MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetlem3lem2 22039
Description: Lemma 2 for smadiadetlem3 22040. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
marep01ma.r 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
marep01ma.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
smadiadetlem.p 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
smadiadetlem.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
madetminlem.y π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
madetminlem.s 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
madetminlem.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
smadiadetlem.w π‘Š = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
smadiadetlem.z 𝑍 = (pmSgnβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem3lem2 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘…)β€˜ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐡   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑝,𝐡   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑛,π‘Š,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   Β· (𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   1 (𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑝)   π‘Š(𝑖,𝑗)   π‘Œ(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   0 (𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem smadiadetlem3lem2
StepHypRef Expression
1 marep01ma.r . . 3 𝑅 ∈ CRing
2 crngring 19984 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 ringcmn 20011 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
41, 2, 3mp2b 10 . 2 𝑅 ∈ CMnd
5 marep01ma.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 marep01ma.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
7 marep01ma.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
8 marep01ma.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘…)
9 smadiadetlem.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
10 smadiadetlem.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
11 madetminlem.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
12 madetminlem.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
13 madetminlem.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
14 smadiadetlem.w . . . . 5 π‘Š = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾})))
15 smadiadetlem.z . . . . 5 𝑍 = (pmSgnβ€˜(𝑁 βˆ– {𝐾}))
165, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15smadiadetlem3lem0 22037 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1716ralrimiva 3140 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Š (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
18 eqid 2733 . . . 4 (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) = (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))
1918rnmptss 7074 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ π‘Š (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2017, 19syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
21 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
22 eqid 2733 . . 3 (Cntzβ€˜π‘…) = (Cntzβ€˜π‘…)
2321, 22cntzcmnss 19627 . 2 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘…)β€˜ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
244, 20, 23sylancr 588 1 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›)))))) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘…)β€˜ran (𝑝 ∈ π‘Š ↦ (((π‘Œ ∘ 𝑍)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘…)(𝐺 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 βˆ– {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(π‘β€˜π‘›))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Cntzccntz 19103  SymGrpcsymg 19156  pmSgncpsgn 19279  CMndccmn 19570  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  β„€RHomczrh 20923   Mat cmat 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  smadiadetlem3  22040
  Copyright terms: Public domain W3C validator