Theorem xrge0tsmseq 33052

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmseq.h	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmseq	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem xrge0tsmseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
5	4	xrge0tsms2 24847	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
7		en1eqsn 9304	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
9	8	unieqd 4918	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐺 tsums 𝐹) = ∪ {𝐶})
10		unisng 4923	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → ∪ {𝐶} = 𝐶)
11	1, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐶} = 𝐶)
12	9, 11	eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4624  ∪ cuni 4905   class class class wbr 5141  ⟶wf 6555  (class class class)co 7429  1_oc1o 8495   ≈ cen 8978  0cc0 11151  +∞cpnf 11288  [,]cicc 13386   ↾_s cress 17270  ℝ^*_𝑠cxrs 17541   tsums ctsu 24124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12987  df-xadd 13151  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-ordt 17542  df-xrs 17543  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-ps 18607  df-tsr 18608  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-fbas 21353  df-fg 21354  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-ntr 23018  df-nei 23096  df-cn 23225  df-haus 23313  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-tsms 24125

This theorem is referenced by:  esumid  34023