Theorem lnopp2hpgb 28483

Description: Theorem 9.8 of [Schwabhauser] p. 71. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishpg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ishpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
ishpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
lnopp2hpgb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lnopp2hpgb	⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem lnopp2hpgb

Dummy variables 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopp2hpgb.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
3		lnopp2hpgb.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴𝑂𝐶)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐵𝑂𝐶)
6		breq2 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐴𝑂𝑑 ↔ 𝐴𝑂𝐶))
7		breq2 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵𝑂𝑑 ↔ 𝐵𝑂𝐶))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑) ↔ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)))
9	8	rspcev 3604	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴𝑂𝐶 ∧ 𝐵𝑂𝐶)) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
10	2, 4, 5, 9	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
11		ishpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
12		ishpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
13		ishpg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		ishpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
15		ishpg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		ishpg.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17		hpgbr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		hpgbr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hpgbr 28480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)))
21	10, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵𝑂𝐶) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
22		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23	16	ad7antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
24	23	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
25	15	ad7antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	25	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
28	17	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	28	ad4antr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
30	29	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
31	18	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
32	31	ad4antr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
33	32	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	1	ad10antr 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
35	3	ad10antr 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝐷)
37		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
38	11, 13, 12, 25, 23, 37	tglnpt 28269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39	38	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
40		simp-5r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
41	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 34, 35	oppne1 28461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
42		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
44	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tgelrnln 28350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
45	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx2 28354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
46		nelne1 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑦𝐿𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
47	45, 41, 46	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑦𝐿𝐴) ≠ 𝐷)
48	47	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑦𝐿𝐴))
49		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
50		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
51	11, 12, 13, 26, 39, 30, 49, 43, 50	btwnlng1 28339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
52	36, 51	elind 4186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
53	11, 12, 13, 26, 39, 30, 43	tglinerflx1 28353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑦𝐿𝐴))
54	40, 53	elind 4186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐷 ∩ (𝑦𝐿𝐴)))
55	11, 12, 13, 26, 24, 44, 48, 52, 54	tglineineq 28363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑦)
56	55, 43	eqnetrd 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐴)
57	56	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝑧)
58		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
59	11, 13, 12, 25, 23, 58	tglnpt 28269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
63	62	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑑 ∈ 𝑃)
64	63	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ 𝑃)
65		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝑑)
66	65	ad7antr 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝑑)
67	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 33, 64, 66	oppne1 28461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
68		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
69	61, 67, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
70	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tgelrnln 28350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
71	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx2 28354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
72		nelne1 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝑥𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
73	71, 67, 72	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
74	73	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ≠ (𝑥𝐿𝐵))
75		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
76	11, 12, 13, 26, 60, 33, 49, 69, 75	btwnlng1 28339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
77	36, 76	elind 4186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
78	11, 12, 13, 26, 60, 33, 69	tglinerflx1 28353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝐵))
79	61, 78	elind 4186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐷 ∩ (𝑥𝐿𝐵)))
80	11, 12, 13, 26, 24, 70, 74, 77, 79	tglineineq 28363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 = 𝑥)
81	80, 69	eqnetrd 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝐵)
82	81	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝑧)
83		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐴𝑂𝑑)
84	83	ad7antr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝑑)
85	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 30, 64, 84	oppne2 28462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
86		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
87	36, 85, 86	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑑)
88	87	necomd 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑑 ≠ 𝑧)
89		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
90	89	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
91	11, 22, 12, 26, 30, 60, 64, 90	tgbtwncom 28208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
92	80, 91	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐴))
93		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
94	11, 22, 12, 26, 33, 39, 64, 93	tgbtwncom 28208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
95	55, 94	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑑𝐼𝐵))
96	11, 12, 26, 64, 49, 30, 33, 88, 92, 95	tgbtwnconn2 28296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))
97	11, 12, 27, 30, 33, 49, 26	ishlg 28322	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ 𝐵 ≠ 𝑧 ∧ (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑧𝐼𝐴)))))
98	57, 82, 96, 97	mpbir3and 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑧)𝐵)
99	11, 22, 12, 14, 13, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 35, 36, 98	opphl 28474	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
100	23	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101	25	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
102		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ 𝑃)
103	32	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
104	1	ad10antr 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝑃)
105	29	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃)
106	3	ad10antr 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴𝑂𝐶)
107		simp-5r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
108	38	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝑃)
109		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐷)
111		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
112	107, 110, 111	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑧)
113	112	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑦)
114	11, 22, 12, 101, 108, 102, 105, 109, 113	tgbtwnne 28210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝐴)
115	11, 12, 27, 108, 105, 102, 101, 105, 109, 114, 113	btwnhl1 28332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝐴)
116	11, 12, 27, 102, 105, 108, 101, 115	hlcomd 28324	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐴((hlG‘𝐺)‘𝑦)𝑧)
117	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 105, 102, 104, 106, 107, 116	opphl 28474	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧𝑂𝐶)
118	58	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
119	59	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃)
120		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
121		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
122	118, 110, 121	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑧)
123	122	necomd 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧 ≠ 𝑥)
124	11, 22, 12, 101, 119, 102, 103, 120, 123	tgbtwnne 28210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝐵)
125	11, 12, 27, 119, 103, 102, 101, 105, 120, 124, 123	btwnhl1 28332	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧((hlG‘𝐺)‘𝑥)𝐵)
126	11, 22, 12, 14, 13, 100, 101, 27, 102, 103, 104, 117, 118, 125	opphl 28474	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝐵𝑂𝐶)
127	99, 126	pm2.61dan 810	. . . . . 6 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴))) → 𝐵𝑂𝐶)
128		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
129	11, 22, 12, 25, 29, 32, 63, 59, 38, 89, 128	axtgpasch 28187	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦𝐼𝐴)))
130	127, 129	r19.29a 3154	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
131	11, 22, 12, 14, 31, 62	islnopp 28459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐵𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))))
132	65, 131	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
133	132	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
134		eleq1w 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑)))
135	134	cbvrexvw 3227	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝑑) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
136	133, 135	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
137	136	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 ∈ (𝐵𝐼𝑑))
138	130, 137	r19.29a 3154	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
139	11, 22, 12, 14, 28, 62	islnopp 28459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → (𝐴𝑂𝑑 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))))
140	83, 139	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
141	140	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
142		eleq1w 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑)))
143	142	cbvrexvw 3227	. . . . 5 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑑) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
144	141, 143	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑑))
145	138, 144	r19.29a 3154	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑)) → 𝐵𝑂𝐶)
146	19	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑑 ∧ 𝐵𝑂𝑑))
147	145, 146	r19.29a 3154	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑂𝐶)
148	21, 147	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3937   class class class wbr 5138  {copab 5200  ran crn 5667  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 28147  Itvcitv 28153  LineGclng 28154  hlGchlg 28320  hpGchpg 28477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-trkgc 28168  df-trkgb 28169  df-trkgcb 28170  df-trkgld 28172  df-trkg 28173  df-cgrg 28231  df-leg 28303  df-hlg 28321  df-mir 28373  df-rag 28414  df-perpg 28416  df-hpg 28478

This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  28484  hpgtr  28488  colhp  28490  lnperpex  28523  trgcopyeulem  28525