Theorem dalemply 40456

Description: Lemma for dath 40538. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemply	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)

Proof of Theorem dalemply

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 40426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 3	dalempeb 40441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	1	dalemkehl 40425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
6	1	dalemqea 40429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	1	dalemrea 40430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		dalemc.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	8, 9, 3	hlatjcl 40169	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
12		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	8, 12, 9	latlej1 18510	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
14	2, 4, 11, 13	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	1	dalempea 40428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	9, 3	hlatjass 40172	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	5, 15, 6, 7, 16	syl13anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
18	14, 17	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
19		dalempnes.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
20	18, 19	breqtrrdi 5152	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  joincjn 18373  Latclat 18493  Atomscatm 40065  HLchlt 40152  LPlanesclpl 40294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18356  df-poset 18375  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-lat 18494  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153

This theorem is used by:  dalem21  40496  dalem23  40498  dalem24  40499  dalem27  40501