MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzcmn 19834
Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cntzcmn ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cntzcmn.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
31, 2cntzssv 19318 . . 3 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
5 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝐵)
7 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
87sselda 3978 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
101, 9cmncom 19792 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
115, 6, 8, 10syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
1211ralrimiva 3136 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
131, 9, 2cntzel 19313 . . . . . 6 ((𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
14133adant1 1127 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
1512, 14mpbird 256 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
16153expia 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
1716ssrdv 3984 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍𝑆))
184, 17eqssd 3996 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3946  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  Cntzccntz 19305  CMndccmn 19774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-cntz 19307  df-cmn 19776
This theorem is referenced by:  cntzcmnss  19835  cntzcmnf  19839  ablcntzd  19851  gsumadd  19917  rprmdvdsprod  33415
  Copyright terms: Public domain W3C validator