Theorem dfcgra2 28757

Description: This is the full statement of definition 11.2 of [Schwabhauser] p. 95. This proof serves to confirm that the definition we have chosen, df-cgra 28735 is indeed equivalent to the textbook's definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dfcgra2	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐴,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐵,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐶,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐷,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐸,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐺,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐼,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝑃,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓

Proof of Theorem dfcgra2

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		dfcgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane1 28739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane2 28740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
21	20	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ≠ 𝐵)
22	19, 21	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane3 28741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐷)
24	23	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ≠ 𝐸)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane4 28742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐹)
26	25	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	24, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))
28		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
29		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
30	4	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
32	8	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
34		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
35	14	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
37	16	ad6antr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
38	12	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39	10	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	6	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 30, 3, 40, 32, 39, 38, 35, 37, 41	cgracom 28749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
43	28	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎))
44		dfcgra2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ − = (dist‘𝐺)
45	19	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43, 45	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑎)
47	1, 2, 3, 32, 31, 40, 30, 40, 43, 46, 45	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
48	1, 2, 3, 40, 31, 32, 30, 47	hlcomd 28531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
49	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 40, 32, 39, 42, 31, 48	cgrahl1 28743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝐶”⟩)
50	28	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
51	21	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
52	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50, 51	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑐)
53	1, 2, 3, 32, 33, 39, 30, 40, 50, 52, 51	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
54	1, 2, 3, 39, 33, 32, 30, 53	hlcomd 28531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
55	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 31, 32, 39, 49, 33, 54	cgrahl2 28744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
56	1, 2, 30, 3, 38, 35, 37, 31, 32, 33, 55	cgracom 28749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57	29	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑))
58	24	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
59	1, 44, 2, 30, 35, 38, 34, 57, 58	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑑)
60	1, 2, 3, 35, 34, 38, 30, 40, 57, 59, 58	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
61	1, 2, 3, 38, 34, 35, 30, 60	hlcomd 28531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
62	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 38, 35, 37, 56, 34, 61	cgrahl1 28743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝐹”⟩)
63	29	simprld 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
64	26	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
65	1, 44, 2, 30, 35, 37, 36, 63, 64	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑓)
66	1, 2, 3, 35, 36, 37, 30, 40, 63, 65, 64	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑓)
67	1, 2, 3, 37, 36, 35, 30, 66	hlcomd 28531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
68	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 62, 36, 67	cgrahl2 28744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
69	46	necomd 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ≠ 𝐵)
70	1, 2, 3, 31, 40, 32, 30, 69	hlid 28536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
71	52	necomd 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ≠ 𝐵)
72	1, 2, 3, 33, 40, 32, 30, 71	hlid 28536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
73	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43	tgbtwncom 28415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝑎𝐼𝐵))
74	28	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷))
75	1, 44, 2, 30, 40, 31, 35, 38, 74	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
76	29	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
77	76	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑑))
78	1, 44, 2, 30, 32, 40, 38, 34, 77	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑑))
79	1, 44, 2, 30, 31, 40, 32, 35, 38, 34, 73, 57, 75, 78	tgcgrextend 28412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑑))
80	1, 44, 2, 30, 31, 32, 35, 34, 79	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑎) = (𝐸 − 𝑑))
81	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50	tgbtwncom 28415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝑐𝐼𝐵))
82	28	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))
83	1, 44, 2, 30, 39, 33, 35, 37, 82	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
84	29	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
85	84	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑓))
86	1, 44, 2, 30, 32, 39, 37, 36, 85	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑓))
87	1, 44, 2, 30, 33, 39, 32, 35, 37, 36, 81, 63, 83, 86	tgcgrextend 28412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑓))
88	1, 44, 2, 30, 33, 32, 35, 36, 87	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝐸 − 𝑓))
89	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 68, 31, 44, 33, 70, 72, 80, 88	cgracgr 28745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))
90	28, 29, 89	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
91	90	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
92	91	reximdva 3146	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
93	92	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
95	1, 44, 2, 4, 8, 6, 14, 12	axtgsegcon 28391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)))
96	1, 44, 2, 4, 8, 10, 14, 16	axtgsegcon 28391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))
97		reeanv 3209	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
98	95, 96, 97	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
99	1, 44, 2, 4, 14, 12, 8, 6	axtgsegcon 28391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
100	1, 44, 2, 4, 14, 16, 8, 10	axtgsegcon 28391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
101		reeanv 3209	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
102	99, 100, 101	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
103	98, 102	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
104		r19.41vv 3207	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
105		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
106	105	2rexbii 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
107		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
108	104, 106, 107	3bitr3i 301	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
109	108	2rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
110		r19.41vv 3207	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
111	109, 110	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
112	103, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
113	112	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
114	94, 113	reximddv2 3196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
115	22, 27, 114	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
116		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
117	4	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	12	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
119	14	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
120	16	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
121	6	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
