Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem1 38518
Description: Lemma for dath 38595. Show the lines 𝑃𝑆 and 𝑄𝑇 are different. (Contributed by NM, 9-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem1.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem1.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem dalem1
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . 3 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemclpjs 38493 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
31dalem-clpjq 38496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
43adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
51dalemkehl 38482 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
61dalempea 38485 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
71dalemsea 38488 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
8 dalemc.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dalemc.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 dalemc.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
118, 9, 10hlatlej1 38233 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
125, 6, 7, 11syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
141dalemqea 38486 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
151dalemtea 38489 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
168, 9, 10hlatlej1 38233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
175, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
19 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇))
2018, 19breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
211dalemkelat 38483 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
221, 10dalempeb 38498 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
231, 10dalemqeb 38499 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 9, 10hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
265, 6, 7, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2724, 8, 9latjle12 18399 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
2821, 22, 23, 26, 27syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
3013, 20, 29mpbi2and 710 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
311dalemrea 38487 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
321dalemyeo 38491 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
33 dalem1.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
34 dalem1.y . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
359, 10, 33, 34lplnri1 38412 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
365, 6, 14, 31, 32, 35syl131anc 1383 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
378, 9, 10ps-1 38336 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
385, 6, 14, 36, 6, 7, 37syl132anc 1388 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
4030, 39mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆))
4140breq2d 5159 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
424, 41mtbid 323 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
4342ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
4443necon2ad 2955 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇)))
452, 44mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358
This theorem is referenced by:  dalemcea  38519  dalem2  38520
  Copyright terms: Public domain W3C validator