MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbprop 18429
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbprop.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbprop.l = (le‘𝐾)
glbprop.u 𝑈 = (glb‘𝐾)
glbprop.k (𝜑𝐾𝑉)
glbprop.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
glbprop (𝜑 → (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   (𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbprop.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbprop.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbprop.u . . . 4 𝑈 = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . . 4 ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbprop.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
6 glbprop.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
71, 2, 3, 5, 6glbelss 18425 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 18427 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
98eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆))
101, 3, 5, 6glbcl 18428 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6glbeu 18426 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
12 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑈𝑆) 𝑦))
1312ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦))
14 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑧 𝑥𝑧 (𝑈𝑆)))
1514imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
1615ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
1713, 16anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆)))))
1817riota2 7413 . . 3 (((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) → ((∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆)))
1910, 11, 18syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆)))
209, 19mpbird 257 1 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  crio 7387  Basecbs 17245  lecple 17305  glbcglb 18368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-glb 18405
This theorem is referenced by:  glble  18430  clatglb  18574
  Copyright terms: Public domain W3C validator