Theorem cntzel 19255

Description: Membership in a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzfval.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
cntzfval.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzel	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦, +   𝑦,𝑀   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem cntzel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzfval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3		cntzfval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
4	1, 2, 3	elcntz 19254	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
5	4	baibd 539	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Cntzccntz 19247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-cntz 19249

This theorem is referenced by:  cntzsubg  19271  cntzcmn  19770  cntzsubrng  20476  cntzsubr  20515  cntzsdrg  20711