Theorem btwnhl2 28689

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl2	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Proof of Theorem btwnhl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
2		btwnhl1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		btwnhl1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgbtwncom 28564	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
12	11	orcd 874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
13		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 5, 13, 8, 7, 9, 6	ishlg 28678	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
15	1, 2, 12, 14	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  distcds 17190  TarskiGcstrkg 28503  Itvcitv 28509  hlGchlg 28676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-trkgc 28524  df-trkgb 28525  df-trkgcb 28526  df-trkg 28529  df-hlg 28677

This theorem is referenced by:  hlpasch  28832