Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem13 35456
Description: Lemma for dalem14 35457. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem13.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem13.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem13.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem13.w 𝑊 = (𝑌 𝐶)
Assertion
Ref Expression
dalem13 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)

Proof of Theorem dalem13
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkehl 35403 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ HL)
32adantr 468 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
41dalemyeo 35412 . . 3 (𝜑𝑌𝑂)
54adantr 468 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌𝑂)
61dalemzeo 35413 . . 3 (𝜑𝑍𝑂)
76adantr 468 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑍𝑂)
8 dalemc.l . . 3 = (le‘𝐾)
9 dalemc.j . . 3 = (join‘𝐾)
10 dalemc.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 dalem13.o . . 3 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
12 eqid 2806 . . 3 (LVols‘𝐾) = (LVols‘𝐾)
13 dalem13.y . . 3 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
14 dalem13.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
15 dalem13.w . . 3 𝑊 = (𝑌 𝐶)
161, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dalem9 35452 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑊 ∈ (LVols‘𝐾))
171dalemkelat 35404 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
181, 11dalemyeb 35429 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
191, 10dalemceb 35418 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2806 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 8, 9latlej1 17265 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑌 (𝑌 𝐶))
2217, 18, 19, 21syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝑌 𝐶))
2322, 15syl6breqr 4886 . . 3 (𝜑𝑌 𝑊)
2423adantr 468 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌 𝑊)
251, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15dalem8 35450 . . 3 (𝜑𝑍 𝑊)
2625adantr 468 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑍 𝑊)
27 simpr 473 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
288, 9, 11, 122lplnj 35400 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂𝑊 ∈ (LVols‘𝐾)) ∧ (𝑌 𝑊𝑍 𝑊𝑌𝑍)) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)
293, 5, 7, 16, 24, 26, 27, 28syl133anc 1505 1 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978   class class class wbr 4844  cfv 6101  (class class class)co 6874  Basecbs 16068  lecple 16160  joincjn 17149  Latclat 17250  Atomscatm 35043  HLchlt 35130  LPlanesclpl 35272  LVolsclvol 35273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-proset 17133  df-poset 17151  df-plt 17163  df-lub 17179  df-glb 17180  df-join 17181  df-meet 17182  df-p0 17244  df-lat 17251  df-clat 17313  df-oposet 34956  df-ol 34958  df-oml 34959  df-covers 35046  df-ats 35047  df-atl 35078  df-cvlat 35102  df-hlat 35131  df-llines 35278  df-lplanes 35279  df-lvols 35280
This theorem is referenced by:  dalem14  35457
  Copyright terms: Public domain W3C validator