Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem17 39063
Description: Lemma for dath 39119. When planes π‘Œ and 𝑍 are equal, the center of perspectivity 𝐢 is in π‘Œ. (Contributed by NM, 1-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem17.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem17.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem17.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dalem17 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ)

Proof of Theorem dalem17
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemclrju 39019 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
32adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
41dalemkelat 39007 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 dalemc.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 dalemc.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
71, 5, 6dalempjqeb 39028 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81, 6dalemreb 39024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
10 dalemc.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
119, 10, 5latlej2 18411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
124, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
13 dalem17.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
1412, 13breqtrrdi 5183 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ π‘Œ)
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝑅 ≀ π‘Œ)
161, 5, 6dalemsjteb 39029 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
171, 6dalemueb 39027 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
189, 10, 5latlej2 18411 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
194, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
20 dalem17.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
2119, 20breqtrrdi 5183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝑍)
2221adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ π‘ˆ ≀ 𝑍)
23 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ π‘Œ = 𝑍)
2422, 23breqtrrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Œ)
25 dalem17.o . . . . . 6 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
261, 25dalemyeb 39032 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
279, 10, 5latjle12 18412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ π‘Œ ∧ π‘ˆ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ))
284, 8, 17, 26, 27syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ≀ π‘Œ ∧ π‘ˆ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ))
2928adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ ((𝑅 ≀ π‘Œ ∧ π‘ˆ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ))
3015, 24, 29mpbi2and 709 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ)
311, 6dalemceb 39021 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
321dalemkehl 39006 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
331dalemrea 39011 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
341dalemuea 39014 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
359, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
379, 10lattr 18406 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ))
384, 31, 36, 26, 37syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ))
3938adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ ((𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ))
403, 30, 39mp2and 696 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝐢 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  Latclat 18393  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LPlanesclpl 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-lat 18394  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-lplanes 38882
This theorem is referenced by:  dalem19  39065  dalem25  39081
  Copyright terms: Public domain W3C validator