Theorem cntzcmn 18597

Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmn.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzssv 18110	. . 3 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
5		simpl1 1248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6		simpl3 1252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simp2 1173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	7	sselda 3826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10	1, 9	cmncom 18561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	1, 9, 2	cntzel 18105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	13	3adant1 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	12, 14	mpbird 249	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
16	15	3expia 1156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
17	16	ssrdv 3832	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	4, 17	eqssd 3843	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116   ⊆ wss 3797  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +_gcplusg 16304  Cntzccntz 18097  CMndccmn 18545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-cntz 18099  df-cmn 18547

This theorem is referenced by:  cntzcmnss  18598  cntzcmnf  18600  ablcntzd  18612  gsumadd  18675