Theorem lnopp2hpgb 28771

Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lnopp2hpgb	⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb

Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopp2hpgb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
3		lnopp2hpgb.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑 ↔ 𝐴𝑂𝐶))
7		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑 ↔ 𝐵𝑂𝐶))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)))
9	8	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
10	2, 4, 5, 9	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
11		ishpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
12		ishpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		ishpg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15		ishpg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		ishpg.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17		hpgbr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		hpgbr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hpgbr 28768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
21	10, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23	16	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
25	15	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
28	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
31	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	31	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	3	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
37		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
38	11, 13, 12, 25, 23, 37	tglnpt 28557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
40		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
41	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35	oppne1 28749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
42		nelne2 3040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
44	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tgelrnln 28638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
45	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx2 28642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46		nelne1 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
47	45, 41, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
48	47	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
50		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
51	11, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50	btwnlng1 28627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
52	36, 51	elind 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
53	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx1 28641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
54	40, 53	elind 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
55	11, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54	tglineineq 28651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
56	55, 43	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐴)
57	56	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑧)
58		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
59	11, 13, 12, 25, 23, 58	tglnpt 28557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
63	62	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
64	63	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ 𝑃)
65		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
66	65	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
67	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66	oppne1 28749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
68		nelne2 3040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
69	61, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
70	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tgelrnln 28638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
71	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx2 28642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72		nelne1 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
73	71, 67, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
74	73	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
76	11, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75	btwnlng1 28627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
77	36, 76	elind 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
78	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx1 28641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
79	61, 78	elind 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
80	11, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79	tglineineq 28651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
81	80, 69	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐵)
82	81	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
84	83	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
85	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84	oppne2 28750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
86		nelne2 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
87	36, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
88	87	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ≠ 𝑧)
89		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
90	89	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
91	11, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90	tgbtwncom 28496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
92	80, 91	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
94	11, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 93	tgbtwncom 28496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
95	55, 94	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
96	11, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 95	tgbtwnconn2 28584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
97	11, 12, 27, 30, 33, 49, 26	ishlg 28610	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ 𝐵 ≠ 𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
98	57, 82, 96, 97	mpbir3and 1343	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
99	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 98	opphl 28762	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
100	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
102		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
103	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
105	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
106	3	ad10antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
107		simp-5r 786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
108	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
109		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐷)
111		nelne2 3040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
112	107, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
113	112	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑦)
114	11, 22, 12, 101, 108, 102, 105, 109, 113	tgbtwnne 28498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
115	11, 12, 27, 108, 105, 102, 101, 105, 109, 114, 113	btwnhl1 28620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
116	11, 12, 27, 102, 105, 108, 101, 115	hlcomd 28612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
117	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 105, 102, 104, 106, 107, 116	opphl 28762	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
118	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
119	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
120		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
121		nelne2 3040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
122	118, 110, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
123	122	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑥)
124	11, 22, 12, 101, 119, 102, 103, 120, 123	tgbtwnne 28498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
125	11, 12, 27, 119, 103, 102, 101, 105, 120, 124, 123	btwnhl1 28620	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
126	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 102, 103, 104, 117, 118, 125	opphl 28762	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
127	99, 126	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
128		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
129	11, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 128	axtgpasch 28475	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
130	127, 129	r19.29a 3162	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
131	11, 22, 12, 14, 31, 62	islnopp 28747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
132	65, 131	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
133	132	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
134		eleq1w 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
135	134	cbvrexvw 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
136	133, 135	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137	136	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138	130, 137	r19.29a 3162	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
139	11, 22, 12, 14, 28, 62	islnopp 28747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
140	83, 139	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
141	140	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
142		eleq1w 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
143	142	cbvrexvw 3238	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
144	141, 143	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145	138, 144	r19.29a 3162	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
146	19	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
147	145, 146	r19.29a 3162	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
148	21, 147	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   class class class wbr 5143  {copab 5205  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  hlGchlg 28608  hpGchpg 28765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkgld 28460  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-hlg 28609  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704  df-hpg 28766

This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  28772  hpgtr  28776  colhp  28778  lnperpex  28811  trgcopyeulem  28813