Theorem hlbtwn 28883

Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlbtwn.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlbtwn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbtwn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		hlbtwn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)
3	1, 2	2thd 268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
4		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		ishlg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hltr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17		hlbtwn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
19	4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18	tgbtwnconn3 28846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
28	4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	tgbtwnexch 28767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
29	28	olcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
30	19, 29	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
31	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
35	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
37	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
38	4, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	tgbtwnexch 28767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
39	38	orcd 886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
40	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
42	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
43	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	2	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
47		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
48	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
49	4, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48	tgbtwnconn1 28844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
50	39, 49	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
51	30, 50	impbida 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
52	3, 51	3anbi23d 1467	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
54	4, 5, 53, 10, 14, 8, 6	ishlg 28874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
55	4, 5, 53, 10, 12, 8, 6	ishlg 28874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
56	52, 54, 55	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  hlGchlg 28869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-hlg 28870

This theorem is referenced by:  opphllem3  29030  hlpasch  29038