Theorem hlbtwn 29092

Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlbtwn.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlbtwn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbtwn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		hlbtwn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)
3	1, 2	2thd 268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
4		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		ishlg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hltr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17		hlbtwn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
19	4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18	tgbtwnconn3 29055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
28	4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	tgbtwnexch 28976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
29	28	olcd 888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
30	19, 29	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
31	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
35	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
37	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
38	4, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	tgbtwnexch 28976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
39	38	orcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
40	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
42	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
43	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	2	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
47		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
48	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
49	4, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48	tgbtwnconn1 29053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
50	39, 49	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
51	30, 50	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
52	3, 51	3anbi23d 1467	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
54	4, 5, 53, 10, 14, 8, 6	ishlg 29083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
55	4, 5, 53, 10, 12, 8, 6	ishlg 29083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
56	52, 54, 55	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  distcds 17452  TarskiGcstrkg 28904  Itvcitv 28910  hlGchlg 29078

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-trkgc 28925  df-trkgb 28926  df-trkgcb 28927  df-trkg 28930  df-cgrg 28989  df-hlg 29079

This theorem is used by:  opphllem3  29240  hlpasch  29249