Theorem xrge0tsmseq 32905

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmseq.h	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmseq	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem xrge0tsmseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
5	4	xrge0tsms2 24834	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6	2, 3, 5	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
7		en1eqsn 9311	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
8	1, 6, 7	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
9	8	unieqd 4925	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐺 tsums 𝐹) = ∪ {𝐶})
10		unisng 4932	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → ∪ {𝐶} = 𝐶)
11	1, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐶} = 𝐶)
12	9, 11	eqtr2d 2766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4632  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5152  ⟶wf 6549  (class class class)co 7423  1_oc1o 8488   ≈ cen 8970  0cc0 11154  +∞cpnf 11291  [,]cicc 13376   ↾_s cress 17237  ℝ^*_𝑠cxrs 17510   tsums ctsu 24113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-xadd 13142  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-hash 14343  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-ordt 17511  df-xrs 17512  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-ps 18586  df-tsr 18587  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-ntr 23007  df-nei 23085  df-cn 23214  df-haus 23302  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-tsms 24114

This theorem is referenced by:  esumid  33833