Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem3 38523
Description: Lemma for dalemdnee 38525. (Contributed by NM, 10-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem3.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem3.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem3.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem3.d 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
dalem3.e 𝐸 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
dalem3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝐷 β‰  𝐸)

Proof of Theorem dalem3
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkehl 38482 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
31dalempea 38485 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
41dalemqea 38486 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
51dalemrea 38487 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61dalemyeo 38491 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
7 dalemc.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dalemc.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 dalemc.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 dalem3.o . . . . 5 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
11 dalem3.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
127, 8, 9, 10, 11lplnric 38411 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
132, 3, 4, 5, 6, 12syl131anc 1383 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
1413adantr 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
15 dalem3.e . . . . . . 7 𝐸 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
161dalemkelat 38483 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1817, 8, 9hlatjcl 38225 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 4, 5, 18syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
201, 8, 9dalemtjueb 38506 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
21 dalem3.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2217, 7, 21latmle1 18413 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
2316, 19, 20, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
2415, 23eqbrtrid 5182 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
25 breq1 5150 . . . . . 6 (𝐷 = 𝐸 β†’ (𝐷 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝐸 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
2624, 25syl5ibrcom 246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 = 𝐸 β†’ 𝐷 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
2726adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ (𝐷 = 𝐸 β†’ 𝐷 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
282adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ HL)
29 dalem3.z . . . . . . 7 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
30 dalem3.d . . . . . . 7 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
311, 7, 8, 9, 21, 10, 11, 29, 30dalemdea 38521 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐴)
3231adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝐷 ∈ 𝐴)
335adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
344adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
35 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝐷 β‰  𝑄)
367, 8, 9hlatexch1 38254 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ (𝐷 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝐷)))
3728, 32, 33, 34, 35, 36syl131anc 1383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ (𝐷 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝐷)))
387, 8, 9hlatlej2 38234 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
392, 3, 4, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
401, 8, 9dalempjqeb 38504 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
411, 8, 9dalemsjteb 38505 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4217, 7, 21latmle1 18413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4316, 40, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4430, 43eqbrtrid 5182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
451, 9dalemqeb 38499 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4617, 9atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ 𝐴 β†’ 𝐷 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4731, 46syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4817, 7, 8latjle12 18399 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐷 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑄 ∨ 𝐷) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4916, 45, 47, 40, 48syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐷 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑄 ∨ 𝐷) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5039, 44, 49mpbi2and 710 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∨ 𝐷) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
511, 9dalemreb 38500 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5217, 8, 9hlatjcl 38225 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
532, 4, 31, 52syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∨ 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5417, 7lattr 18393 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝐷) ∧ (𝑄 ∨ 𝐷) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5516, 51, 53, 40, 54syl13anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝐷) ∧ (𝑄 ∨ 𝐷) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5650, 55mpan2d 692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝐷) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5756adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ (𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝐷) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5827, 37, 573syld 60 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ (𝐷 = 𝐸 β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5958necon3bd 2954 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝐷 β‰  𝐸))
6014, 59mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  𝑄) β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358
This theorem is referenced by:  dalem4  38524  dalemdnee  38525
  Copyright terms: Public domain W3C validator