Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem27 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem27 39204
Description: Lemma for dath 39241. Show that the line 𝐺𝑃 intersects the dummy center of perspectivity 𝑐. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem23.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem27 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃))
Proof of Theorem dalem27
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . . 3 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . 6 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
32dalemkelat 39129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
52dalemkehl 39128 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
653ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 dalem.ps . . . . . . 7 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
87dalemccea 39188 . . . . . 6 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
983ad2ant3 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
102dalempea 39131 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11103ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
13 dalem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
14 dalem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1512, 13, 14hlatjcl 38871 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
166, 9, 11, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
177dalemddea 39189 . . . . . 6 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
18173ad2ant3 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
192dalemsea 39134 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
20193ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2112, 13, 14hlatjcl 38871 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
226, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 dalem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
24 dalem23.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2512, 23, 24latmle1 18463 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑐 ∨ 𝑃))
264, 16, 22, 25syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑐 ∨ 𝑃))
271, 26eqbrtrid 5187 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ≀ (𝑐 ∨ 𝑃))
28 dalem23.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
29 dalem23.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
30 dalem23.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
312, 23, 13, 14, 7, 24, 28, 29, 30, 1dalem23 39201 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
322, 23, 13, 14, 28, 29dalemply 39159 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
33323ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
342, 23, 13, 14, 7, 24, 28, 29, 30, 1dalem24 39202 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
35 nbrne2 5172 . . . . 5 ((𝑃 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑃 β‰  𝐺)
3635necomd 2993 . . . 4 ((𝑃 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐺 β‰  𝑃)
3733, 34, 36syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 β‰  𝑃)
3823, 13, 14hlatexch2 38901 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝐺 β‰  𝑃) β†’ (𝐺 ≀ (𝑐 ∨ 𝑃) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃)))
396, 31, 9, 11, 37, 38syl131anc 1380 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ≀ (𝑐 ∨ 𝑃) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃)))
4027, 39mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ≀ (𝐺 ∨ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004
This theorem is referenced by:  dalem28  39205  dalem32  39209  dalem51  39228  dalem52  39229
  Copyright terms: Public domain W3C validator