Theorem clatleglb 18024

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatglble 18023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
5	4	3expa 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
6	5	3adantl2 1169	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
7		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8		clatl 18014	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	clatglbcl 18011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
12	11	3adant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
14		ssel 3893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	3ad2ant3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	1, 2	lattr 17950	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
19	6, 18	mpan2d 694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → 𝑋 ≤ 𝑦))
20	19	ralrimdva 3110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
21	1, 2, 3	clatglb 18022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))))
22		breq1 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
24		breq1 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
25	23, 24	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
26	25	rspccv 3534	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
27	21, 26	simpl2im 507	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
29	28	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
30	29	3imp 1113	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
31	20, 30	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  lecple 16809  glbcglb 17817  Latclat 17937  CLatccla 18004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-oprab 7217  df-poset 17820  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-lat 17938  df-clat 18005

This theorem is referenced by:  clatglbss  18025  pmapglbx  37520  diaglbN  38806  dihglblem2N  39045  dihglbcpreN  39051  dihglblem6  39091  dochvalr  39108