Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem27 35587
Description: Lemma for dath 35624. Show that the line 𝐺𝑃 intersects the dummy center of perspectivity 𝑐. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem23.m = (meet‘𝐾)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem27 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑐 (𝐺 𝑃))

Proof of Theorem dalem27
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . . 3 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . 6 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
32dalemkelat 35512 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ Lat)
52dalemkehl 35511 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
653ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
7 dalem.ps . . . . . . 7 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
87dalemccea 35571 . . . . . 6 (𝜓𝑐𝐴)
983ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑐𝐴)
102dalempea 35514 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐴)
11103ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑃𝐴)
12 eqid 2764 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 dalem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
14 dalem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1512, 13, 14hlatjcl 35255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑃𝐴) → (𝑐 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
166, 9, 11, 15syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
177dalemddea 35572 . . . . . 6 (𝜓𝑑𝐴)
18173ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝐴)
192dalemsea 35517 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐴)
20193ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝐴)
2112, 13, 14hlatjcl 35255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑆𝐴) → (𝑑 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
226, 18, 20, 21syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑑 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23 dalem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
24 dalem23.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
2512, 23, 24latmle1 17343 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑑 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) (𝑐 𝑃))
264, 16, 22, 25syl3anc 1490 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) (𝑐 𝑃))
271, 26syl5eqbr 4843 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺 (𝑐 𝑃))
28 dalem23.o . . . 4 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
29 dalem23.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
30 dalem23.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
312, 23, 13, 14, 7, 24, 28, 29, 30, 1dalem23 35584 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)
322, 23, 13, 14, 28, 29dalemply 35542 . . . . 5 (𝜑𝑃 𝑌)
33323ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑃 𝑌)
342, 23, 13, 14, 7, 24, 28, 29, 30, 1dalem24 35585 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ¬ 𝐺 𝑌)
35 nbrne2 4828 . . . . 5 ((𝑃 𝑌 ∧ ¬ 𝐺 𝑌) → 𝑃𝐺)
3635necomd 2991 . . . 4 ((𝑃 𝑌 ∧ ¬ 𝐺 𝑌) → 𝐺𝑃)
3733, 34, 36syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝑃)
3823, 13, 14hlatexch2 35284 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝐴𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝐺𝑃) → (𝐺 (𝑐 𝑃) → 𝑐 (𝐺 𝑃)))
396, 31, 9, 11, 37, 38syl131anc 1502 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝐺 (𝑐 𝑃) → 𝑐 (𝐺 𝑃)))
4027, 39mpd 15 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑐 (𝐺 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  Basecbs 16131  lecple 16222  joincjn 17211  meetcmee 17212  Latclat 17312  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LPlanesclpl 35380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-lat 17313  df-clat 17375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387
This theorem is referenced by:  dalem28  35588  dalem32  35592  dalem51  35611  dalem52  35612
  Copyright terms: Public domain W3C validator