MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlbtwn 26408
Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlbtwn.1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2 (𝜑𝐵𝐶)
hlbtwn.3 (𝜑𝐷𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlbtwn (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn
StepHypRef Expression
1 hlbtwn.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
2 hlbtwn.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
31, 22thd 268 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶𝐷𝐶))
4 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 hlln.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ishlg.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
10 ishlg.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
12 hltr.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
16 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17 hlbtwn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
194, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18tgbtwnconn3 26374 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20 eqid 2801 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
216adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
2312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
2414adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
2510adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2617adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
284, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27tgbtwnexch 26295 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
2928olcd 871 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
3019, 29jaodan 955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
316adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
3310adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
3412adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
3514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
36 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
3717adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
384, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37tgbtwnexch 26295 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
3938orcd 870 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
406adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
418adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
4212adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
4310adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
4414adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
452necomd 3045 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
4645adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝐷)
47 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
4817adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
494, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48tgbtwnconn1 26372 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5039, 49jaodan 955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5130, 50impbida 800 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
523, 513anbi23d 1436 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
544, 5, 53, 10, 14, 8, 6ishlg 26399 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
554, 5, 53, 10, 12, 8, 6ishlg 26399 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐷 ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
5652, 54, 553bitr4d 314 1 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233  hlGchlg 26397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-cgrg 26308  df-hlg 26398
This theorem is referenced by:  opphllem3  26546  hlpasch  26553
  Copyright terms: Public domain W3C validator