Theorem xrge0tsmseq 33021

Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmseq.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmseq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmseq.h	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmseq	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem xrge0tsmseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmseq.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		xrge0tsmseq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		xrge0tsmseq.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
4		xrge0tsmseq.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
5	4	xrge0tsms2 24852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
6	2, 3, 5	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o)
7		en1eqsn 9300	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1o) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
8	1, 6, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝐶})
9	8	unieqd 4927	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐺 tsums 𝐹) = ∪ {𝐶})
10		unisng 4932	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → ∪ {𝐶} = 𝐶)
11	1, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐶} = 𝐶)
12	9, 11	eqtr2d 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ∪ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  {csn 4630  ∪ cuni 4914   class class class wbr 5149  ⟶wf 6554  (class class class)co 7425  1_oc1o 8492   ≈ cen 8975  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  [,]cicc 13380   ↾_s cress 17263  ℝ^*_𝑠cxrs 17536   tsums ctsu 24131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12982  df-xadd 13146  df-ioo 13381  df-ioc 13382  df-ico 13383  df-icc 13384  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-seq 14029  df-hash 14356  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-topgen 17479  df-ordt 17537  df-xrs 17538  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-fbas 21360  df-fg 21361  df-top 22897  df-topon 22914  df-topsp 22936  df-bases 22950  df-ntr 23025  df-nei 23103  df-cn 23232  df-haus 23320  df-fil 23851  df-fm 23943  df-flim 23944  df-flf 23945  df-tsms 24132

This theorem is referenced by:  esumid  33986