MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbprop 18362
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbprop.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbprop.l = (le‘𝐾)
glbprop.u 𝑈 = (glb‘𝐾)
glbprop.k (𝜑𝐾𝑉)
glbprop.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
glbprop (𝜑 → (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   (𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbprop.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbprop.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbprop.u . . . 4 𝑈 = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . . 4 ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbprop.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
6 glbprop.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
71, 2, 3, 5, 6glbelss 18358 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 18360 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
98eqcomd 2734 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆))
101, 3, 5, 6glbcl 18361 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6glbeu 18359 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
12 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝑈𝑆) 𝑦))
1312ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦))
14 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (𝑧 𝑥𝑧 (𝑈𝑆)))
1514imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
1615ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝑆) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
1713, 16anbi12d 631 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝑆) → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆)))))
1817riota2 7402 . . 3 (((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) → ((∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆)))
1910, 11, 18syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))) ↔ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))) = (𝑈𝑆)))
209, 19mpbird 257 1 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 (𝑈𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝑈𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  ∃!wreu 3371   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  cfv 6548  crio 7375  Basecbs 17179  lecple 17239  glbcglb 18301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-glb 18338
This theorem is referenced by:  glble  18363  clatglb  18507
  Copyright terms: Public domain W3C validator