MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlbtwn 28619
Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlbtwn.1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2 (𝜑𝐵𝐶)
hlbtwn.3 (𝜑𝐷𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlbtwn (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn
StepHypRef Expression
1 hlbtwn.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
2 hlbtwn.3 . . . 4 (𝜑𝐷𝐶)
31, 22thd 265 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶𝐷𝐶))
4 ishlg.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 ishlg.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 hlln.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 ishlg.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
10 ishlg.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
12 hltr.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
14 ishlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17 hlbtwn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
194, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18tgbtwnconn3 28585 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
216adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
2312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
2414adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
2510adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2617adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
284, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27tgbtwnexch 28506 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
2928olcd 875 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
3019, 29jaodan 960 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
316adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
3310adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
3412adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
3514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
36 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
3717adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
384, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37tgbtwnexch 28506 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
3938orcd 874 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
406adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
418adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
4212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
4310adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
4414adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
452necomd 2996 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝐷)
47 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
4817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
494, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48tgbtwnconn1 28583 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5039, 49jaodan 960 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
5130, 50impbida 801 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
523, 513anbi23d 1441 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
544, 5, 53, 10, 14, 8, 6ishlg 28610 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
554, 5, 53, 10, 12, 8, 6ishlg 28610 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐷 ↔ (𝐴𝐶𝐷𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
5652, 54, 553bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  hlGchlg 28608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-hlg 28609
This theorem is referenced by:  opphllem3  28757  hlpasch  28764
  Copyright terms: Public domain W3C validator