Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem1 39132
Description: Lemma for dath 39209. Show the lines 𝑃𝑆 and 𝑄𝑇 are different. (Contributed by NM, 9-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem1.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem1.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalem1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem dalem1
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . 3 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemclpjs 39107 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
31dalem-clpjq 39110 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
43adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
51dalemkehl 39096 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
61dalempea 39099 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
71dalemsea 39102 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
8 dalemc.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dalemc.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 dalemc.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
118, 9, 10hlatlej1 38847 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
125, 6, 7, 11syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
141dalemqea 39100 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
151dalemtea 39103 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
168, 9, 10hlatlej1 38847 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
175, 14, 15, 16syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
19 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇))
2018, 19breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
211dalemkelat 39097 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
221, 10dalempeb 39112 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
231, 10dalemqeb 39113 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 9, 10hlatjcl 38839 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
265, 6, 7, 25syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2724, 8, 9latjle12 18442 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
2821, 22, 23, 26, 27syl13anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
3013, 20, 29mpbi2and 711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
311dalemrea 39101 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
321dalemyeo 39105 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
33 dalem1.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
34 dalem1.y . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
359, 10, 33, 34lplnri1 39026 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
365, 6, 14, 31, 32, 35syl131anc 1381 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
378, 9, 10ps-1 38950 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
385, 6, 14, 36, 6, 7, 37syl132anc 1386 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆)))
4030, 39mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑆))
4140breq2d 5160 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
424, 41mtbid 324 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇)) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
4342ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑇) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
4443necon2ad 2952 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇)))
452, 44mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) β‰  (𝑄 ∨ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  joincjn 18303  Latclat 18423  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LPlanesclpl 38965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972
This theorem is referenced by:  dalemcea  39133  dalem2  39134
  Copyright terms: Public domain W3C validator