Theorem dalemply 39619

Description: Lemma for dath 39701. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemply	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)

Proof of Theorem dalemply

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 39589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 3	dalempeb 39604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	1	dalemkehl 39588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
6	1	dalemqea 39592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	1	dalemrea 39593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		dalemc.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	8, 9, 3	hlatjcl 39331	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
12		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	8, 12, 9	latlej1 18456	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
14	2, 4, 11, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	1	dalempea 39591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
16	9, 3	hlatjass 39334	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	5, 15, 6, 7, 16	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
18	14, 17	breqtrrd 5147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
19		dalempnes.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
20	18, 19	breqtrrdi 5161	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  lecple 17276  joincjn 18321  Latclat 18439  Atomscatm 39227  HLchlt 39314  LPlanesclpl 39457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-proset 18304  df-poset 18323  df-lub 18354  df-glb 18355  df-join 18356  df-meet 18357  df-lat 18440  df-ats 39231  df-atl 39262  df-cvlat 39286  df-hlat 39315

This theorem is referenced by:  dalem21  39659  dalem23  39661  dalem24  39662  dalem27  39664