Theorem dfcgra2 28775

Description: This is the full statement of definition 11.2 of [Schwabhauser] p. 95. This proof serves to confirm that the definition we have chosen, df-cgra 28753 is indeed equivalent to the textbook's definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dfcgra2	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐴,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐵,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐶,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐷,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐸,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐺,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐼,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝑃,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓

Proof of Theorem dfcgra2

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		dfcgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane1 28757	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane2 28758	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
21	20	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ≠ 𝐵)
22	19, 21	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane3 28759	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐷)
24	23	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ≠ 𝐸)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane4 28760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐹)
26	25	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	24, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))
28		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
29		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
30	4	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
32	8	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
34		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
35	14	ad6antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
37	16	ad6antr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
38	12	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39	10	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	6	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 30, 3, 40, 32, 39, 38, 35, 37, 41	cgracom 28767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
43	28	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎))
44		dfcgra2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ − = (dist‘𝐺)
45	19	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43, 45	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑎)
47	1, 2, 3, 32, 31, 40, 30, 40, 43, 46, 45	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
48	1, 2, 3, 40, 31, 32, 30, 47	hlcomd 28549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
49	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 40, 32, 39, 42, 31, 48	cgrahl1 28761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝐶”⟩)
50	28	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
51	21	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
52	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50, 51	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑐)
53	1, 2, 3, 32, 33, 39, 30, 40, 50, 52, 51	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
54	1, 2, 3, 39, 33, 32, 30, 53	hlcomd 28549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
55	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 31, 32, 39, 49, 33, 54	cgrahl2 28762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
56	1, 2, 30, 3, 38, 35, 37, 31, 32, 33, 55	cgracom 28767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57	29	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑))
58	24	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
59	1, 44, 2, 30, 35, 38, 34, 57, 58	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑑)
60	1, 2, 3, 35, 34, 38, 30, 40, 57, 59, 58	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
61	1, 2, 3, 38, 34, 35, 30, 60	hlcomd 28549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
62	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 38, 35, 37, 56, 34, 61	cgrahl1 28761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝐹”⟩)
63	29	simprld 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
64	26	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
65	1, 44, 2, 30, 35, 37, 36, 63, 64	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑓)
66	1, 2, 3, 35, 36, 37, 30, 40, 63, 65, 64	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑓)
67	1, 2, 3, 37, 36, 35, 30, 66	hlcomd 28549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
68	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 62, 36, 67	cgrahl2 28762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
69	46	necomd 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ≠ 𝐵)
70	1, 2, 3, 31, 40, 32, 30, 69	hlid 28554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
71	52	necomd 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ≠ 𝐵)
72	1, 2, 3, 33, 40, 32, 30, 71	hlid 28554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
73	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43	tgbtwncom 28433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝑎𝐼𝐵))
74	28	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷))
75	1, 44, 2, 30, 40, 31, 35, 38, 74	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
76	29	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
77	76	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑑))
78	1, 44, 2, 30, 32, 40, 38, 34, 77	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑑))
79	1, 44, 2, 30, 31, 40, 32, 35, 38, 34, 73, 57, 75, 78	tgcgrextend 28430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑑))
80	1, 44, 2, 30, 31, 32, 35, 34, 79	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑎) = (𝐸 − 𝑑))
81	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50	tgbtwncom 28433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝑐𝐼𝐵))
82	28	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))
83	1, 44, 2, 30, 39, 33, 35, 37, 82	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
84	29	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
85	84	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑓))
86	1, 44, 2, 30, 32, 39, 37, 36, 85	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑓))
87	1, 44, 2, 30, 33, 39, 32, 35, 37, 36, 81, 63, 83, 86	tgcgrextend 28430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑓))
88	1, 44, 2, 30, 33, 32, 35, 36, 87	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝐸 − 𝑓))
89	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 68, 31, 44, 33, 70, 72, 80, 88	cgracgr 28763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))
90	28, 29, 89	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
91	90	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
92	91	reximdva 3142	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
93	92	reximdva 3142	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
95	1, 44, 2, 4, 8, 6, 14, 12	axtgsegcon 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)))
96	1, 44, 2, 4, 8, 10, 14, 16	axtgsegcon 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))
97		reeanv 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
98	95, 96, 97	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
99	1, 44, 2, 4, 14, 12, 8, 6	axtgsegcon 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
100	1, 44, 2, 4, 14, 16, 8, 10	axtgsegcon 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
101		reeanv 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
102	99, 100, 101	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
103	98, 102	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
104		r19.41vv 3199	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
105		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
106	105	2rexbii 3105	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
107		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
108	104, 106, 107	3bitr3i 301	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
109	108	2rexbii 3105	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
110		r19.41vv 3199	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
111	109, 110	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
112	103, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
113	112	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
114	94, 113	reximddv2 3188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
115	22, 27, 114	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
116		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
117	4	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	12	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
119	14	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
120	16	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
121	6	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
122	8	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
