Theorem cntzcmnss 19442

Description: Any subset in a commutative monoid is a subset of its centralizer. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnss.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnss	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Proof of Theorem cntzcmnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmnss.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzcmn 19441	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)
4		sseq2 3947	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑍‘𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
5	4	eqcoms 2746	. . . 4 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
6	5	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
7	6	adantld 491	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
8	3, 7	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Cntzccntz 18921  CMndccmn 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-cntz 18923  df-cmn 19388

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem2  21816