Theorem dfcgra2 28856

Description: This is the full statement of definition 11.2 of [Schwabhauser] p. 95. This proof serves to confirm that the definition we have chosen, df-cgra 28834 is indeed equivalent to the textbook's definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dfcgra2	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐴,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐵,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐶,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐷,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐸,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐺,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝐼,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝑃,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑,𝑓

Proof of Theorem dfcgra2

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		dfcgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		dfcgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		dfcgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		dfcgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		dfcgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		dfcgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane1 28838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane2 28839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐵 ≠ 𝐶)
21	20	necomd 3002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐶 ≠ 𝐵)
22	19, 21	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane3 28840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐷)
24	23	necomd 3002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐷 ≠ 𝐸)
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	cgrane4 28841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐸 ≠ 𝐹)
26	25	necomd 3002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝐹 ≠ 𝐸)
27	24, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))
28		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
29		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
30	4	ad6antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ∈ 𝑃)
32	8	ad6antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
34		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑 ∈ 𝑃)
35	14	ad6antr 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
36		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
37	16	ad6antr 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
38	12	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39	10	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	6	ad6antr 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 30, 3, 40, 32, 39, 38, 35, 37, 41	cgracom 28848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
43	28	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎))
44		dfcgra2.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ − = (dist‘𝐺)
45	19	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43, 45	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑎)
47	1, 2, 3, 32, 31, 40, 30, 40, 43, 46, 45	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
48	1, 2, 3, 40, 31, 32, 30, 47	hlcomd 28630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
49	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 40, 32, 39, 42, 31, 48	cgrahl1 28842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝐶”⟩)
50	28	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
51	21	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
52	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50, 51	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐵 ≠ 𝑐)
53	1, 2, 3, 32, 33, 39, 30, 40, 50, 52, 51	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
54	1, 2, 3, 39, 33, 32, 30, 53	hlcomd 28630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
55	1, 2, 3, 30, 38, 35, 37, 31, 32, 39, 49, 33, 54	cgrahl2 28843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
56	1, 2, 30, 3, 38, 35, 37, 31, 32, 33, 55	cgracom 28848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57	29	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑))
58	24	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
59	1, 44, 2, 30, 35, 38, 34, 57, 58	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑑)
60	1, 2, 3, 35, 34, 38, 30, 40, 57, 59, 58	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑑)
61	1, 2, 3, 38, 34, 35, 30, 60	hlcomd 28630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑑((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
62	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 38, 35, 37, 56, 34, 61	cgrahl1 28842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝐹”⟩)
63	29	simprld 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓))
64	26	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
65	1, 44, 2, 30, 35, 37, 36, 63, 64	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐸 ≠ 𝑓)
66	1, 2, 3, 35, 36, 37, 30, 40, 63, 65, 64	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑓)
67	1, 2, 3, 37, 36, 35, 30, 66	hlcomd 28630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑓((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
68	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 62, 36, 67	cgrahl2 28843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑑𝐸𝑓”⟩)
69	46	necomd 3002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎 ≠ 𝐵)
70	1, 2, 3, 31, 40, 32, 30, 69	hlid 28635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑎((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑎)
71	52	necomd 3002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐 ≠ 𝐵)
72	1, 2, 3, 33, 40, 32, 30, 71	hlid 28635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝑐((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑐)
73	1, 44, 2, 30, 32, 40, 31, 43	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐴 ∈ (𝑎𝐼𝐵))
74	28	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷))
75	1, 44, 2, 30, 40, 31, 35, 38, 74	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
76	29	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴))
77	76	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑑))
78	1, 44, 2, 30, 32, 40, 38, 34, 77	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑑))
79	1, 44, 2, 30, 31, 40, 32, 35, 38, 34, 73, 57, 75, 78	tgcgrextend 28511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑑))
80	1, 44, 2, 30, 31, 32, 35, 34, 79	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑎) = (𝐸 − 𝑑))
81	1, 44, 2, 30, 32, 39, 33, 50	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → 𝐶 ∈ (𝑐𝐼𝐵))
82	28	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))
83	1, 44, 2, 30, 39, 33, 35, 37, 82	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
