Theorem cntzcmnss 19778

Description: Any subset in a commutative monoid is a subset of its centralizer. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnss.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnss	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Proof of Theorem cntzcmnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmnss.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzcmn 19777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)
4		sseq2 3976	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑍‘𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
5	4	eqcoms 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
6	5	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
7	6	adantld 490	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
8	3, 7	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Cntzccntz 19254  CMndccmn 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-cntz 19256  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem2  22561