Theorem cntzcmn 19807

Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cntzcmn.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
3	1, 2	cntzssv 19295	. . 3 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
5		simpl1 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6		simpl3 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	7	sselda 3915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10	1, 9	cmncom 19765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3131	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	1, 9, 2	cntzel 19290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	13	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	12, 14	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
16	15	3expia 1127	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
17	16	ssrdv 3921	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍‘𝑆))
18	4, 17	eqssd 3932	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  Cntzccntz 19282  CMndccmn 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-cntz 19284  df-cmn 19749

This theorem is referenced by:  cntzcmnss  19808  cntzcmnf  19812  ablcntzd  19824  gsumadd  19890  rprmdvdsprod  33626