84	29	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
85	84	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑓))
86	1, 44, 2, 30, 32, 39, 37, 36, 85	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑓))
87	1, 44, 2, 30, 33, 39, 32, 35, 37, 36, 81, 63, 83, 86	tgcgrextend 28511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑐 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑓))
88	1, 44, 2, 30, 33, 32, 35, 36, 87	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝐵 − 𝑐) = (𝐸 − 𝑓))
89	1, 2, 3, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 68, 31, 44, 33, 70, 72, 80, 88	cgracgr 28844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))
90	28, 29, 89	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
91	90	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
92	91	reximdva 3174	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
93	92	reximdva 3174	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
95	1, 44, 2, 4, 8, 6, 14, 12	axtgsegcon 28490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)))
96	1, 44, 2, 4, 8, 10, 14, 16	axtgsegcon 28490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))
97		reeanv 3235	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
98	95, 96, 97	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))))
99	1, 44, 2, 4, 14, 12, 8, 6	axtgsegcon 28490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)))
100	1, 44, 2, 4, 14, 16, 8, 10	axtgsegcon 28490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
101		reeanv 3235	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
102	99, 100, 101	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))))
103	98, 102	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
104		r19.41vv 3233	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
105		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
106	105	2rexbii 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
107		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
108	104, 106, 107	3bitr3i 301	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
109	108	2rexbii 3135	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
110		r19.41vv 3233	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
111	109, 110	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
112	103, 111	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
113	112	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
114	94, 113	reximddv2 3221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
115	22, 27, 114	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
116		df-3an 1089	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
117	4	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
118	12	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
119	14	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ∈ 𝑃)
120	16	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
121	6	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
122	8	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
123	10	ad6antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
124		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
125		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
126		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧 ∈ 𝑃)
127		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡 ∈ 𝑃)
128		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
129		simpr1 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
130	129	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
131		simpr2 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
132	131	simplld 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧))
133	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ∈ (𝑧𝐼𝐸))
134	131	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
135	134	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐷 − 𝑧))
136	1, 44, 2, 117, 122, 121, 118, 126, 135	tgcgrcomr 28504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐷))
137	129	simplrd 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))
138	1, 44, 2, 117, 121, 125, 119, 118, 137	tgcgrcomr 28504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐷 − 𝐸))
139	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 126, 118, 119, 130, 133, 136, 138	tgcgrextend 28511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑥) = (𝑧 − 𝐸))
140	1, 44, 2, 117, 122, 125, 126, 119, 139	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝐵) = (𝑧 − 𝐸))
141	129	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦))
142	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141	tgbtwncom 28514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ∈ (𝑦𝐼𝐵))
143	131	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡))
144	129	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))
145	1, 44, 2, 117, 123, 124, 119, 120, 144	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
146	131	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))
147	146	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝑡))
148	1, 44, 2, 117, 122, 123, 120, 127, 147	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝑡))
149	1, 44, 2, 117, 124, 123, 122, 119, 120, 127, 142, 143, 145, 148	tgcgrextend 28511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝐵) = (𝐸 − 𝑡))
150	1, 44, 2, 117, 124, 122, 119, 127, 149	tgcgrcoml 28505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝐵 − 𝑦) = (𝐸 − 𝑡))
151		simpr3 1196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))
152	1, 44, 2, 117, 125, 124, 126, 127, 151	tgcgrcomlr 28506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑡 − 𝑧))
153	1, 44, 128, 117, 125, 122, 124, 126, 119, 127, 140, 150, 152	trgcgr 28542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑧𝐸𝑡”⟩)
154		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)))
155	154	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷 ≠ 𝐸)
156	1, 44, 2, 117, 119, 118, 126, 132, 155	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑧)
157	1, 2, 3, 119, 126, 118, 117, 122, 132, 156, 155	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐷((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑧)
158	1, 2, 3, 118, 126, 119, 117, 157	hlcomd 28630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐷)
159	154	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹 ≠ 𝐸)
160	1, 44, 2, 117, 119, 120, 127, 143, 159	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐸 ≠ 𝑡)
161	1, 2, 3, 119, 127, 120, 117, 122, 143, 160, 159	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐹((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝑡)
