Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalem.ph |
. . . 4
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | 1 | dalemkehl 38482 |
. . 3
β’ (π β πΎ β HL) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1133 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΎ β HL) |
4 | | dalem.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
5 | | dalem.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | dalem.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | dalem.ps |
. . . 4
β’ (π β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
8 | | dalem54.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | | dalem54.o |
. . . 4
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
10 | | dalem54.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
11 | | dalem54.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
12 | | dalem54.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
13 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | dalem23 38555 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΊ β π΄) |
14 | | dalem54.h |
. . . 4
β’ π» = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
15 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14 | dalem29 38560 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π» β π΄) |
16 | | dalem54.i |
. . . 4
β’ πΌ = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) |
17 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16 | dalem41 38572 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΊ β π») |
18 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
19 | 5, 6, 18 | llni2 38371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ πΊ β π΄ β§ π» β π΄) β§ πΊ β π») β (πΊ β¨ π») β (LLinesβπΎ)) |
20 | 3, 13, 15, 17, 19 | syl31anc 1373 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (πΊ β¨ π») β (LLinesβπΎ)) |
21 | | dalem54.b1 |
. . 3
β’ π΅ = (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β§ π) |
22 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 21 | dalem53 38584 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π΅ β (LLinesβπΎ)) |
23 | 1 | dalemkelat 38483 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΎ β Lat) |
24 | 23 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΎ β Lat) |
25 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . 9
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
26 | 25, 18 | llnbase 38368 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊ β¨ π») β (LLinesβπΎ) β (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ)) |
27 | 20, 26 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ)) |
28 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16 | dalem34 38565 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΌ β π΄) |
29 | 25, 6 | atbase 38147 |
. . . . . . . 8
β’ (πΌ β π΄ β πΌ β (BaseβπΎ)) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΌ β (BaseβπΎ)) |
31 | 25, 5 | latjcl 18388 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ) β§ πΌ β (BaseβπΎ)) β ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β (BaseβπΎ)) |
32 | 24, 27, 30, 31 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β (BaseβπΎ)) |
33 | 1, 9 | dalemyeb 38508 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
34 | 33 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β (BaseβπΎ)) |
35 | 25, 4, 8 | latmle2 18414 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β§ π) β€ π) |
36 | 24, 32, 34, 35 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β§ π) β€ π) |
37 | 21, 36 | eqbrtrid 5182 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π΅ β€ π) |
38 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | dalem24 38556 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β Β¬ πΊ β€ π) |
39 | 25, 6 | atbase 38147 |
. . . . . . . 8
β’ (πΊ β π΄ β πΊ β (BaseβπΎ)) |
40 | 13, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
41 | 25, 6 | atbase 38147 |
. . . . . . . 8
β’ (π» β π΄ β π» β (BaseβπΎ)) |
42 | 15, 41 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π» β (BaseβπΎ)) |
43 | 25, 4, 5 | latjle12 18399 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊ β (BaseβπΎ) β§ π» β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((πΊ β€ π β§ π» β€ π) β (πΊ β¨ π») β€ π)) |
44 | 24, 40, 42, 34, 43 | syl13anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β€ π β§ π» β€ π) β (πΊ β¨ π») β€ π)) |
45 | | simpl 483 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ β€ π β§ π» β€ π) β πΊ β€ π) |
46 | 44, 45 | syl6bir 253 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β€ π β πΊ β€ π)) |
47 | 38, 46 | mtod 197 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β Β¬ (πΊ β¨ π») β€ π) |
48 | | nbrne2 5167 |
. . . 4
β’ ((π΅ β€ π β§ Β¬ (πΊ β¨ π») β€ π) β π΅ β (πΊ β¨ π»)) |
49 | 37, 47, 48 | syl2anc 584 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π΅ β (πΊ β¨ π»)) |
50 | 49 | necomd 2996 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (πΊ β¨ π») β π΅) |
51 | | hlatl 38218 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
52 | 3, 51 | syl 17 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΎ β AtLat) |
53 | 25, 18 | llnbase 38368 |
. . . . 5
