Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalema.ph |
. . . . 5
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | 1 | dalemkelat 38483 |
. . . 4
β’ (π β πΎ β Lat) |
3 | | dalemc.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | dalemc.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 3, 4 | dalempjqeb 38504 |
. . . 4
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
6 | 1, 4 | dalemreb 38500 |
. . . 4
β’ (π β π
β (BaseβπΎ)) |
7 | | eqid 2732 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | dalemc.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | 7, 8, 3 | latlej1 18397 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
10 | 2, 5, 6, 9 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ (π β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
11 | 1, 3, 4 | dalemsjteb 38505 |
. . . 4
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
12 | 1, 4 | dalemueb 38503 |
. . . 4
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 7, 8, 3 | latlej1 18397 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
14 | 2, 11, 12, 13 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ (π β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
15 | | dalem10.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
16 | | dalem10.o |
. . . . . 6
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
17 | 1, 16 | dalemyeb 38508 |
. . . . 5
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 15, 17 | eqeltrrid 2838 |
. . . 4
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
19 | | dalem10.z |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
20 | 1 | dalemzeo 38492 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π) |
21 | 7, 16 | lplnbase 38393 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 19, 22 | eqeltrrid 2838 |
. . . 4
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | | dalem10.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
25 | 7, 8, 24 | latmlem12 18420 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β§ (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π) β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ π)))) |
26 | 2, 5, 18, 11, 23, 25 | syl122anc 1379 |
. . 3
β’ (π β (((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β§ (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π) β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ π)))) |
27 | 10, 14, 26 | mp2and 697 |
. 2
β’ (π β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ (((π β¨ π) β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ π))) |
28 | | dalem10.d |
. 2
β’ π· = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
29 | | dalem10.x |
. . 3
β’ π = (π β§ π) |
30 | 15, 19 | oveq12i 7417 |
. . 3
β’ (π β§ π) = (((π β¨ π) β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) |
31 | 29, 30 | eqtri 2760 |
. 2
β’ π = (((π β¨ π) β¨ π
) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) |
32 | 27, 28, 31 | 3brtr4g 5181 |
1
β’ (π β π· β€ π) |