Theorem btwnhl2 28557

Description: Deduce half-line from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl1.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
btwnhl1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
btwnhl2.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
btwnhl2	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Proof of Theorem btwnhl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnhl2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
2		btwnhl1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		btwnhl1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	tgbtwncom 28432	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
12	11	orcd 873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
13		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 5, 13, 8, 7, 9, 6	ishlg 28546	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴 ↔ (𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))))
15	1, 2, 12, 14	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝐾‘𝐵)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229  distcds 17282  TarskiGcstrkg 28371  Itvcitv 28377  hlGchlg 28544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-trkgc 28392  df-trkgb 28393  df-trkgcb 28394  df-trkg 28397  df-hlg 28545

This theorem is referenced by:  hlpasch  28700