Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem5 38538
Description: Lemma for dath 38607. Atom π‘ˆ (in plane 𝑍 = π‘†π‘‡π‘ˆ) belongs to the 3-dimensional volume formed by π‘Œ and 𝐢. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem5.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem5.w π‘Š = (π‘Œ ∨ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
dalem5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)

Proof of Theorem dalem5
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 dalemc.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalema.ph . . 3 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
43dalemkelat 38495 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 dalemc.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
63, 5dalemueb 38515 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73dalemkehl 38494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
83dalemrea 38499 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
9 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 dalem5.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
11 dalem5.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
123, 2, 9, 5, 10, 11dalemcea 38531 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
131, 9, 5hlatjcl 38237 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
147, 8, 12, 13syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∨ 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 dalem5.w . . 3 π‘Š = (π‘Œ ∨ 𝐢)
163, 10dalemyeb 38520 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
173, 5dalemceb 38509 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
181, 9latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
194, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∨ 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2015, 19eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
213dalemclrju 38507 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
223dalemuea 38502 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
233dalempea 38497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
24 simp313 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃))
253, 24sylbi 216 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃))
262, 9, 5atnlej1 38250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) β†’ 𝐢 β‰  𝑅)
277, 12, 8, 23, 25, 26syl131anc 1384 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝑅)
282, 9, 5hlatexch1 38266 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐢 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝐢 β‰  𝑅) β†’ (𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ 𝐢)))
297, 12, 22, 8, 27, 28syl131anc 1384 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ 𝐢)))
3021, 29mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ 𝐢))
313, 9, 5dalempjqeb 38516 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
323, 5dalemreb 38512 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
331, 2, 9latlej2 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
344, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
3534, 11breqtrrdi 5191 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ π‘Œ)
361, 2, 9latjlej1 18406 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑅 ≀ π‘Œ β†’ (𝑅 ∨ 𝐢) ≀ (π‘Œ ∨ 𝐢)))
374, 32, 16, 17, 36syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ π‘Œ β†’ (𝑅 ∨ 𝐢) ≀ (π‘Œ ∨ 𝐢)))
3835, 37mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∨ 𝐢) ≀ (π‘Œ ∨ 𝐢))
3938, 15breqtrrdi 5191 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∨ 𝐢) ≀ π‘Š)
401, 2, 4, 6, 14, 20, 30, 39lattrd 18399 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370
This theorem is referenced by:  dalem6  38539  dalem8  38541
  Copyright terms: Public domain W3C validator