MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzcmn 18962
Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cntzcmn ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cntzcmn.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
31, 2cntzssv 18460 . . 3 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
5 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝐵)
7 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
87sselda 3953 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
101, 9cmncom 18925 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
115, 6, 8, 10syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
1211ralrimiva 3177 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
131, 9, 2cntzel 18455 . . . . . 6 ((𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
14133adant1 1127 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
1512, 14mpbird 260 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
16153expia 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
1716ssrdv 3959 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍𝑆))
184, 17eqssd 3970 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wss 3919  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  Cntzccntz 18447  CMndccmn 18908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-cntz 18449  df-cmn 18910
This theorem is referenced by:  cntzcmnss  18963  cntzcmnf  18967  ablcntzd  18979  gsumadd  19045
  Copyright terms: Public domain W3C validator