MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlbtwn 28634
Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlbtwn.1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2 (𝜑𝐵𝐶)
hlbtwn.3 (𝜑𝐷𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlbtwn (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn
StepHypRef Expression
1 hlbtwn.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
2 hlbtwn.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
31, 22thd 265 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶𝐷𝐶))
4 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 hlln.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ishlg.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
10 ishlg.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
12 hltr.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17 hlbtwn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
194, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18tgbtwnconn3 28600 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20 eqid 2735 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
216adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
2312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
2414adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
2510adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2617adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
284, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27tgbtwnexch 28521 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
2928olcd 874 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
3019, 29jaodan 959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
316adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
3310adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
3412adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
3514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
36 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
3717adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
384, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37tgbtwnexch 28521 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
3938orcd 873 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
406adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
418adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
4212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
4310adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
4414adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
452necomd 2994 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝐷)
47 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
4817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
494, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48tgbtwnconn1 28598 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5039, 49jaodan 959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5130, 50impbida 801 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
523, 513anbi23d 1438 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
544, 5, 53, 10, 14, 8, 6ishlg 28625 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
554, 5, 53, 10, 12, 8, 6ishlg 28625 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐷 ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
5652, 54, 553bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  hlGchlg 28623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-hlg 28624
This theorem is referenced by:  opphllem3  28772  hlpasch  28779
  Copyright terms: Public domain W3C validator