Theorem clatleglb 17565

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatglble 17564	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
5	4	3expa 1111	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
6	5	3adantl2 1160	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
7		simpl1 1184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8		clatl 17555	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpl2 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	clatglbcl 17553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
12	11	3adant2 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
14		ssel 3885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	3ad2ant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	1, 2	lattr 17495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1365	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
19	6, 18	mpan2d 690	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → 𝑋 ≤ 𝑦))
20	19	ralrimdva 3155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
21	1, 2, 3	clatglb 17563	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))))
22		breq1 4967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
24		breq1 4967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
25	23, 24	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
26	25	rspccv 3554	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
27	21, 26	simpl2im 504	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
29	28	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
30	29	3imp 1104	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
31	20, 30	impbid 213	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∀wral 3104   ⊆ wss 3861   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  Basecbs 16312  lecple 16401  glbcglb 17382  Latclat 17484  CLatccla 17546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-oprab 7023  df-poset 17385  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-lat 17485  df-clat 17547

This theorem is referenced by:  clatglbss  17566  pmapglbx  36449  diaglbN  37735  dihglblem2N  37974  dihglbcpreN  37980  dihglblem6  38020  dochvalr  38037