Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem27 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem27 38570
Description: Lemma for dath 38607. Show that the line 𝐺𝑃 intersects the dummy center of perspectivity 𝑐. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem23.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem27 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃))
Proof of Theorem dalem27
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . . 3 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . 6 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
32dalemkelat 38495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
52dalemkehl 38494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
653ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 dalem.ps . . . . . . 7 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
87dalemccea 38554 . . . . . 6 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
983ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
102dalempea 38497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11103ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
13 dalem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 dalem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1512, 13, 14hlatjcl 38237 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
166, 9, 11, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
177dalemddea 38555 . . . . . 6 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
18173ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
192dalemsea 38500 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
20193ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2112, 13, 14hlatjcl 38237 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
226, 18, 20, 21syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 dalem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
24 dalem23.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2512, 23, 24latmle1 18417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑐 ∨ 𝑃))
264, 16, 22, 25syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑐 ∨ 𝑃))
271, 26eqbrtrid 5184 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ≀ (𝑐 ∨ 𝑃))
28 dalem23.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
29 dalem23.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
30 dalem23.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
312, 23, 13, 14, 7, 24, 28, 29, 30, 1dalem23 38567 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
322, 23, 13, 14, 28, 29dalemply 38525 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
33323ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
342, 23, 13, 14, 7, 24, 28, 29, 30, 1dalem24 38568 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
35 nbrne2 5169 . . . . 5 ((𝑃 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑃 β‰  𝐺)
3635necomd 2997 . . . 4 ((𝑃 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 β‰  𝑃)
3733, 34, 36syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 β‰  𝑃)
3823, 13, 14hlatexch2 38267 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝐺 β‰  𝑃) β†’ (𝐺 ≀ (𝑐 ∨ 𝑃) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃)))
396, 31, 9, 11, 37, 38syl131anc 1384 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ≀ (𝑐 ∨ 𝑃) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃)))
4027, 39mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370
This theorem is referenced by:  dalem28  38571  dalem32  38575  dalem51  38594  dalem52  38595
  Copyright terms: Public domain W3C validator