Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemqnet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemqnet 36270
Description: Lemma for dath 36354. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemqnet (𝜑𝑄𝑇)

Proof of Theorem dalemqnet
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
21dalemkelat 36242 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
3 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 3dalemceb 36256 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
51, 3dalemteb 36261 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
61, 3dalemueb 36262 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7 simp322 1305 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))) → ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈))
81, 7sylbi 209 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈))
9 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10 dalemc.l . . . 4 = (le‘𝐾)
11 dalemc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
129, 10, 11latnlej2l 17552 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈)) → ¬ 𝐶 𝑇)
132, 4, 5, 6, 8, 12syl131anc 1364 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 𝑇)
141dalemclqjt 36253 . . . . 5 (𝜑𝐶 (𝑄 𝑇))
15 oveq1 6981 . . . . . 6 (𝑄 = 𝑇 → (𝑄 𝑇) = (𝑇 𝑇))
1615breq2d 4937 . . . . 5 (𝑄 = 𝑇 → (𝐶 (𝑄 𝑇) ↔ 𝐶 (𝑇 𝑇)))
1714, 16syl5ibcom 237 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 = 𝑇𝐶 (𝑇 𝑇)))
181dalemkehl 36241 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
191dalemtea 36248 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐴)
2011, 3hlatjidm 35987 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴) → (𝑇 𝑇) = 𝑇)
2118, 19, 20syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 𝑇) = 𝑇)
2221breq2d 4937 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 (𝑇 𝑇) ↔ 𝐶 𝑇))
2317, 22sylibd 231 . . 3 (𝜑 → (𝑄 = 𝑇𝐶 𝑇))
2423necon3bd 2974 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐶 𝑇𝑄𝑇))
2513, 24mpd 15 1 (𝜑𝑄𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  lecple 16426  joincjn 17424  Latclat 17525  Atomscatm 35881  HLchlt 35968  LPlanesclpl 36110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17408  df-poset 17426  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-lat 17526  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969
This theorem is referenced by:  dalemcea  36278  dalem2  36279  dalemdnee  36284
  Copyright terms: Public domain W3C validator