Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntzun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzun 31951
Description: The centralizer of a union is the intersection of the centralizers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzun.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzun.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzun ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐‘โ€˜๐‘Œ)))

Proof of Theorem cntzun
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 4152 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
21a1i 11 . . . . . 6 (((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
32pm5.32da 580 . . . . 5 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))))
4 anandi 675 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
53, 4bitrdi 287 . . . 4 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))))
6 unss 4145 . . . . 5 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ) โŠ† ๐ต)
7 cntzun.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
9 cntzun.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
107, 8, 9elcntz 19107 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆช ๐‘Œ) โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜(๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
116, 10sylbi 216 . . . 4 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜(๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
127, 8, 9elcntz 19107 . . . . 5 (๐‘‹ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‹) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
137, 8, 9elcntz 19107 . . . . 5 (๐‘Œ โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘Œ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))))
1412, 13bi2anan9 638 . . . 4 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))))
155, 11, 143bitr4d 311 . . 3 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜(๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘Œ))))
16 elin 3927 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘Œ)))
1715, 16bitr4di 289 . 2 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜(๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐‘โ€˜๐‘Œ))))
1817eqrdv 2731 1 ((๐‘‹ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘Œ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‹ โˆช ๐‘Œ)) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐‘โ€˜๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910   โŠ† wss 3911  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Cntzccntz 19100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-cntz 19102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator