MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbprop 17389
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbprop.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbprop.l = (le‘𝐾)
glbprop.u 𝑈 = (glb‘𝐾)
glbprop.k (𝜑𝐾𝑉)
glbprop.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
glbprop (𝜑 → (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   (𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbprop.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbprop.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbprop.u . . . 4 𝑈 = (glb‘𝐾)
4 biid 253 . . . 4 ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbprop.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
6 glbprop.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
71, 2, 3, 5, 6glbelss 17385 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 17387 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
98eqcomd 2784 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆))
101, 3, 5, 6glbcl 17388 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6glbeu 17386 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
12 breq1 4891 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑈𝑆) 𝑦))
1312ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦))
14 breq2 4892 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑧 𝑥𝑧 (𝑈𝑆)))
1514imbi2d 332 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
1615ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
1713, 16anbi12d 624 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆)))))
1817riota2 6907 . . 3 (((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) → ((∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆)))
1910, 11, 18syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆)))
209, 19mpbird 249 1 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  ∃!wreu 3092   class class class wbr 4888  dom cdm 5357  cfv 6137  crio 6884  Basecbs 16259  lecple 16349  glbcglb 17333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-glb 17365
This theorem is referenced by:  glble  17390  clatglb  17514
  Copyright terms: Public domain W3C validator