Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem13 36286
Description: Lemma for dalem14 36287. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem13.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem13.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem13.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem13.w 𝑊 = (𝑌 𝐶)
Assertion
Ref Expression
dalem13 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)

Proof of Theorem dalem13
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkehl 36233 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ HL)
32adantr 473 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
41dalemyeo 36242 . . 3 (𝜑𝑌𝑂)
54adantr 473 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌𝑂)
61dalemzeo 36243 . . 3 (𝜑𝑍𝑂)
76adantr 473 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑍𝑂)
8 dalemc.l . . 3 = (le‘𝐾)
9 dalemc.j . . 3 = (join‘𝐾)
10 dalemc.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 dalem13.o . . 3 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
12 eqid 2772 . . 3 (LVols‘𝐾) = (LVols‘𝐾)
13 dalem13.y . . 3 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
14 dalem13.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
15 dalem13.w . . 3 𝑊 = (𝑌 𝐶)
161, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dalem9 36282 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑊 ∈ (LVols‘𝐾))
171dalemkelat 36234 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
181, 11dalemyeb 36259 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
191, 10dalemceb 36248 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2772 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 8, 9latlej1 17540 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑌 (𝑌 𝐶))
2217, 18, 19, 21syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝑌 𝐶))
2322, 15syl6breqr 4967 . . 3 (𝜑𝑌 𝑊)
2423adantr 473 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌 𝑊)
251, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15dalem8 36280 . . 3 (𝜑𝑍 𝑊)
2625adantr 473 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑍 𝑊)
27 simpr 477 . 2 ((𝜑𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
288, 9, 11, 122lplnj 36230 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂𝑊 ∈ (LVols‘𝐾)) ∧ (𝑌 𝑊𝑍 𝑊𝑌𝑍)) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)
293, 5, 7, 16, 24, 26, 27, 28syl133anc 1373 1 ((𝜑𝑌𝑍) → (𝑌 𝑍) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  lecple 16426  joincjn 17424  Latclat 17525  Atomscatm 35873  HLchlt 35960  LPlanesclpl 36102  LVolsclvol 36103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-llines 36108  df-lplanes 36109  df-lvols 36110
This theorem is referenced by:  dalem14  36287
  Copyright terms: Public domain W3C validator