Theorem btwnhl2 29109

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl2	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Proof of Theorem btwnhl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
2		btwnhl1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		btwnhl1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgbtwncom 28981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
12	11	orcd 887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
13		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 5, 13, 8, 7, 9, 6	ishlg 29098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
15	1, 2, 12, 14	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  hlGchlg 29093

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-hlg 29094

This theorem is used by:  hlpasch  29264  tgextalem1inag  33100