MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlbtwn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlbtwn 27893
Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hlbtwn.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
hlbtwn.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
hlbtwn.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐢)
Assertion
Ref Expression
hlbtwn (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ↔ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐷))
Proof of Theorem hlbtwn
StepHypRef Expression
1 hlbtwn.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
2 hlbtwn.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐢)
31, 22thd 265 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰  𝐢 ↔ 𝐷 β‰  𝐢))
4 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 hlln.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ishlg.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 ishlg.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
12 hltr.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
16 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
17 hlbtwn.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
1817adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
194, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18tgbtwnconn3 27859 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
216adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2414adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2510adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2617adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
27 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
284, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27tgbtwnexch 27780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
2928olcd 873 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
3019, 29jaodan 957 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
316adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
3310adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3412adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
3514adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
36 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷))
3717adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
384, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37tgbtwnexch 27780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
3938orcd 872 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
406adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
418adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4212adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
4310adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4414adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
452necomd 2997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
4645adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 β‰  𝐷)
47 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
4817adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
494, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48tgbtwnconn1 27857 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
5039, 49jaodan 957 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴))) β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
5130, 50impbida 800 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴))))
523, 513anbi23d 1440 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))) ↔ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐷 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))))
53 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
544, 5, 53, 10, 14, 8, 6ishlg 27884 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ↔ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))))
554, 5, 53, 10, 12, 8, 6ishlg 27884 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐷 ↔ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐷 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))))
5652, 54, 553bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ↔ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27709  Itvcitv 27715  hlGchlg 27882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27730  df-trkgb 27731  df-trkgcb 27732  df-trkg 27735  df-cgrg 27793  df-hlg 27883
This theorem is referenced by:  opphllem3  28031  hlpasch  28038
  Copyright terms: Public domain W3C validator