Theorem dalem5 38586

Description: Lemma for dath 38655. Atom 𝑈 (in plane 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈) belongs to the 3-dimensional volume formed by 𝑌 and 𝐶. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem5.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem5.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∨ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
dalem5	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)

Proof of Theorem dalem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dalemc.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dalema.ph	. . 3 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
4	3	dalemkelat 38543	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
5		dalemc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 5	dalemueb 38563	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7	3	dalemkehl 38542	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
8	3	dalemrea 38547	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		dalem5.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
11		dalem5.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
12	3, 2, 9, 5, 10, 11	dalemcea 38579	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
13	1, 9, 5	hlatjcl 38285	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
14	7, 8, 12, 13	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∨ 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
15		dalem5.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∨ 𝐶)
16	3, 10	dalemyeb 38568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
17	3, 5	dalemceb 38557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
18	1, 9	latjcl 18392	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌 ∨ 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
19	4, 16, 17, 18	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∨ 𝐶) ∈ (Base‘𝐾))
20	15, 19	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
21	3	dalemclrju 38555	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
22	3	dalemuea 38550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
23	3	dalempea 38545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
24		simp313 1323	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
25	3, 24	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
26	2, 9, 5	atnlej1 38298	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) → 𝐶 ≠ 𝑅)
27	7, 12, 8, 23, 25, 26	syl131anc 1384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑅)
28	2, 9, 5	hlatexch1 38314	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ≠ 𝑅) → (𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → 𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝐶)))
29	7, 12, 22, 8, 27, 28	syl131anc 1384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → 𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝐶)))
30	21, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝐶))
31	3, 9, 5	dalempjqeb 38564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
32	3, 5	dalemreb 38560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
33	1, 2, 9	latlej2 18402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
34	4, 31, 32, 33	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
35	34, 11	breqtrrdi 5191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑌)
36	1, 2, 9	latjlej1 18406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑅 ≤ 𝑌 → (𝑅 ∨ 𝐶) ≤ (𝑌 ∨ 𝐶)))
37	4, 32, 16, 17, 36	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑌 → (𝑅 ∨ 𝐶) ≤ (𝑌 ∨ 𝐶)))
38	35, 37	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∨ 𝐶) ≤ (𝑌 ∨ 𝐶))
39	38, 15	breqtrrdi 5191	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∨ 𝐶) ≤ 𝑊)
40	1, 2, 4, 6, 14, 20, 30, 39	lattrd 18399	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38181  HLchlt 38268  LPlanesclpl 38411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38094  df-ol 38096  df-oml 38097  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269  df-llines 38417  df-lplanes 38418

This theorem is referenced by:  dalem6  38587  dalem8  38589