Theorem dalemkelat 37565

Description: Lemma for dath 37677. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))

Assertion

Ref	Expression
dalemkelat	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem dalemkelat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . 3 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkehl 37564	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 37305	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Latclat 18064  HLchlt 37291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292

This theorem is referenced by:  dalemcnes  37591  dalempnes  37592  dalemqnet  37593  dalemply  37595  dalemsly  37596  dalem1  37600  dalemcea  37601  dalem3  37605  dalem4  37606  dalem5  37608  dalem8  37611  dalem-cly  37612  dalem10  37614  dalem13  37617  dalem16  37620  dalem17  37621  dalem21  37635  dalem25  37639  dalem27  37640  dalem38  37651  dalem39  37652  dalem43  37656  dalem44  37657  dalem45  37658  dalem48  37661  dalem54  37667  dalem55  37668  dalem56  37669  dalem57  37670  dalem60  37673