Theorem cntzcmn 19755

Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmn.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzssv 19243	. . 3 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
5		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	7	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10	1, 9	cmncom 19713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	1, 9, 2	cntzel 19238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	13	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	12, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
16	15	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
17	16	ssrdv 3949	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	4, 17	eqssd 3961	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  +_gcplusg 17197  Cntzccntz 19230  CMndccmn 19695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-cntz 19232  df-cmn 19697

This theorem is referenced by:  cntzcmnss  19756  cntzcmnf  19760  ablcntzd  19772  gsumadd  19838  rprmdvdsprod  33499