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Theorem dalem54 38597
Description: Lemma for dath 38607. Line 𝐺𝐻 intersects the auxiliary axis of perspectivity 𝐡. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem54.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem54.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem54.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem54.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem54.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem54.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem54.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
dalem54.b1 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dalem54 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalem54
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkehl 38494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
323ad2ant1 1134 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 dalem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 dalem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 dalem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 dalem.ps . . . 4 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
8 dalem54.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
9 dalem54.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
10 dalem54.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
11 dalem54.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
12 dalem54.g . . . 4 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
131, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dalem23 38567 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
14 dalem54.h . . . 4 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
151, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14dalem29 38572 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
16 dalem54.i . . . 4 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
171, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16dalem41 38584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 β‰  𝐻)
18 eqid 2733 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
195, 6, 18llni2 38383 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴) ∧ 𝐺 β‰  𝐻) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
203, 13, 15, 17, 19syl31anc 1374 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
21 dalem54.b1 . . 3 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
221, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 21dalem53 38596 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
231dalemkelat 38495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2625, 18llnbase 38380 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2720, 26syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
281, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16dalem34 38577 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ 𝐴)
2925, 6atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3125, 5latjcl 18392 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3224, 27, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
331, 9dalemyeb 38520 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
34333ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3525, 4, 8latmle2 18418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
3624, 32, 34, 35syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
3721, 36eqbrtrid 5184 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 ≀ π‘Œ)
381, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dalem24 38568 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
3925, 6atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐴 β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4013, 39syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4125, 6atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ 𝐴 β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4215, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4325, 4, 5latjle12 18403 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝐺 ≀ π‘Œ ∧ 𝐻 ≀ π‘Œ) ↔ (𝐺 ∨ 𝐻) ≀ π‘Œ))
4424, 40, 42, 34, 43syl13anc 1373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ≀ π‘Œ ∧ 𝐻 ≀ π‘Œ) ↔ (𝐺 ∨ 𝐻) ≀ π‘Œ))
45 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐺 ≀ π‘Œ ∧ 𝐻 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 ≀ π‘Œ)
4644, 45syl6bir 254 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ≀ π‘Œ β†’ 𝐺 ≀ π‘Œ))
4738, 46mtod 197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ (𝐺 ∨ 𝐻) ≀ π‘Œ)
48 nbrne2 5169 . . . 4 ((𝐡 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ (𝐺 ∨ 𝐻) ≀ π‘Œ) β†’ 𝐡 β‰  (𝐺 ∨ 𝐻))
4937, 47, 48syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 β‰  (𝐺 ∨ 𝐻))
5049necomd 2997 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) β‰  𝐡)
51 hlatl 38230 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
523, 51syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
5325, 18llnbase 38380 . . . . 5 (𝐡 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5422, 53syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5525, 8latmcl 18393 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5624, 27, 54, 55syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
571, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16dalem52 38595 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐴)
581, 5, 6dalempjqeb 38516 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
59583ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6025, 4, 8latmle1 18417 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝐺 ∨ 𝐻))
6124, 27, 59, 60syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝐺 ∨ 𝐻))
621, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16dalem51 38594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) β‰  π‘Œ))
6362simpld 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))))
6425, 6atbase 38159 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6564anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
66653anim1i 1153 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)))
67 biid 261 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))))
68 eqid 2733 . . . . . . 7 ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼)
69 eqid 2733 . . . . . . 7 ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))
7067, 4, 5, 6, 8, 9, 68, 10, 21, 69dalem10 38544 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ 𝐡)
7166, 70syl3an1 1164 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝐺)) ∧ (Β¬ 𝑐 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃) ∧ 𝑐 ≀ (𝐻 ∨ 𝑄) ∧ 𝑐 ≀ (𝐼 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ 𝐡)
7263, 71syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ 𝐡)
7325, 8latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7424, 27, 59, 73syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7525, 4, 8latlem12 18419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ 𝐡) ↔ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡)))
7624, 74, 27, 54, 75syl13anc 1373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝐺 ∨ 𝐻) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ 𝐡) ↔ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡)))
7761, 72, 76mpbi2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡))
78 eqid 2733 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7925, 4, 78, 6atlen0 38180 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡)) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) β‰  (0.β€˜πΎ))
8052, 56, 57, 77, 79syl31anc 1374 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) β‰  (0.β€˜πΎ))
818, 78, 6, 182llnmat 38395 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 ∨ 𝐻) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) β‰  𝐡 ∧ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) ∈ 𝐴)
823, 20, 22, 50, 80, 81syl32anc 1379 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  0.cp0 18376  Latclat 18384  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134  HLchlt 38220  LLinesclln 38362  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371
This theorem is referenced by:  dalem55  38598  dalem57  38600
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