Theorem btwnhl2 28562

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl2	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Proof of Theorem btwnhl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
2		btwnhl1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		btwnhl1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgbtwncom 28437	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
12	11	orcd 873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
13		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 5, 13, 8, 7, 9, 6	ishlg 28551	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
15	1, 2, 12, 14	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28376  Itvcitv 28382  hlGchlg 28549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-trkgc 28397  df-trkgb 28398  df-trkgcb 28399  df-trkg 28402  df-hlg 28550

This theorem is referenced by:  hlpasch  28705