Theorem dalemply 37880

Description: Lemma for dath 37962. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemply	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)

Proof of Theorem dalemply

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 37850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 3	dalempeb 37865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	1	dalemkehl 37849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
6	1	dalemqea 37853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	1	dalemrea 37854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		dalemc.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	8, 9, 3	hlatjcl 37593	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
12		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	8, 12, 9	latlej1 18233	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
14	2, 4, 11, 13	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	1	dalempea 37852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	9, 3	hlatjass 37596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	5, 15, 6, 7, 16	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
18	14, 17	breqtrrd 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
19		dalempnes.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
20	18, 19	breqtrrdi 5127	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5085  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  lecple 17036  joincjn 18096  Latclat 18216  Atomscatm 37489  HLchlt 37576  LPlanesclpl 37718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-proset 18080  df-poset 18098  df-lub 18131  df-glb 18132  df-join 18133  df-meet 18134  df-lat 18217  df-ats 37493  df-atl 37524  df-cvlat 37548  df-hlat 37577

This theorem is referenced by:  dalem21  37920  dalem23  37922  dalem24  37923  dalem27  37925