122	8	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
123	10	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
125		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
127		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
128		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
129		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
130	129	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
131		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
132	131	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧))
133	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132	tgbtwncom 28415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝑧𝐼𝐸))
134	131	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
135	134	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑧))
136	1, 44, 2, 117, 122, 121, 118, 126, 135	tgcgrcomr 28405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐷))
137	129	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))
138	1, 44, 2, 117, 121, 125, 119, 118, 137	tgcgrcomr 28405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐷 − 𝐸))
139	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 126, 118, 119, 130, 133, 136, 138	tgcgrextend 28412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐸))
140	1, 44, 2, 117, 122, 125, 126, 119, 139	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑧 − 𝐸))
141	129	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦))
142	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141	tgbtwncom 28415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝑦𝐼𝐵))
143	131	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡))
144	129	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))
145	1, 44, 2, 117, 123, 124, 119, 120, 144	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
146	131	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))
147	146	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑡))
148	1, 44, 2, 117, 122, 123, 120, 127, 147	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑡))
149	1, 44, 2, 117, 124, 123, 122, 119, 120, 127, 142, 143, 145, 148	tgcgrextend 28412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑡))
150	1, 44, 2, 117, 124, 122, 119, 127, 149	tgcgrcoml 28406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑦) = (𝐸 − 𝑡))
151		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
152	1, 44, 2, 117, 125, 124, 126, 127, 151	tgcgrcomlr 28407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑡 − 𝑧))
153	1, 44, 128, 117, 125, 122, 124, 126, 119, 127, 140, 150, 152	trgcgr 28443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑧𝐸𝑡”⟩)
154		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)))
155	154	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
156	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132, 155	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑧)
157	1, 2, 3, 119, 126, 118, 117, 122, 132, 156, 155	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑧)
158	1, 2, 3, 118, 126, 119, 117, 157	hlcomd 28531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
159	154	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
160	1, 44, 2, 117, 119, 120, 127, 143, 159	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑡)
161	1, 2, 3, 119, 127, 120, 117, 122, 143, 160, 159	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑡)
162	1, 2, 3, 120, 127, 119, 117, 161	hlcomd 28531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
163	1, 2, 3, 117, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 126, 127, 153, 158, 162	iscgrad 28738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
164	1, 2, 117, 3, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 163	cgracom 28749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩)
165	154	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
166	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 130, 165	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑥)
167	1, 2, 3, 122, 125, 121, 117, 121, 130, 166, 165	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑥)
168	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 125, 122, 124, 164, 121, 167	cgrahl1 28743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑦”⟩)
169	154	simplrd 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
170	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141, 169	tgbtwnne 28417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑦)
171	1, 2, 3, 122, 124, 123, 117, 121, 141, 170, 169	btwnhl1 28539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑦)
172	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 168, 123, 171	cgrahl2 28744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
173	1, 2, 117, 3, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 172	cgracom 28749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
174	173	adantl3r 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
175		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
176		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐸𝐼𝑑) = (𝐸𝐼𝑧))
177	176	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ↔ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧)))
178		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 − 𝑑) = (𝐷 − 𝑧))
179	178	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)))
180	177, 179	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))))
181	180	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
182		oveq1 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑑 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑓))
183	182	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)))
184	181, 183	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓))))
185		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐸𝐼𝑓) = (𝐸𝐼𝑡))
186	185	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ↔ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡)))
187		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 − 𝑓) = (𝐹 − 𝑡))
188	187	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))
189	186, 188	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
190	189	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))))
191		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝑧 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑡))
192	191	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
193	190, 192	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
194	184, 193	cbvrex2vw 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
195	175, 194	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
196	174, 195	r19.29vva 3197	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
197	196	adantl3r 750	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
198		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
199		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵𝐼𝑎) = (𝐵𝐼𝑥))
200	199	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥)))
201		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − 𝑥))
202	201	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)))
203	200, 202	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))))
204	203	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
205		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑐))
206	205	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
207	204, 206	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
208	207	2rexbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
209		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐵𝐼𝑐) = (𝐵𝐼𝑦))
210	209	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ↔ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦)))
211		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑦))
212	211	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹) ↔ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))
213	210, 212	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
214	213	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))))
215		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑦))
216	215	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
217	214, 216	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
218	217	2rexbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
219	208, 218	cbvrex2vw 3220	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
220	198, 219	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
221	197, 220	r19.29vva 3197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
222	221	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
223	116, 222	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
224	115, 223	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ⟨“cs3 14808  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  cgrGccgrg 28437  hlGchlg 28527  cgrAccgra 28734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-leg 28510  df-hlg 28528  df-cgra 28735

This theorem is referenced by: (None)