123	10	ad6antr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
125		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
127		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
128		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
129		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
130	129	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
131		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
132	131	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧))
133	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132	tgbtwncom 28433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝑧𝐼𝐸))
134	131	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
135	134	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑧))
136	1, 44, 2, 117, 122, 121, 118, 126, 135	tgcgrcomr 28423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐷))
137	129	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))
138	1, 44, 2, 117, 121, 125, 119, 118, 137	tgcgrcomr 28423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐷 − 𝐸))
139	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 126, 118, 119, 130, 133, 136, 138	tgcgrextend 28430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐸))
140	1, 44, 2, 117, 122, 125, 126, 119, 139	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑧 − 𝐸))
141	129	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦))
142	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141	tgbtwncom 28433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝑦𝐼𝐵))
143	131	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡))
144	129	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))
145	1, 44, 2, 117, 123, 124, 119, 120, 144	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
146	131	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))
147	146	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑡))
148	1, 44, 2, 117, 122, 123, 120, 127, 147	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑡))
149	1, 44, 2, 117, 124, 123, 122, 119, 120, 127, 142, 143, 145, 148	tgcgrextend 28430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑡))
150	1, 44, 2, 117, 124, 122, 119, 127, 149	tgcgrcoml 28424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑦) = (𝐸 − 𝑡))
151		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
152	1, 44, 2, 117, 125, 124, 126, 127, 151	tgcgrcomlr 28425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑡 − 𝑧))
153	1, 44, 128, 117, 125, 122, 124, 126, 119, 127, 140, 150, 152	trgcgr 28461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑧𝐸𝑡”⟩)
154		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)))
155	154	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
156	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132, 155	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑧)
157	1, 2, 3, 119, 126, 118, 117, 122, 132, 156, 155	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑧)
158	1, 2, 3, 118, 126, 119, 117, 157	hlcomd 28549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
159	154	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
160	1, 44, 2, 117, 119, 120, 127, 143, 159	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑡)
161	1, 2, 3, 119, 127, 120, 117, 122, 143, 160, 159	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑡)
162	1, 2, 3, 120, 127, 119, 117, 161	hlcomd 28549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
163	1, 2, 3, 117, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 126, 127, 153, 158, 162	iscgrad 28756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
164	1, 2, 117, 3, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 163	cgracom 28767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩)
165	154	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
166	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 130, 165	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑥)
167	1, 2, 3, 122, 125, 121, 117, 121, 130, 166, 165	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑥)
168	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 125, 122, 124, 164, 121, 167	cgrahl1 28761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑦”⟩)
169	154	simplrd 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
170	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141, 169	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑦)
171	1, 2, 3, 122, 124, 123, 117, 121, 141, 170, 169	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑦)
172	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 168, 123, 171	cgrahl2 28762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
173	1, 2, 117, 3, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 172	cgracom 28767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
174	173	adantl3r 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
175		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
176		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐸𝐼𝑑) = (𝐸𝐼𝑧))
177	176	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ↔ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧)))
178		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 − 𝑑) = (𝐷 − 𝑧))
179	178	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)))
180	177, 179	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))))
181	180	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
182		oveq1 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑑 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑓))
183	182	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)))
184	181, 183	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓))))
185		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐸𝐼𝑓) = (𝐸𝐼𝑡))
186	185	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ↔ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡)))
187		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 − 𝑓) = (𝐹 − 𝑡))
188	187	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))
189	186, 188	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
190	189	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))))
191		oveq2 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝑧 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑡))
192	191	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
193	190, 192	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
194	184, 193	cbvrex2vw 3212	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
195	175, 194	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
196	174, 195	r19.29vva 3189	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
197	196	adantl3r 750	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
198		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
199		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵𝐼𝑎) = (𝐵𝐼𝑥))
200	199	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥)))
201		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − 𝑥))
202	201	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)))
203	200, 202	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))))
204	203	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
205		oveq1 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑐))
206	205	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
207	204, 206	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
208	207	2rexbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
209		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐵𝐼𝑐) = (𝐵𝐼𝑦))
210	209	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ↔ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦)))
211		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑦))
212	211	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹) ↔ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))
213	210, 212	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
214	213	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))))
215		oveq2 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑦))
216	215	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
217	214, 216	3anbi13d 1440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
218	217	2rexbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
219	208, 218	cbvrex2vw 3212	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
220	198, 219	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
221	197, 220	r19.29vva 3189	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
222	221	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
223	116, 222	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
224	115, 223	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ⟨“cs3 14749  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  cgrGccgrg 28455  hlGchlg 28545  cgrAccgra 28752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgb 28394  df-trkgcb 28395  df-trkg 28398  df-cgrg 28456  df-leg 28528  df-hlg 28546  df-cgra 28753

This theorem is referenced by: (None)