Theorem cntzcmn 19913

Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmn.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzssv 19401	. . 3 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
5		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6		simpl3 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	7	sselda 3945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10	1, 9	cmncom 19871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	1, 9, 2	cntzel 19396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	13	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	12, 14	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
16	15	3expia 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
17	16	ssrdv 3951	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	4, 17	eqssd 3962	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  Cntzccntz 19388  CMndccmn 19853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-cntz 19390  df-cmn 19855

This theorem is referenced by:  cntzcmnss  19914  cntzcmnf  19918  ablcntzd  19930  gsumadd  19996  rprmdvdsprod  33794