Theorem clatleglb 17334

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatglble 17333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
5	4	3expa 1111	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
6	5	3adantl2 1172	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
7		simpl1 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8		clatl 17324	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpl2 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	clatglbcl 17322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
12	11	3adant2 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
14		ssel 3746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	3ad2ant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	imp 393	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	1, 2	lattr 17264	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1478	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
19	6, 18	mpan2d 674	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → 𝑋 ≤ 𝑦))
20	19	ralrimdva 3118	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
21	1, 2, 3	clatglb 17332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))))
22	21	simprd 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)))
23		breq1 4789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
24	23	ralbidv 3135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
25		breq1 4789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
26	24, 25	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
27	26	rspccv 3457	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
28	22, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
29	28	ex 397	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
30	29	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
31	30	3imp 1101	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
32	20, 31	impbid 202	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  glbcglb 17151  Latclat 17253  CLatccla 17315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-oprab 6797  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-clat 17316

This theorem is referenced by:  clatglbss  17335  pmapglbx  35577  diaglbN  36865  dihglblem2N  37104  dihglbcpreN  37110  dihglblem6  37150  dochvalr  37167