MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzcmn 19872
Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cntzcmn ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cntzcmn.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
31, 2cntzssv 19358 . . 3 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
5 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝐵)
7 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
87sselda 3994 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2734 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
101, 9cmncom 19830 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
115, 6, 8, 10syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
1211ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
131, 9, 2cntzel 19353 . . . . . 6 ((𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
14133adant1 1129 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
1512, 14mpbird 257 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
16153expia 1120 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
1716ssrdv 4000 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍𝑆))
184, 17eqssd 4012 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Cntzccntz 19345  CMndccmn 19812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-cntz 19347  df-cmn 19814
This theorem is referenced by:  cntzcmnss  19873  cntzcmnf  19877  ablcntzd  19889  gsumadd  19955  rprmdvdsprod  33541
  Copyright terms: Public domain W3C validator