Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmseq 33052
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmseq.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmseq.h (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmseq (𝜑𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem xrge0tsmseq
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.h . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2 xrge0tsmseq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3 xrge0tsmseq.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4 xrge0tsmseq.g . . . . . 6 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
54xrge0tsms2 24847 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
62, 3, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
7 en1eqsn 9304 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
81, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
98unieqd 4918 . 2 (𝜑 (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
10 unisng 4923 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝐶} = 𝐶)
111, 10syl 17 . 2 (𝜑 {𝐶} = 𝐶)
129, 11eqtr2d 2777 1 (𝜑𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4624   cuni 4905   class class class wbr 5141  wf 6555  (class class class)co 7429  1oc1o 8495  cen 8978  0cc0 11151  +∞cpnf 11288  [,]cicc 13386  s cress 17270  *𝑠cxrs 17541   tsums ctsu 24124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12987  df-xadd 13151  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-ordt 17542  df-xrs 17543  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-ps 18607  df-tsr 18608  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-fbas 21353  df-fg 21354  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-ntr 23018  df-nei 23096  df-cn 23225  df-haus 23313  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-tsms 24125
This theorem is referenced by:  esumid  34023
  Copyright terms: Public domain W3C validator