Theorem lnopp2hpgb 28708

Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lnopp2hpgb	⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb

Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopp2hpgb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
3		lnopp2hpgb.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑 ↔ 𝐴𝑂𝐶))
7		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑 ↔ 𝐵𝑂𝐶))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)))
9	8	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
10	2, 4, 5, 9	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
11		ishpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
12		ishpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		ishpg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15		ishpg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		ishpg.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17		hpgbr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		hpgbr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hpgbr 28705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
21	10, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23	16	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
25	15	ad7antr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
28	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
31	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	31	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	3	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
38	11, 13, 12, 25, 23, 37	tglnpt 28494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
40		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
41	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35	oppne1 28686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
42		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
44	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tgelrnln 28575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
45	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx2 28579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46		nelne1 3022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
47	45, 41, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
48	47	necomd 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
50		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
51	11, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50	btwnlng1 28564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
52	36, 51	elind 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
53	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx1 28578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
54	40, 53	elind 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
55	11, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54	tglineineq 28588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
56	55, 43	eqnetrd 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐴)
57	56	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑧)
58		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
59	11, 13, 12, 25, 23, 58	tglnpt 28494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
63	62	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
64	63	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ 𝑃)
65		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
66	65	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
67	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66	oppne1 28686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
68		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
69	61, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
70	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tgelrnln 28575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
71	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx2 28579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72		nelne1 3022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
73	71, 67, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
74	73	necomd 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
76	11, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75	btwnlng1 28564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
77	36, 76	elind 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
78	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx1 28578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
79	61, 78	elind 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
80	11, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79	tglineineq 28588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
81	80, 69	eqnetrd 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐵)
82	81	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
84	83	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
85	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84	oppne2 28687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
86		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
87	36, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
88	87	necomd 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ≠ 𝑧)
89		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
90	89	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
91	11, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90	tgbtwncom 28433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
92	80, 91	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
94	11, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 93	tgbtwncom 28433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
95	55, 94	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
96	11, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 95	tgbtwnconn2 28521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
97	11, 12, 27, 30, 33, 49, 26	ishlg 28547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ 𝐵 ≠ 𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
98	57, 82, 96, 97	mpbir3and 1343	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
99	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 98	opphl 28699	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
100	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
102		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
103	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104	1	ad10antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
105	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
106	3	ad10antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
107		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
108	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
109		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐷)
111		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
112	107, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
113	112	necomd 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑦)
114	11, 22, 12, 101, 108, 102, 105, 109, 113	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
115	11, 12, 27, 108, 105, 102, 101, 105, 109, 114, 113	btwnhl1 28557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
116	11, 12, 27, 102, 105, 108, 101, 115	hlcomd 28549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
117	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 105, 102, 104, 106, 107, 116	opphl 28699	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
118	58	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
119	59	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
120		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
121		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
122	118, 110, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
123	122	necomd 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑥)
124	11, 22, 12, 101, 119, 102, 103, 120, 123	tgbtwnne 28435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
125	11, 12, 27, 119, 103, 102, 101, 105, 120, 124, 123	btwnhl1 28557	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
126	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 102, 103, 104, 117, 118, 125	opphl 28699	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
127	99, 126	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
128		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
129	11, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 128	axtgpasch 28412	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
130	127, 129	r19.29a 3137	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
131	11, 22, 12, 14, 31, 62	islnopp 28684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
132	65, 131	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
133	132	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
134		eleq1w 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
135	134	cbvrexvw 3208	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
136	133, 135	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137	136	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138	130, 137	r19.29a 3137	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
139	11, 22, 12, 14, 28, 62	islnopp 28684	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
140	83, 139	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
141	140	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
142		eleq1w 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
143	142	cbvrexvw 3208	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
144	141, 143	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145	138, 144	r19.29a 3137	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
146	19	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
147	145, 146	r19.29a 3137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
148	21, 147	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5092  {copab 5154  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  LineGclng 28379  hlGchlg 28545  hpGchpg 28702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgb 28394  df-trkgcb 28395  df-trkgld 28397  df-trkg 28398  df-cgrg 28456  df-leg 28528  df-hlg 28546  df-mir 28598  df-rag 28639  df-perpg 28641  df-hpg 28703

This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  28709  hpgtr  28713  colhp  28715  lnperpex  28748  trgcopyeulem  28750