Theorem btwnhl2 28540

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl2	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Proof of Theorem btwnhl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
2		btwnhl1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		btwnhl1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgbtwncom 28415	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
12	11	orcd 873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
13		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 5, 13, 8, 7, 9, 6	ishlg 28529	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
15	1, 2, 12, 14	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  hlGchlg 28527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-hlg 28528

This theorem is referenced by:  hlpasch  28683