcoml 28458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑦) = (𝐸 − 𝑡))
151		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
152	1, 44, 2, 117, 125, 124, 126, 127, 151	tgcgrcomlr 28459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑡 − 𝑧))
153	1, 44, 128, 117, 125, 122, 124, 126, 119, 127, 140, 150, 152	trgcgr 28495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑧𝐸𝑡”⟩)
154		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)))
155	154	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
156	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132, 155	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑧)
157	1, 2, 3, 119, 126, 118, 117, 122, 132, 156, 155	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑧)
158	1, 2, 3, 118, 126, 119, 117, 157	hlcomd 28583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
159	154	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
160	1, 44, 2, 117, 119, 120, 127, 143, 159	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑡)
161	1, 2, 3, 119, 127, 120, 117, 122, 143, 160, 159	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑡)
162	1, 2, 3, 120, 127, 119, 117, 161	hlcomd 28583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
163	1, 2, 3, 117, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 126, 127, 153, 158, 162	iscgrad 28790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
164	1, 2, 117, 3, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 163	cgracom 28801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩)
165	154	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
166	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 130, 165	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑥)
167	1, 2, 3, 122, 125, 121, 117, 121, 130, 166, 165	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑥)
168	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 125, 122, 124, 164, 121, 167	cgrahl1 28795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑦”⟩)
169	154	simplrd 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
170	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141, 169	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑦)
171	1, 2, 3, 122, 124, 123, 117, 121, 141, 170, 169	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑦)
172	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 168, 123, 171	cgrahl2 28796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
173	1, 2, 117, 3, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 172	cgracom 28801	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
174	173	adantl3r 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
175		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
176		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐸𝐼𝑑) = (𝐸𝐼𝑧))
177	176	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ↔ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧)))
178		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 − 𝑑) = (𝐷 − 𝑧))
179	178	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)))
180	177, 179	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))))
181	180	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
182		oveq1 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑑 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑓))
183	182	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)))
184	181, 183	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓))))
185		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐸𝐼𝑓) = (𝐸𝐼𝑡))
186	185	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ↔ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡)))
187		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 − 𝑓) = (𝐹 − 𝑡))
188	187	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))
189	186, 188	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
190	189	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))))
191		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝑧 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑡))
192	191	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
193	190, 192	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
194	184, 193	cbvrex2vw 3216	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
195	175, 194	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
196	174, 195	r19.29vva 3193	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
197	196	adantl3r 750	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
198		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
199		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵𝐼𝑎) = (𝐵𝐼𝑥))
200	199	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥)))
201		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − 𝑥))
202	201	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)))
203	200, 202	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))))
204	203	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
205		oveq1 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑐))
206	205	eqeq1d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
207	204, 206	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
208	207	2rexbidv 3198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
209		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐵𝐼𝑐) = (𝐵𝐼𝑦))
210	209	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ↔ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦)))
211		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑦))
212	211	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹) ↔ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))
213	210, 212	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
214	213	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))))
215		oveq2 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑦))
216	215	eqeq1d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
217	214, 216	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
218	217	2rexbidv 3198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
219	208, 218	cbvrex2vw 3216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
220	198, 219	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
221	197, 220	r19.29vva 3193	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
222	221	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
223	116, 222	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
224	115, 223	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ⟨“cs3 14751  Basecbs 17122  distcds 17172  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  cgrGccgrg 28489  hlGchlg 28579  cgrAccgra 28786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757  df-s3 14758  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkg 28432  df-cgrg 28490  df-leg 28562  df-hlg 28580  df-cgra 28787

This theorem is referenced by: (None)