β’ (π΅ β (LLinesβπΎ) β π΅ β (BaseβπΎ)) |
54 | 22, 53 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π΅ β (BaseβπΎ)) |
55 | 25, 8 | latmcl 18389 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ) β§ π΅ β (BaseβπΎ)) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β (BaseβπΎ)) |
56 | 24, 27, 54, 55 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β (BaseβπΎ)) |
57 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16 | dalem52 38583 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β π΄) |
58 | 1, 5, 6 | dalempjqeb 38504 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
59 | 58 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
60 | 25, 4, 8 | latmle1 18413 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ (πΊ β¨ π»)) |
61 | 24, 27, 59, 60 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ (πΊ β¨ π»)) |
62 | 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16 | dalem51 38582 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π β§ π β π) β§ ((Β¬ π β€ (πΊ β¨ π») β§ Β¬ π β€ (π» β¨ πΌ) β§ Β¬ π β€ (πΌ β¨ πΊ)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π
β¨ π)) β§ (π β€ (πΊ β¨ π) β§ π β€ (π» β¨ π) β§ π β€ (πΌ β¨ π
)))) β§ ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π)) |
63 | 62 | simpld 495 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π β§ π β π) β§ ((Β¬ π β€ (πΊ β¨ π») β§ Β¬ π β€ (π» β¨ πΌ) β§ Β¬ π β€ (πΌ β¨ πΊ)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π
β¨ π)) β§ (π β€ (πΊ β¨ π) β§ π β€ (π» β¨ π) β§ π β€ (πΌ β¨ π
))))) |
64 | 25, 6 | atbase 38147 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
65 | 64 | anim2i 617 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ))) |
66 | 65 | 3anim1i 1152 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄))) |
67 | | biid 260 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π β§ π β π) β§ ((Β¬ π β€ (πΊ β¨ π») β§ Β¬ π β€ (π» β¨ πΌ) β§ Β¬ π β€ (πΌ β¨ πΊ)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π
β¨ π)) β§ (π β€ (πΊ β¨ π) β§ π β€ (π» β¨ π) β§ π β€ (πΌ β¨ π
)))) β (((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π β§ π β π) β§ ((Β¬ π β€ (πΊ β¨ π») β§ Β¬ π β€ (π» β¨ πΌ) β§ Β¬ π β€ (πΌ β¨ πΊ)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π
β¨ π)) β§ (π β€ (πΊ β¨ π) β§ π β€ (π» β¨ π) β§ π β€ (πΌ β¨ π
))))) |
68 | | eqid 2732 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) = ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) |
69 | | eqid 2732 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) = ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) |
70 | 67, 4, 5, 6, 8, 9, 68, 10, 21, 69 | dalem10 38532 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π β§ π β π) β§ ((Β¬ π β€ (πΊ β¨ π») β§ Β¬ π β€ (π» β¨ πΌ) β§ Β¬ π β€ (πΌ β¨ πΊ)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π
β¨ π)) β§ (π β€ (πΊ β¨ π) β§ π β€ (π» β¨ π) β§ π β€ (πΌ β¨ π
)))) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ π΅) |
71 | 66, 70 | syl3an1 1163 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (πΊ β π΄ β§ π» β π΄ β§ πΌ β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β π β§ π β π) β§ ((Β¬ π β€ (πΊ β¨ π») β§ Β¬ π β€ (π» β¨ πΌ) β§ Β¬ π β€ (πΌ β¨ πΊ)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π
β¨ π)) β§ (π β€ (πΊ β¨ π) β§ π β€ (π» β¨ π) β§ π β€ (πΌ β¨ π
)))) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ π΅) |
72 | 63, 71 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ π΅) |
73 | 25, 8 | latmcl 18389 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
74 | 24, 27, 59, 73 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
75 | 25, 4, 8 | latlem12 18415 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (πΊ β¨ π») β (BaseβπΎ) β§ π΅ β (BaseβπΎ))) β ((((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ (πΊ β¨ π») β§ ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ π΅) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ ((πΊ β¨ π») β§ π΅))) |
76 | 24, 74, 27, 54, 75 | syl13anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ (πΊ β¨ π») β§ ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ π΅) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ ((πΊ β¨ π») β§ π΅))) |
77 | 61, 72, 76 | mpbi2and 710 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ ((πΊ β¨ π») β§ π΅)) |
78 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
79 | 25, 4, 78, 6 | atlen0 38168 |
. . 3
β’ (((πΎ β AtLat β§ ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β (BaseβπΎ) β§ ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β π΄) β§ ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) β€ ((πΊ β¨ π») β§ π΅)) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β (0.βπΎ)) |
80 | 52, 56, 57, 77, 79 | syl31anc 1373 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β (0.βπΎ)) |
81 | 8, 78, 6, 18 | 2llnmat 38383 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (πΊ β¨ π») β (LLinesβπΎ) β§ π΅ β (LLinesβπΎ)) β§ ((πΊ β¨ π») β π΅ β§ ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β (0.βπΎ))) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β π΄) |
82 | 3, 20, 22, 50, 80, 81 | syl32anc 1378 |
1
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) β π΄) |