Theorem lnopp2hpgb 26854

Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lnopp2hpgb	⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb

Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopp2hpgb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
3		lnopp2hpgb.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6		breq2 5057	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑 ↔ 𝐴𝑂𝐶))
7		breq2 5057	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑 ↔ 𝐵𝑂𝐶))
8	6, 7	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)))
9	8	rspcev 3537	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
10	2, 4, 5, 9	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
11		ishpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
12		ishpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		ishpg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15		ishpg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		ishpg.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17		hpgbr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		hpgbr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hpgbr 26851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
20	19	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
21	10, 20	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23	16	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
25	15	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
28	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
31	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	31	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	3	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
37		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
38	11, 13, 12, 25, 23, 37	tglnpt 26640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
40		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
41	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35	oppne1 26832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
42		nelne2 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
43	40, 41, 42	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
44	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tgelrnln 26721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
45	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx2 26725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46		nelne1 3038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
47	45, 41, 46	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
48	47	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
50		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
51	11, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50	btwnlng1 26710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
52	36, 51	elind 4108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
53	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx1 26724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
54	40, 53	elind 4108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
55	11, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54	tglineineq 26734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
56	55, 43	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐴)
57	56	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑧)
58		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
59	11, 13, 12, 25, 23, 58	tglnpt 26640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
63	62	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
64	63	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ 𝑃)
65		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
66	65	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
67	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66	oppne1 26832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
68		nelne2 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
69	61, 67, 68	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
70	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tgelrnln 26721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
71	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx2 26725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72		nelne1 3038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
73	71, 67, 72	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
74	73	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
76	11, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75	btwnlng1 26710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
77	36, 76	elind 4108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
78	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx1 26724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
79	61, 78	elind 4108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
80	11, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79	tglineineq 26734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
81	80, 69	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐵)
82	81	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
84	83	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
85	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84	oppne2 26833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
86		nelne2 3039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
87	36, 85, 86	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
88	87	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ≠ 𝑧)
89		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
90	89	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
91	11, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90	tgbtwncom 26579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
92	80, 91	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
94	11, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 93	tgbtwncom 26579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
95	55, 94	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
96	11, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 95	tgbtwnconn2 26667	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
97	11, 12, 27, 30, 33, 49, 26	ishlg 26693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ 𝐵 ≠ 𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
98	57, 82, 96, 97	mpbir3and 1344	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
99	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 98	opphl 26845	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
100	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
102		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
103	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
105	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
106	3	ad10antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
107		simp-5r 786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
108	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
109		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
110		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐷)
111		nelne2 3039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
112	107, 110, 111	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
113	112	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑦)
114	11, 22, 12, 101, 108, 102, 105, 109, 113	tgbtwnne 26581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
115	11, 12, 27, 108, 105, 102, 101, 105, 109, 114, 113	btwnhl1 26703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
116	11, 12, 27, 102, 105, 108, 101, 115	hlcomd 26695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
117	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 105, 102, 104, 106, 107, 116	opphl 26845	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
118	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
119	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
120		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
121		nelne2 3039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
122	118, 110, 121	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
123	122	necomd 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑥)
124	11, 22, 12, 101, 119, 102, 103, 120, 123	tgbtwnne 26581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
125	11, 12, 27, 119, 103, 102, 101, 105, 120, 124, 123	btwnhl1 26703	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
126	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 102, 103, 104, 117, 118, 125	opphl 26845	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
127	99, 126	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
128		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
129	11, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 128	axtgpasch 26558	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
130	127, 129	r19.29a 3208	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
131	11, 22, 12, 14, 31, 62	islnopp 26830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
132	65, 131	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
133	132	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
134		eleq1w 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
135	134	cbvrexvw 3359	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
136	133, 135	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137	136	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138	130, 137	r19.29a 3208	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
139	11, 22, 12, 14, 28, 62	islnopp 26830	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
140	83, 139	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
141	140	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
142		eleq1w 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
143	142	cbvrexvw 3359	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
144	141, 143	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145	138, 144	r19.29a 3208	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
146	19	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
147	145, 146	r19.29a 3208	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
148	21, 147	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3863   class class class wbr 5053  {copab 5115  ran crn 5552  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  hlGchlg 26691  hpGchpg 26848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkgld 26543  df-trkg 26544  df-cgrg 26602  df-leg 26674  df-hlg 26692  df-mir 26744  df-rag 26785  df-perpg 26787  df-hpg 26849

This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  26855  hpgtr  26859  colhp  26861  lnperpex  26894  trgcopyeulem  26896