Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemply Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemply 35679
Description: Lemma for dath 35761. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemply (𝜑𝑃 𝑌)

Proof of Theorem dalemply
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkelat 35649 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
3 dalemc.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 3dalempeb 35664 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
51dalemkehl 35648 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
61dalemqea 35652 . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
71dalemrea 35653 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
8 eqid 2803 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 dalemc.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
108, 9, 3hlatjcl 35392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
115, 6, 7, 10syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
12 dalemc.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
138, 12, 9latlej1 17379 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 (𝑄 𝑅)))
142, 4, 11, 13syl3anc 1491 . . 3 (𝜑𝑃 (𝑃 (𝑄 𝑅)))
151dalempea 35651 . . . 4 (𝜑𝑃𝐴)
169, 3hlatjass 35395 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
175, 15, 6, 7, 16syl13anc 1492 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
1814, 17breqtrrd 4875 . 2 (𝜑𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
19 dalempnes.y . 2 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
2018, 19syl6breqr 4889 1 (𝜑𝑃 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4847  cfv 6105  (class class class)co 6882  Basecbs 16188  lecple 16278  joincjn 17263  Latclat 17364  Atomscatm 35288  HLchlt 35375  LPlanesclpl 35517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-proset 17247  df-poset 17265  df-lub 17293  df-glb 17294  df-join 17295  df-meet 17296  df-lat 17365  df-ats 35292  df-atl 35323  df-cvlat 35347  df-hlat 35376
This theorem is referenced by:  dalem21  35719  dalem23  35721  dalem24  35722  dalem27  35724
  Copyright terms: Public domain W3C validator