Theorem clatleglb 18563

Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatleglb	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatglb.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		clatglb.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatglble 18562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
5	4	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
6	5	3adantl2 1168	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦)
7		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8		clatl 18553	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	clatglbcl 18550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
12	11	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
14		ssel 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	14	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	1, 2	lattr 18489	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
18	9, 10, 13, 16, 17	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦) → 𝑋 ≤ 𝑦))
19	6, 18	mpan2d 694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → 𝑋 ≤ 𝑦))
20	19	ralrimdva 3154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
21	1, 2, 3	clatglb 18561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))))
22		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))
24		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
25	23, 24	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
26	25	rspccv 3619	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆)) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
27	21, 26	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆))))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
29	28	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))))
30	29	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦 → 𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆)))
31	20, 30	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑋 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  glbcglb 18356  Latclat 18476  CLatccla 18543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-oprab 7435  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477  df-clat 18544

This theorem is referenced by:  clatglbss  18564  pmapglbx  39771  diaglbN  41057  dihglblem2N  41296  dihglbcpreN  41302  dihglblem6  41342  dochvalr  41359