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Theorem lnopp2hpgb 26567
 Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgbr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnopp2hpgb.c (𝜑𝐶𝑃)
lnopp2hpgb.1 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
Assertion
Ref Expression
lnopp2hpgb (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb
Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopp2hpgb.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐶𝑃)
3 lnopp2hpgb.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6 breq2 5035 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑𝐴𝑂𝐶))
7 breq2 5035 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑𝐵𝑂𝐶))
86, 7anbi12d 633 . . . . 5 (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶𝐵𝑂𝐶)))
98rspcev 3571 . . . 4 ((𝐶𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑))
102, 4, 5, 9syl12anc 835 . . 3 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑))
11 ishpg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
12 ishpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13 ishpg.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 ishpg.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15 ishpg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
16 ishpg.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
17 hpgbr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
18 hpgbr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hpgbr 26564 . . . 4 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)))
2019adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)))
2110, 20mpbird 260 . 2 ((𝜑𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22 eqid 2798 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
2316ad7antr 737 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2515ad7antr 737 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 eqid 2798 . . . . . . . 8 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
2817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑃)
2928ad4antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴𝑃)
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑃)
3118ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑃)
3231ad4antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑃)
3332ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑃)
341ad10antr 743 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐶𝑃)
353ad10antr 743 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝐷)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦𝐷)
3811, 13, 12, 25, 23, 37tglnpt 26353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦𝑃)
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑃)
40 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
4111, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35oppne1 26545 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
42 nelne2 3084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝑦𝐴)
4340, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐴)
4411, 12, 13, 26, 39, 30, 43tgelrnln 26434 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
4511, 12, 13, 26, 39, 30, 43tglinerflx2 26438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46 nelne1 3083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
4745, 41, 46syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
4847necomd 3042 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑃)
50 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
5111, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50btwnlng1 26423 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
5236, 51elind 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
5311, 12, 13, 26, 39, 30, 43tglinerflx1 26437 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
5440, 53elind 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
5511, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54tglineineq 26447 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
5655, 43eqnetrd 3054 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝐴)
5756necomd 3042 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑧)
58 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥𝐷)
5911, 13, 12, 25, 23, 58tglnpt 26353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥𝑃)
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑃)
61 simp-7r 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐷)
62 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑𝑃)
6362ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑𝑃)
6463ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑑𝑃)
65 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
6665ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
6711, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66oppne1 26545 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → ¬ 𝐵𝐷)
68 nelne2 3084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝑥𝐵)
6961, 67, 68syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐵)
7011, 12, 13, 26, 60, 33, 69tgelrnln 26434 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
7111, 12, 13, 26, 60, 33, 69tglinerflx2 26438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72 nelne1 3083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
7371, 67, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
7473necomd 3042 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
7611, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75btwnlng1 26423 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
7736, 76elind 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
7811, 12, 13, 26, 60, 33, 69tglinerflx1 26437 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
7961, 78elind 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
8011, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79tglineineq 26447 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
8180, 69eqnetrd 3054 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝐵)
8281necomd 3042 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑧)
83 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
8483ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
8511, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84oppne2 26546 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → ¬ 𝑑𝐷)
86 nelne2 3084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) → 𝑧𝑑)
8736, 85, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑑)
8887necomd 3042 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑑𝑧)
89 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
9111, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90tgbtwncom 26292 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
9280, 91eqeltrd 2890 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
9411, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 93tgbtwncom 26292 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
9555, 94eqeltrd 2890 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
9611, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 95tgbtwnconn2 26380 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
9711, 12, 27, 30, 33, 49, 26ishlg 26406 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴𝑧𝐵𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
9857, 82, 96, 97mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
9911, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 98opphl 26558 . . . . . . 7 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
10023ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10125ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
102 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑃)
10332ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑃)
1041ad10antr 743 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐶𝑃)
10529ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑃)
1063ad10antr 743 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
107 simp-5r 785 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
10838ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑃)
109 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
110 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → ¬ 𝑧𝐷)
111 nelne2 3084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑧)
112107, 110, 111syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝑧)
113112necomd 3042 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑦)
11411, 22, 12, 101, 108, 102, 105, 109, 113tgbtwnne 26294 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐴)
11511, 12, 27, 108, 105, 102, 101, 105, 109, 114, 113btwnhl1 26416 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
11611, 12, 27, 102, 105, 108, 101, 115hlcomd 26408 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
11711, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 105, 102, 104, 106, 107, 116opphl 26558 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
11858ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐷)
11959ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑃)
120 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
121 nelne2 3084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑧)
122118, 110, 121syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝑧)
123122necomd 3042 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧𝑥)
12411, 22, 12, 101, 119, 102, 103, 120, 123tgbtwnne 26294 . . . . . . . . 9 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑥𝐵)
12511, 12, 27, 119, 103, 102, 101, 105, 120, 124, 123btwnhl1 26416 . . . . . . . 8 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
12611, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 102, 103, 104, 117, 118, 125opphl 26558 . . . . . . 7 (((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
12799, 126pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
128 simpr 488 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
12911, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 128axtgpasch 26271 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
130127, 129r19.29a 3248 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
13111, 22, 12, 14, 31, 62islnopp 26543 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
13265, 131mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
133132simprd 499 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
134 eleq1w 2872 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
135134cbvrexvw 3397 . . . . . . 7 (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
136133, 135sylib 221 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137136ad2antrr 725 . . . . 5 ((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138130, 137r19.29a 3248 . . . 4 ((((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
13911, 22, 12, 14, 28, 62islnopp 26543 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
14083, 139mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝑑𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
141140simprd 499 . . . . 5 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
142 eleq1w 2872 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
143142cbvrexvw 3397 . . . . 5 (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
144141, 143sylib 221 . . . 4 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145138, 144r19.29a 3248 . . 3 ((((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
14619biimpa 480 . . 3 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑𝑃 (𝐴𝑂𝑑𝐵𝑂𝑑))
147145, 146r19.29a 3248 . 2 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
14821, 147impbida 800 1 (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   class class class wbr 5031  {copab 5093  ran crn 5521  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26234  Itvcitv 26240  LineGclng 26241  hlGchlg 26404  hpGchpg 26561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26252  df-trkgb 26253  df-trkgcb 26254  df-trkgld 26256  df-trkg 26257  df-cgrg 26315  df-leg 26387  df-hlg 26405  df-mir 26457  df-rag 26498  df-perpg 26500  df-hpg 26562 This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  26568  hpgtr  26572  colhp  26574  lnperpex  26607  trgcopyeulem  26609
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