Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem1 39041
Description: Lemma for dath 39118. Show the lines 𝑃𝑆 and 𝑄𝑇 are different. (Contributed by NM, 9-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem1.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem1.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem dalem1
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . 3 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemclpjs 39016 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
31dalem-clpjq 39019 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
43adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
51dalemkehl 39005 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
61dalempea 39008 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
71dalemsea 39011 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
8 dalemc.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dalemc.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 dalemc.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
118, 9, 10hlatlej1 38756 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
125, 6, 7, 11syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
141dalemqea 39009 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
151dalemtea 39012 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
168, 9, 10hlatlej1 38756 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
175, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
19 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇))
2018, 19breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
211dalemkelat 39006 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
221, 10dalempeb 39021 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
231, 10dalemqeb 39022 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 9, 10hlatjcl 38748 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
265, 6, 7, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2724, 8, 9latjle12 18413 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
2821, 22, 23, 26, 27syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
3013, 20, 29mpbi2and 709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
311dalemrea 39010 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
321dalemyeo 39014 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
33 dalem1.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
34 dalem1.y . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
359, 10, 33, 34lplnri1 38935 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
365, 6, 14, 31, 32, 35syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
378, 9, 10ps-1 38859 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
385, 6, 14, 36, 6, 7, 37syl132anc 1385 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
4030, 39mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆))
4140breq2d 5153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
424, 41mtbid 324 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
4342ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
4443necon2ad 2949 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇)))
452, 44mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  Latclat 18394  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LPlanesclpl 38874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881
This theorem is referenced by:  dalemcea  39042  dalem2  39043
  Copyright terms: Public domain W3C validator