Theorem hlbtwn 28780

Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlbtwn.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlbtwn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbtwn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		hlbtwn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)
3	1, 2	2thd 267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
4		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		ishlg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hltr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17		hlbtwn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
18	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
19	4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18	tgbtwnconn3 28746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
28	4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	tgbtwnexch 28667	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
29	28	olcd 885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
30	19, 29	jaodan 970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
31	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
35	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
37	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
38	4, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	tgbtwnexch 28667	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
39	38	orcd 884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
40	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
42	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
43	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	2	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
47		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
48	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
49	4, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48	tgbtwnconn1 28744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
50	39, 49	jaodan 970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
51	30, 50	impbida 810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
52	3, 51	3anbi23d 1460	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
54	4, 5, 53, 10, 14, 8, 6	ishlg 28771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
55	4, 5, 53, 10, 12, 8, 6	ishlg 28771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
56	52, 54, 55	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  distcds 17295  TarskiGcstrkg 28596  Itvcitv 28602  hlGchlg 28769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-trkgc 28617  df-trkgb 28618  df-trkgcb 28619  df-trkg 28622  df-cgrg 28680  df-hlg 28770

This theorem is referenced by:  opphllem3  28922  hlpasch  28929