Theorem cntzel 19150

Description: Membership in a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzfval.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
cntzfval.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzel	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦, +   𝑦,𝑀   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem cntzel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		cntzfval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3		cntzfval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
4	1, 2, 3	elcntz 19149	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
5	4	baibd 540	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  +_gcplusg 17176  Cntzccntz 19142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-ov 7393  df-cntz 19144

This theorem is referenced by:  cntzsubg  19164  cntzcmn  19665  cntzsubr  20342  cntzsdrg  20362