162	1, 2, 3, 120, 127, 119, 117, 161	hlcomd 28630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝑡((hlG‘𝐺)‘𝐸)𝐹)
163	1, 2, 3, 117, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 126, 127, 153, 158, 162	iscgrad 28837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
164	1, 2, 117, 3, 125, 122, 124, 118, 119, 120, 163	cgracom 28848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝐵𝑦”⟩)
165	154	simplld 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
166	1, 44, 2, 117, 122, 121, 125, 130, 165	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑥)
167	1, 2, 3, 122, 125, 121, 117, 121, 130, 166, 165	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑥)
168	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 125, 122, 124, 164, 121, 167	cgrahl1 28842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑦”⟩)
169	154	simplrd 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶 ≠ 𝐵)
170	1, 44, 2, 117, 122, 123, 124, 141, 169	tgbtwnne 28516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐵 ≠ 𝑦)
171	1, 2, 3, 122, 124, 123, 117, 121, 141, 170, 169	btwnhl1 28638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → 𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝑦)
172	1, 2, 3, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 168, 123, 171	cgrahl2 28843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
173	1, 2, 117, 3, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 172	cgracom 28848	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
174	173	adantl3r 749	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
175		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
176		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐸𝐼𝑑) = (𝐸𝐼𝑧))
177	176	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ↔ 𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧)))
178		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝐷 − 𝑑) = (𝐷 − 𝑧))
179	178	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)))
180	177, 179	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))))
181	180	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))))
182		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → (𝑑 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑓))
183	182	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)))
184	181, 183	3anbi23d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑧 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓))))
185		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐸𝐼𝑓) = (𝐸𝐼𝑡))
186	185	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ↔ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡)))
187		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝐹 − 𝑓) = (𝐹 − 𝑡))
188	187	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))
189	186, 188	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))))
190	189	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ↔ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶)))))
191		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → (𝑧 − 𝑓) = (𝑧 − 𝑡))
192	191	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
193	190, 192	3anbi23d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑡 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡))))
194	184, 193	cbvrex2vw 3248	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
195	175, 194	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑧) ∧ (𝐷 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑡) ∧ (𝐹 − 𝑡) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑧 − 𝑡)))
196	174, 195	r19.29vva 3222	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
197	196	adantl3r 749	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
198		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
199		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵𝐼𝑎) = (𝐵𝐼𝑥))
200	199	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥)))
201		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − 𝑥))
202	201	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)))
203	200, 202	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷))))
204	203	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)))))
205		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑐))
206	205	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))
207	204, 206	3anbi13d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
208	207	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))))
209		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐵𝐼𝑐) = (𝐵𝐼𝑦))
210	209	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ↔ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦)))
211		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑦))
212	211	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹) ↔ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))
213	210, 212	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))))
214	213	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹)))))
215		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 𝑦))
216	215	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓) ↔ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
217	214, 216	3anbi13d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → ((((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
218	217	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑦 → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓))))
219	208, 218	cbvrex2vw 3248	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
220	198, 219	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑥 − 𝑦) = (𝑑 − 𝑓)))
221	197, 220	r19.29vva 3222	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸))) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
222	221	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸)) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
223	116, 222	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
224	115, 223	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ∧ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑓 ∈ 𝑃 (((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑎) ∧ (𝐴 − 𝑎) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐶 − 𝑐) = (𝐸 − 𝐹))) ∧ ((𝐷 ∈ (𝐸𝐼𝑑) ∧ (𝐷 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐴)) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝑓) ∧ (𝐹 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) ∧ (𝑎 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ⟨“cs3 14891  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  cgrGccgrg 28536  hlGchlg 28626  cgrAccgra 28833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-cgrg 28537  df-leg 28609  df-hlg 28627  df-cgra 28834

This theorem is referenced by: (None)