MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatleglb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clatleglb 18475
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
clatglb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
clatglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
clatleglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≀   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋
Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 clatglb.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 clatglb.g . . . . . . 7 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
41, 2, 3clatglble 18474 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦)
543expa 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦)
653adantl2 1165 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦)
7 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
8 clatl 18465 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 3clatglbcl 18462 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
12113adant2 1129 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
1312adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
14 ssel 3974 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
15143ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
1615imp 405 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
171, 2lattr 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦))
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦))
196, 18mpan2d 690 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦))
2019ralrimdva 3152 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
211, 2, 3clatglb 18473 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (πΊβ€˜π‘†) ≀ 𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
22 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑋 ≀ 𝑦))
2322ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
24 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))
2523, 24imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
2625rspccv 3608 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 ≀ 𝑦 β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘†)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
2721, 26simpl2im 502 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
2827ex 411 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))))
2928com23 86 . . 3 (𝐾 ∈ CLat β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))))
30293imp 1109 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦 β†’ 𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†)))
3120, 30impbid 211 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 ≀ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  glbcglb 18267  Latclat 18388  CLatccla 18455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-oprab 7415  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-clat 18456
This theorem is referenced by:  clatglbss  18476  pmapglbx  38943  diaglbN  40229  dihglblem2N  40468  dihglbcpreN  40474  dihglblem6  40514  dochvalr  40531
  Copyright terms: Public domain W3C validator