Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalem6.z |
. 2
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
2 | | dalema.ph |
. . . . 5
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
3 | | dalemc.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | dalemc.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | dalemc.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | dalem6.o |
. . . . 5
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
7 | | dalem6.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
8 | | dalem6.w |
. . . . 5
β’ π = (π β¨ πΆ) |
9 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 8 | dalem6 38539 |
. . . 4
β’ (π β π β€ π) |
10 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 8 | dalem7 38540 |
. . . 4
β’ (π β π β€ π) |
11 | 2 | dalemkelat 38495 |
. . . . 5
β’ (π β πΎ β Lat) |
12 | 2, 5 | dalemseb 38513 |
. . . . 5
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 2, 5 | dalemteb 38514 |
. . . . 5
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 2, 6 | dalemyeb 38520 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 2, 5 | dalemceb 38509 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΆ β (BaseβπΎ)) |
16 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
17 | 16, 4 | latjcl 18392 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β (π β¨ πΆ) β (BaseβπΎ)) |
18 | 11, 14, 15, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β¨ πΆ) β (BaseβπΎ)) |
19 | 8, 18 | eqeltrid 2838 |
. . . . 5
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 16, 3, 4 | latjle12 18403 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
21 | 11, 12, 13, 19, 20 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (π β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π β¨ π) β€ π)) |
22 | 9, 10, 21 | mpbi2and 711 |
. . 3
β’ (π β (π β¨ π) β€ π) |
23 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | dalem5 38538 |
. . 3
β’ (π β π β€ π) |
24 | 2, 4, 5 | dalemsjteb 38517 |
. . . 4
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
25 | 2, 5 | dalemueb 38515 |
. . . 4
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 16, 3, 4 | latjle12 18403 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β€ π β§ π β€ π) β ((π β¨ π) β¨ π) β€ π)) |
27 | 11, 24, 25, 19, 26 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (π β (((π β¨ π) β€ π β§ π β€ π) β ((π β¨ π) β¨ π) β€ π)) |
28 | 22, 23, 27 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π) β€ π) |
29 | 1, 28 | eqbrtrid 5184 |
1
β’ (π β π β€ π) |