Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hlbtwn.2 |
. . . 4
β’ (π β π΅ β πΆ) |
2 | | hlbtwn.3 |
. . . 4
β’ (π β π· β πΆ) |
3 | 1, 2 | 2thd 265 |
. . 3
β’ (π β (π΅ β πΆ β π· β πΆ)) |
4 | | ishlg.p |
. . . . . 6
β’ π = (BaseβπΊ) |
5 | | ishlg.i |
. . . . . 6
β’ πΌ = (ItvβπΊ) |
6 | | hlln.1 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΊ β TarskiG) |
7 | 6 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β πΊ β TarskiG) |
8 | | ishlg.c |
. . . . . . 7
β’ (π β πΆ β π) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β πΆ β π) |
10 | | ishlg.a |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π) |
11 | 10 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΄ β π) |
12 | | hltr.d |
. . . . . . 7
β’ (π β π· β π) |
13 | 12 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π· β π) |
14 | | ishlg.b |
. . . . . . 7
β’ (π β π΅ β π) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΅ β π) |
16 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π΄ β (πΆπΌπ΅)) |
17 | | hlbtwn.1 |
. . . . . . 7
β’ (π β π· β (πΆπΌπ΅)) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β π· β (πΆπΌπ΅)) |
19 | 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18 | tgbtwnconn3 27828 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ΅)) β (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄))) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(distβπΊ) =
(distβπΊ) |
21 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β πΊ β TarskiG) |
22 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β πΆ β π) |
23 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β π· β π) |
24 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β π΅ β π) |
25 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β π΄ β π) |
26 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β π· β (πΆπΌπ΅)) |
27 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β π΅ β (πΆπΌπ΄)) |
28 | 4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 | tgbtwnexch 27749 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β π· β (πΆπΌπ΄)) |
29 | 28 | olcd 873 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄))) |
30 | 19, 29 | jaodan 957 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄))) β (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄))) |
31 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β πΊ β TarskiG) |
32 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β πΆ β π) |
33 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β π΄ β π) |
34 | 12 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β π· β π) |
35 | 14 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β π΅ β π) |
36 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β π΄ β (πΆπΌπ·)) |
37 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β π· β (πΆπΌπ΅)) |
38 | 4, 20, 5, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 | tgbtwnexch 27749 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β π΄ β (πΆπΌπ΅)) |
39 | 38 | orcd 872 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π΄ β (πΆπΌπ·)) β (π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄))) |
40 | 6 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β πΊ β TarskiG) |
41 | 8 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β πΆ β π) |
42 | 12 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β π· β π) |
43 | 10 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β π΄ β π) |
44 | 14 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β π΅ β π) |
45 | 2 | necomd 2997 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΆ β π·) |
46 | 45 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β πΆ β π·) |
47 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β π· β (πΆπΌπ΄)) |
48 | 17 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β π· β (πΆπΌπ΅)) |
49 | 4, 5, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48 | tgbtwnconn1 27826 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π· β (πΆπΌπ΄)) β (π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄))) |
50 | 39, 49 | jaodan 957 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄))) β (π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄))) |
51 | 30, 50 | impbida 800 |
. . 3
β’ (π β ((π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄)) β (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄)))) |
52 | 3, 51 | 3anbi23d 1440 |
. 2
β’ (π β ((π΄ β πΆ β§ π΅ β πΆ β§ (π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄))) β (π΄ β πΆ β§ π· β πΆ β§ (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄))))) |
53 | | ishlg.k |
. . 3
β’ πΎ = (hlGβπΊ) |
54 | 4, 5, 53, 10, 14, 8, 6 | ishlg 27853 |
. 2
β’ (π β (π΄(πΎβπΆ)π΅ β (π΄ β πΆ β§ π΅ β πΆ β§ (π΄ β (πΆπΌπ΅) β¨ π΅ β (πΆπΌπ΄))))) |
55 | 4, 5, 53, 10, 12, 8, 6 | ishlg 27853 |
. 2
β’ (π β (π΄(πΎβπΆ)π· β (π΄ β πΆ β§ π· β πΆ β§ (π΄ β (πΆπΌπ·) β¨ π· β (πΆπΌπ΄))))) |
56 | 52, 54, 55 | 3bitr4d 311 |
1
β’ (π β (π΄(πΎβπΆ)π΅ β π΄(πΎβπΆ)π·)) |