Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem13 38071
Description: Lemma for dalem14 38072. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem13.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem13.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem13.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem13.w 𝑊 = (𝑌 𝐶)
Assertion
Ref Expression
dalem13 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)

Proof of Theorem dalem13
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkehl 38018 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ HL)
32adantr 482 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
41dalemyeo 38027 . . 3 (𝜑𝑌𝑂)
54adantr 482 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌𝑂)
61dalemzeo 38028 . . 3 (𝜑𝑍𝑂)
76adantr 482 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑍𝑂)
8 dalemc.l . . 3 = (le‘𝐾)
9 dalemc.j . . 3 = (join‘𝐾)
10 dalemc.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 dalem13.o . . 3 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
12 eqid 2738 . . 3 (LVols‘𝐾) = (LVols‘𝐾)
13 dalem13.y . . 3 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
14 dalem13.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
15 dalem13.w . . 3 𝑊 = (𝑌 𝐶)
161, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dalem9 38067 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑊 ∈ (LVols‘𝐾))
171dalemkelat 38019 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
181, 11dalemyeb 38044 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
191, 10dalemceb 38033 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 8, 9latlej1 18297 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑌 (𝑌 𝐶))
2217, 18, 19, 21syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝑌 𝐶))
2322, 15breqtrrdi 5146 . . 3 (𝜑𝑌 𝑊)
2423adantr 482 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌 𝑊)
251, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15dalem8 38065 . . 3 (𝜑𝑍 𝑊)
2625adantr 482 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑍 𝑊)
27 simpr 486 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
288, 9, 11, 122lplnj 38015 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂𝑊 ∈ (LVols‘𝐾)) ∧ (𝑌 𝑊𝑍 𝑊𝑌𝑍)) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)
293, 5, 7, 16, 24, 26, 27, 28syl133anc 1394 1 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7352  Basecbs 17043  lecple 17100  joincjn 18160  Latclat 18280  Atomscatm 37657  HLchlt 37744  LPlanesclpl 37887  LVolsclvol 37888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-lat 18281  df-clat 18348  df-oposet 37570  df-ol 37572  df-oml 37573  df-covers 37660  df-ats 37661  df-atl 37692  df-cvlat 37716  df-hlat 37745  df-llines 37893  df-lplanes 37894  df-lvols 37895
This theorem is referenced by:  dalem14  38072
  Copyright terms: Public domain W3C validator