Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem10 38532
Description: Lemma for dath 38595. Atom 𝐷 belongs to the axis of perspectivity 𝑋. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem10.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem10.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem10.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem10.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem10.x 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
dalem10.d 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
Assertion
Ref Expression
dalem10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)

Proof of Theorem dalem10
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkelat 38483 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 dalemc.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalemc.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 3, 4dalempjqeb 38504 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
61, 4dalemreb 38500 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 dalemc.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
97, 8, 3latlej1 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
102, 5, 6, 9syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
111, 3, 4dalemsjteb 38505 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
121, 4dalemueb 38503 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
137, 8, 3latlej1 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
142, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
15 dalem10.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
16 dalem10.o . . . . . 6 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
171, 16dalemyeb 38508 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1815, 17eqeltrrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 dalem10.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
201dalemzeo 38492 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑂)
217, 16lplnbase 38393 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑂 β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2319, 22eqeltrrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 dalem10.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
257, 8, 24latmlem12 18420 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))))
262, 5, 18, 11, 23, 25syl122anc 1379 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))))
2710, 14, 26mp2and 697 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
28 dalem10.d . 2 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
29 dalem10.x . . 3 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
3015, 19oveq12i 7417 . . 3 (π‘Œ ∧ 𝑍) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
3129, 30eqtri 2760 . 2 𝑋 = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
3227, 28, 313brtr4g 5181 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lplanes 38358
This theorem is referenced by:  dalem11  38533  dalem16  38538  dalem54  38585
  Copyright terms: Public domain W3C validator