Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2733 |
. 2
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
2 | | dalemc.l |
. 2
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dalema.ph |
. . 3
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
4 | 3 | dalemkelat 38495 |
. 2
β’ (π β πΎ β Lat) |
5 | | dalemc.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 3, 5 | dalemueb 38515 |
. 2
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
7 | 3 | dalemkehl 38494 |
. . 3
β’ (π β πΎ β HL) |
8 | 3 | dalemrea 38499 |
. . 3
β’ (π β π
β π΄) |
9 | | dalemc.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | dalem5.o |
. . . 4
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
11 | | dalem5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
12 | 3, 2, 9, 5, 10, 11 | dalemcea 38531 |
. . 3
β’ (π β πΆ β π΄) |
13 | 1, 9, 5 | hlatjcl 38237 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ πΆ β π΄) β (π
β¨ πΆ) β (BaseβπΎ)) |
14 | 7, 8, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (π β (π
β¨ πΆ) β (BaseβπΎ)) |
15 | | dalem5.w |
. . 3
β’ π = (π β¨ πΆ) |
16 | 3, 10 | dalemyeb 38520 |
. . . 4
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
17 | 3, 5 | dalemceb 38509 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β (BaseβπΎ)) |
18 | 1, 9 | latjcl 18392 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β (π β¨ πΆ) β (BaseβπΎ)) |
19 | 4, 16, 17, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (π β (π β¨ πΆ) β (BaseβπΎ)) |
20 | 15, 19 | eqeltrid 2838 |
. 2
β’ (π β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 3 | dalemclrju 38507 |
. . 3
β’ (π β πΆ β€ (π
β¨ π)) |
22 | 3 | dalemuea 38502 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
23 | 3 | dalempea 38497 |
. . . . 5
β’ (π β π β π΄) |
24 | | simp313 1323 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π)))) β Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) |
25 | 3, 24 | sylbi 216 |
. . . . 5
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) |
26 | 2, 9, 5 | atnlej1 38250 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (πΆ β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β πΆ β π
) |
27 | 7, 12, 8, 23, 25, 26 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β π
) |
28 | 2, 9, 5 | hlatexch1 38266 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (πΆ β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ πΆ β π
) β (πΆ β€ (π
β¨ π) β π β€ (π
β¨ πΆ))) |
29 | 7, 12, 22, 8, 27, 28 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (π β (πΆ β€ (π
β¨ π) β π β€ (π
β¨ πΆ))) |
30 | 21, 29 | mpd 15 |
. 2
β’ (π β π β€ (π
β¨ πΆ)) |
31 | 3, 9, 5 | dalempjqeb 38516 |
. . . . . 6
β’ (π β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
32 | 3, 5 | dalemreb 38512 |
. . . . . 6
β’ (π β π
β (BaseβπΎ)) |
33 | 1, 2, 9 | latlej2 18402 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β π
β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
34 | 4, 31, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β π
β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
35 | 34, 11 | breqtrrdi 5191 |
. . . 4
β’ (π β π
β€ π) |
36 | 1, 2, 9 | latjlej1 18406 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ πΆ β (BaseβπΎ))) β (π
β€ π β (π
β¨ πΆ) β€ (π β¨ πΆ))) |
37 | 4, 32, 16, 17, 36 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (π β (π
β€ π β (π
β¨ πΆ) β€ (π β¨ πΆ))) |
38 | 35, 37 | mpd 15 |
. . 3
β’ (π β (π
β¨ πΆ) β€ (π β¨ πΆ)) |
39 | 38, 15 | breqtrrdi 5191 |
. 2
β’ (π β (π
β¨ πΆ) β€ π) |
40 | 1, 2, 4, 6, 14, 20, 30, 39 | lattrd 18399 |
1
β’ (π β π β€ π) |