Theorem cntzcmnss 19753

Description: Any subset in a commutative monoid is a subset of its centralizer. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnss.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnss	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Proof of Theorem cntzcmnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmnss.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzcmn 19752	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)
4		sseq2 3956	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑍‘𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
5	4	eqcoms 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
6	5	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
7	6	adantld 490	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
8	3, 7	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Cntzccntz 19227  CMndccmn 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-cntz 19229  df-cmn 19694

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem2  22582