Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalema.ph |
. . 3
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | 1 | dalemclpjs 38493 |
. 2
β’ (π β πΆ β€ (π β¨ π)) |
3 | 1 | dalem-clpjq 38496 |
. . . . . 6
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
4 | 3 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
5 | 1 | dalemkehl 38482 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΎ β HL) |
6 | 1 | dalempea 38485 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π΄) |
7 | 1 | dalemsea 38488 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π΄) |
8 | | dalemc.l |
. . . . . . . . . . 11
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | dalemc.j |
. . . . . . . . . . 11
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | dalemc.a |
. . . . . . . . . . 11
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 8, 9, 10 | hlatlej1 38233 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
12 | 5, 6, 7, 11 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β€ (π β¨ π)) |
13 | 12 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
14 | 1 | dalemqea 38486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β π΄) |
15 | 1 | dalemtea 38489 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β π΄) |
16 | 8, 9, 10 | hlatlej1 38233 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
17 | 5, 14, 15, 16 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β€ (π β¨ π)) |
18 | 17 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
19 | | simpr 485 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
20 | 18, 19 | breqtrrd 5175 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
21 | 1 | dalemkelat 38483 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΎ β Lat) |
22 | 1, 10 | dalempeb 38498 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 1, 10 | dalemqeb 38499 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
24 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
25 | 24, 9, 10 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 5, 6, 7, 25 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 24, 8, 9 | latjle12 18399 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
28 | 21, 22, 23, 26, 27 | syl13anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
29 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
30 | 13, 20, 29 | mpbi2and 710 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) |
31 | 1 | dalemrea 38487 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π
β π΄) |
32 | 1 | dalemyeo 38491 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π) |
33 | | dalem1.o |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
34 | | dalem1.y |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
35 | 9, 10, 33, 34 | lplnri1 38412 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π) β π β π) |
36 | 5, 6, 14, 31, 32, 35 | syl131anc 1383 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β π) |
37 | 8, 9, 10 | ps-1 38336 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
38 | 5, 6, 14, 36, 6, 7, 37 | syl132anc 1388 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π β¨ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
39 | 38 | adantr 481 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
40 | 30, 39 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
41 | 40 | breq2d 5159 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β (πΆ β€ (π β¨ π) β πΆ β€ (π β¨ π))) |
42 | 4, 41 | mtbid 323 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
43 | 42 | ex 413 |
. . 3
β’ (π β ((π β¨ π) = (π β¨ π) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π))) |
44 | 43 | necon2ad 2955 |
. 2
β’ (π β (πΆ β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) β (π β¨ π))) |
45 | 2, 44 | mpd 15 |
1
β’ (π β (π β¨ π) β (π β¨ π)) |