Theorem hlbtwn 28619

Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlbtwn.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
hlbtwn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlbtwn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Proof of Theorem hlbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbtwn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
2		hlbtwn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶)
3	1, 2	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
4		ishlg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		ishlg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hlln.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		ishlg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		ishlg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		hltr.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		ishlg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
17		hlbtwn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
19	4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18	tgbtwnconn3 28585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
23	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
24	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
28	4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	tgbtwnexch 28506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
29	28	olcd 875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
30	19, 29	jaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
34	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
35	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
37	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
38	4, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	tgbtwnexch 28506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
39	38	orcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
40	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
42	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
43	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
44	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
45	2	necomd 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
48	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
49	4, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48	tgbtwnconn1 28583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
50	39, 49	jaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
51	30, 50	impbida 801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
52	3, 51	3anbi23d 1441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
53		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
54	4, 5, 53, 10, 14, 8, 6	ishlg 28610	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
55	4, 5, 53, 10, 12, 8, 6	ishlg 28610	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
56	52, 54, 55	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  hlGchlg 28608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-hlg 28609

This theorem is referenced by:  opphllem3  28757  hlpasch  28764