Theorem clatleglb 18236

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatglble 18235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
5	4	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
6	5	3adantl2 1166	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
7		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8		clatl 18226	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	clatglbcl 18223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
12	11	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
14		ssel 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	1, 2	lattr 18162	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
19	6, 18	mpan2d 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → 𝑋 ≤ 𝑦))
20	19	ralrimdva 3106	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
21	1, 2, 3	clatglb 18234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))))
22		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
24		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
25	23, 24	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
26	25	rspccv 3558	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
27	21, 26	simpl2im 504	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
29	28	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
30	29	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
31	20, 30	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  glbcglb 18028  Latclat 18149  CLatccla 18216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-oprab 7279  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-lat 18150  df-clat 18217

This theorem is referenced by:  clatglbss  18237  pmapglbx  37783  diaglbN  39069  dihglblem2N  39308  dihglbcpreN  39314  dihglblem6  39354  dochvalr  39371