MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatleglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatleglb 17334
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatleglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatglble 17333 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
543expa 1111 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
653adantl2 1172 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
7 simpl1 1227 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8 clatl 17324 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10 simpl2 1229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋𝐵)
111, 3clatglbcl 17322 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
12113adant2 1125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
1312adantr 466 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
14 ssel 3746 . . . . . . 7 (𝑆𝐵 → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
15143ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
1615imp 393 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
171, 2lattr 17264 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
196, 18mpan2d 674 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑋 (𝐺𝑆) → 𝑋 𝑦))
2019ralrimdva 3118 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) → ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
211, 2, 3clatglb 17332 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
2221simprd 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)))
23 breq1 4789 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 𝑦𝑋 𝑦))
2423ralbidv 3135 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
25 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ 𝑋 (𝐺𝑆)))
2624, 25imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2726rspccv 3457 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2822, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2928ex 397 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → (𝑆𝐵 → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
3029com23 86 . . 3 (𝐾 ∈ CLat → (𝑋𝐵 → (𝑆𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
31303imp 1101 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))
3220, 31impbid 202 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  glbcglb 17151  Latclat 17253  CLatccla 17315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-oprab 6797  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-clat 17316
This theorem is referenced by:  clatglbss  17335  pmapglbx  35577  diaglbN  36865  dihglblem2N  37104  dihglbcpreN  37110  dihglblem6  37150  dochvalr  37167
  Copyright terms: Public domain W3C validator