Theorem dalem8 40918

Description: Lemma for dath 40984. Plane 𝑍 belongs to the 3-dimensional space. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem6.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem6.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∨ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
dalem8	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ 𝑊)

Proof of Theorem dalem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem6.z	. 2 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
2		dalema.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		dalemc.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		dalemc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		dalem6.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
7		dalem6.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
8		dalem6.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∨ 𝐶)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 8	dalem6 40916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑊)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 8	dalem7 40917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≤ 𝑊)
11	2	dalemkelat 40872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
12	2, 5	dalemseb 40890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
13	2, 5	dalemteb 40891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14	2, 6	dalemyeb 40897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
15	2, 5	dalemceb 40886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17	16, 4	latjcl 18639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌 ∨ 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 14, 15, 17	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∨ 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
19	8, 18	eqeltrid 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20	16, 3, 4	latjle12 18650	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ≤ 𝑊 ∧ 𝑇 ≤ 𝑊) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊))
21	11, 12, 13, 19, 20	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ≤ 𝑊 ∧ 𝑇 ≤ 𝑊) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊))
22	9, 10, 21	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊)
23	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dalem5 40915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
24	2, 4, 5	dalemsjteb 40894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
25	2, 5	dalemueb 40892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
26	16, 3, 4	latjle12 18650	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
27	11, 24, 25, 19, 26	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊))
28	22, 23, 27	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ≤ 𝑊)
29	1, 28	eqbrtrid 5143	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≤ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  lecple 17461  joincjn 18511  Latclat 18631  Atomscatm 40511  HLchlt 40598  LPlanesclpl 40740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-llines 40746  df-lplanes 40747

This theorem is used by:  dalem13  40924