Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatleglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatleglb 17730
 Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatleglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatglble 17729 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
543expa 1115 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
653adantl2 1164 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
7 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8 clatl 17720 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋𝐵)
111, 3clatglbcl 17718 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
12113adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
1312adantr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
14 ssel 3908 . . . . . . 7 (𝑆𝐵 → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
15143ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
1615imp 410 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
171, 2lattr 17660 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
196, 18mpan2d 693 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑋 (𝐺𝑆) → 𝑋 𝑦))
2019ralrimdva 3154 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) → ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
211, 2, 3clatglb 17728 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
22 breq1 5033 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 𝑦𝑋 𝑦))
2322ralbidv 3162 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
24 breq1 5033 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ 𝑋 (𝐺𝑆)))
2523, 24imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2625rspccv 3568 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2721, 26simpl2im 507 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2827ex 416 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → (𝑆𝐵 → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
2928com23 86 . . 3 (𝐾 ∈ CLat → (𝑋𝐵 → (𝑆𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
30293imp 1108 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))
3120, 30impbid 215 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  Basecbs 16477  lecple 16566  glbcglb 17547  Latclat 17649  CLatccla 17711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-oprab 7139  df-poset 17550  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-lat 17650  df-clat 17712 This theorem is referenced by:  clatglbss  17731  pmapglbx  37081  diaglbN  38367  dihglblem2N  38606  dihglbcpreN  38612  dihglblem6  38652  dochvalr  38669
 Copyright terms: Public domain W3C validator