Theorem cntzcmnss 19357

Description: Any subset in a commutative monoid is a subset of its centralizer. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnss.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnss	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Proof of Theorem cntzcmnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmnss.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzcmn 19356	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)
4		sseq2 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝑍‘𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
5	4	eqcoms 2746	. . . 4 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
6	5	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
7	6	adantld 490	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = 𝐵 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))
8	3, 7	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Cntzccntz 18836  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-cntz 18838  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem2  21724