Theorem lnopp2hpgb 28742

Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lnopp2hpgb	⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb

Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopp2hpgb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
3		lnopp2hpgb.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6		breq2 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑 ↔ 𝐴𝑂𝐶))
7		breq2 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑 ↔ 𝐵𝑂𝐶))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)))
9	8	rspcev 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
10	2, 4, 5, 9	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
11		ishpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
12		ishpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		ishpg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15		ishpg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		ishpg.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17		hpgbr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		hpgbr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hpgbr 28739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
21	10, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23	16	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
25	15	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
28	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
31	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	31	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	3	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
38	11, 13, 12, 25, 23, 37	tglnpt 28528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
40		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
41	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35	oppne1 28720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
42		nelne2 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
44	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tgelrnln 28609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
45	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx2 28613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46		nelne1 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
47	45, 41, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
48	47	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
50		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
51	11, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50	btwnlng1 28598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
52	36, 51	elind 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
53	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx1 28612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
54	40, 53	elind 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
55	11, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54	tglineineq 28622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
56	55, 43	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐴)
57	56	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑧)
58		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
59	11, 13, 12, 25, 23, 58	tglnpt 28528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
63	62	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
64	63	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ 𝑃)
65		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
66	65	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
67	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66	oppne1 28720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
68		nelne2 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
69	61, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
70	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tgelrnln 28609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
71	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx2 28613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72		nelne1 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
73	71, 67, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
74	73	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
76	11, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75	btwnlng1 28598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
77	36, 76	elind 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
78	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx1 28612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
79	61, 78	elind 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
80	11, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79	tglineineq 28622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
81	80, 69	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐵)
82	81	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
84	83	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
85	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84	oppne2 28721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
86		nelne2 3030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
87	36, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
88	87	necomd 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ≠ 𝑧)
89		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
90	89	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
91	11, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
92	80, 91	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
94	11, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 93	tgbtwncom 28467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
95	55, 94	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
96	11, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 95	tgbtwnconn2 28555	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
97	11, 12, 27, 30, 33, 49, 26	ishlg 28581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ 𝐵 ≠ 𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
98	57, 82, 96, 97	mpbir3and 1343	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
99	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 98	opphl 28733	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
100	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
102		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
103	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
105	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
106	3	ad10antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
107		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
108	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
109		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐷)
111		nelne2 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
112	107, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
113	112	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑦)
114	11, 22, 12, 101, 108, 102, 105, 109, 113	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
115	11, 12, 27, 108, 105, 102, 101, 105, 109, 114, 113	btwnhl1 28591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
116	11, 12, 27, 102, 105, 108, 101, 115	hlcomd 28583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
117	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 105, 102, 104, 106, 107, 116	opphl 28733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
118	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
119	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
120		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
121		nelne2 3030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
122	118, 110, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
123	122	necomd 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑥)
124	11, 22, 12, 101, 119, 102, 103, 120, 123	tgbtwnne 28469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
125	11, 12, 27, 119, 103, 102, 101, 105, 120, 124, 123	btwnhl1 28591	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
126	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 102, 103, 104, 117, 118, 125	opphl 28733	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
127	99, 126	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
128		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
129	11, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 128	axtgpasch 28446	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
130	127, 129	r19.29a 3148	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
131	11, 22, 12, 14, 31, 62	islnopp 28718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
132	65, 131	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
133	132	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
134		eleq1w 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
135	134	cbvrexvw 3221	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
136	133, 135	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137	136	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138	130, 137	r19.29a 3148	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
139	11, 22, 12, 14, 28, 62	islnopp 28718	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
140	83, 139	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
141	140	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
142		eleq1w 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
143	142	cbvrexvw 3221	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
144	141, 143	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145	138, 144	r19.29a 3148	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
146	19	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
147	145, 146	r19.29a 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
148	21, 147	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923   class class class wbr 5119  {copab 5181  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  distcds 17280  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  LineGclng 28413  hlGchlg 28579  hpGchpg 28736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-s3 14868  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkgld 28431  df-trkg 28432  df-cgrg 28490  df-leg 28562  df-hlg 28580  df-mir 28632  df-rag 28673  df-perpg 28675  df-hpg 28737

This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  28743  hpgtr  28747  colhp  28749  lnperpex  28782  trgcopyeulem  28784