MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatleglb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clatleglb 18471
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
clatglb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
clatglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
clatleglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≀   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋
Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 clatglb.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 clatglb.g . . . . . . 7 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
41, 2, 3clatglble 18470 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦)
543expa 1119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦)
653adantl2 1168 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦)
7 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
8 clatl 18461 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 3clatglbcl 18458 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
12113adant2 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
1312adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
14 ssel 3976 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
15143ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
1615imp 408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
171, 2lattr 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦))
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦))
196, 18mpan2d 693 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦))
2019ralrimdva 3155 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
211, 2, 3clatglb 18469 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
22 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑋 ≀ 𝑦))
2322ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
24 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))
2523, 24imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
2625rspccv 3610 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
2721, 26simpl2im 505 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
2827ex 414 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))))
2928com23 86 . . 3 (𝐾 ∈ CLat β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))))
30293imp 1112 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))
3120, 30impbid 211 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  glbcglb 18263  Latclat 18384  CLatccla 18451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-oprab 7413  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385  df-clat 18452
This theorem is referenced by:  clatglbss  18472  pmapglbx  38640  diaglbN  39926  dihglblem2N  40165  dihglbcpreN  40171  dihglblem6  40211  dochvalr  40228
  Copyright terms: Public domain W3C validator