Theorem cntzel 19363

Description: Membership in a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzfval.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
cntzfval.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzel	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦, +   𝑦,𝑀   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem cntzel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzfval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3		cntzfval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
4	1, 2, 3	elcntz 19362	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
5	4	baibd 539	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3966  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  +_gcplusg 17307  Cntzccntz 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-cntz 19357

This theorem is referenced by:  cntzsubg  19379  cntzcmn  19882  cntzsubrng  20593  cntzsubr  20632  cntzsdrg  20829