Theorem dalem10 39872

Description: Lemma for dath 39935. Atom 𝐷 belongs to the axis of perspectivity 𝑋. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem10.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalem10.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem10.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem10.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem10.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 ∧ 𝑍)
dalem10.d	⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
dalem10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem dalem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 39823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 3, 4	dalempjqeb 39844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 4	dalemreb 39840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8, 3	latlej1 18369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
10	2, 5, 6, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
11	1, 3, 4	dalemsjteb 39845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 4	dalemueb 39843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
13	7, 8, 3	latlej1 18369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
14	2, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
15		dalem10.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
16		dalem10.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
17	1, 16	dalemyeb 39848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
18	15, 17	eqeltrrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
19		dalem10.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
20	1	dalemzeo 39832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑂)
21	7, 16	lplnbase 39733	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑂 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
23	19, 22	eqeltrrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
24		dalem10.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
25	7, 8, 24	latmlem12 18392	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
26	2, 5, 18, 11, 23, 25	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))))
27	10, 14, 26	mp2and 699	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)))
28		dalem10.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
29		dalem10.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑌 ∧ 𝑍)
30	15, 19	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ (𝑌 ∧ 𝑍) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
31	29, 30	eqtri 2757	. 2 ⊢ 𝑋 = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
32	27, 28, 31	3brtr4g 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  lecple 17182  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352  Atomscatm 39462  HLchlt 39549  LPlanesclpl 39691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-poset 18234  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-lat 18353  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-lplanes 39698

This theorem is referenced by:  dalem11  39873  dalem16  39878  dalem54  39925