Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalema.ph |
. . . . 5
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | 1 | dalemkehl 38482 |
. . . 4
β’ (π β πΎ β HL) |
3 | 1 | dalempea 38485 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
4 | 1 | dalemqea 38486 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
5 | 1 | dalemrea 38487 |
. . . 4
β’ (π β π
β π΄) |
6 | 1 | dalemyeo 38491 |
. . . 4
β’ (π β π β π) |
7 | | dalemc.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | dalemc.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | dalemc.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | | dalem3.o |
. . . . 5
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
11 | | dalem3.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
12 | 7, 8, 9, 10, 11 | lplnric 38411 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
13 | 2, 3, 4, 5, 6, 12 | syl131anc 1383 |
. . 3
β’ (π β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
14 | 13 | adantr 481 |
. 2
β’ ((π β§ π· β π) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
15 | | dalem3.e |
. . . . . . 7
β’ πΈ = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) |
16 | 1 | dalemkelat 38483 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΎ β Lat) |
17 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . 10
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
18 | 17, 8, 9 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
19 | 2, 4, 5, 18 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
20 | 1, 8, 9 | dalemtjueb 38506 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | | dalem3.m |
. . . . . . . . 9
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
22 | 17, 7, 21 | latmle1 18413 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
23 | 16, 19, 20, 22 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π
)) |
24 | 15, 23 | eqbrtrid 5182 |
. . . . . 6
β’ (π β πΈ β€ (π β¨ π
)) |
25 | | breq1 5150 |
. . . . . 6
β’ (π· = πΈ β (π· β€ (π β¨ π
) β πΈ β€ (π β¨ π
))) |
26 | 24, 25 | syl5ibrcom 246 |
. . . . 5
β’ (π β (π· = πΈ β π· β€ (π β¨ π
))) |
27 | 26 | adantr 481 |
. . . 4
β’ ((π β§ π· β π) β (π· = πΈ β π· β€ (π β¨ π
))) |
28 | 2 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π· β π) β πΎ β HL) |
29 | | dalem3.z |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
30 | | dalem3.d |
. . . . . . 7
β’ π· = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
31 | 1, 7, 8, 9, 21, 10, 11, 29, 30 | dalemdea 38521 |
. . . . . 6
β’ (π β π· β π΄) |
32 | 31 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π· β π) β π· β π΄) |
33 | 5 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π· β π) β π
β π΄) |
34 | 4 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π· β π) β π β π΄) |
35 | | simpr 485 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π· β π) β π· β π) |
36 | 7, 8, 9 | hlatexch1 38254 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π· β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π· β π) β (π· β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π·))) |
37 | 28, 32, 33, 34, 35, 36 | syl131anc 1383 |
. . . 4
β’ ((π β§ π· β π) β (π· β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π·))) |
38 | 7, 8, 9 | hlatlej2 38234 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
39 | 2, 3, 4, 38 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β€ (π β¨ π)) |
40 | 1, 8, 9 | dalempjqeb 38504 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 1, 8, 9 | dalemsjteb 38505 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 17, 7, 21 | latmle1 18413 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
43 | 16, 40, 41, 42 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
44 | 30, 43 | eqbrtrid 5182 |
. . . . . . 7
β’ (π β π· β€ (π β¨ π)) |
45 | 1, 9 | dalemqeb 38499 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
46 | 17, 9 | atbase 38147 |
. . . . . . . . 9
β’ (π· β π΄ β π· β (BaseβπΎ)) |
47 | 31, 46 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π· β (BaseβπΎ)) |
48 | 17, 7, 8 | latjle12 18399 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π· β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π· β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π·) β€ (π β¨ π))) |
49 | 16, 45, 47, 40, 48 | syl13anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π β€ (π β¨ π) β§ π· β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π·) β€ (π β¨ π))) |
50 | 39, 44, 49 | mpbi2and 710 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β¨ π·) β€ (π β¨ π)) |
51 | 1, 9 | dalemreb 38500 |
. . . . . . 7
β’ (π β π
β (BaseβπΎ)) |
52 | 17, 8, 9 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π· β π΄) β (π β¨ π·) β (BaseβπΎ)) |
53 | 2, 4, 31, 52 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π β¨ π·) β (BaseβπΎ)) |
54 | 17, 7 | lattr 18393 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π·) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π
β€ (π β¨ π·) β§ (π β¨ π·) β€ (π β¨ π)) β π
β€ (π β¨ π))) |
55 | 16, 51, 53, 40, 54 | syl13anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π
β€ (π β¨ π·) β§ (π β¨ π·) β€ (π β¨ π)) β π
β€ (π β¨ π))) |
56 | 50, 55 | mpan2d 692 |
. . . . 5
β’ (π β (π
β€ (π β¨ π·) β π
β€ (π β¨ π))) |
57 | 56 | adantr 481 |
. . . 4
β’ ((π β§ π· β π) β (π
β€ (π β¨ π·) β π
β€ (π β¨ π))) |
58 | 27, 37, 57 | 3syld 60 |
. . 3
β’ ((π β§ π· β π) β (π· = πΈ β π
β€ (π β¨ π))) |
59 | 58 | necon3bd 2954 |
. 2
β’ ((π β§ π· β π) β (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β π· β πΈ)) |
60 | 14, 59 | mpd 15 |
1
β’ ((π β§ π· β π) β π· β πΈ) |