Theorem hlbtwn 26876

Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlbtwn.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlbtwn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbtwn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		hlbtwn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)
3	1, 2	2thd 264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
4		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		ishlg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hltr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17		hlbtwn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
19	4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18	tgbtwnconn3 26842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
28	4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	tgbtwnexch 26763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
29	28	olcd 870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
30	19, 29	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
35	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
37	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
38	4, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	tgbtwnexch 26763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
39	38	orcd 869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
40	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
42	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
43	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	2	necomd 2998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
48	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
49	4, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48	tgbtwnconn1 26840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
50	39, 49	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
51	30, 50	impbida 797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
52	3, 51	3anbi23d 1437	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
54	4, 5, 53, 10, 14, 8, 6	ishlg 26867	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
55	4, 5, 53, 10, 12, 8, 6	ishlg 26867	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
56	52, 54, 55	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  hlGchlg 26865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-hlg 26866

This theorem is referenced by:  opphllem3  27014  hlpasch  27021