Theorem dalemqnet 38827

Description: Lemma for dath 38911. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemqnet	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)

Proof of Theorem dalemqnet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 38799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 3	dalemceb 38813	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
5	1, 3	dalemteb 38818	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 3	dalemueb 38819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp322 1323	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
8	1, 7	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10		dalemc.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	9, 10, 11	latnlej2l 18418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝐶 ≤ 𝑇)
13	2, 4, 5, 6, 8, 12	syl131anc 1382	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ 𝑇)
14	1	dalemclqjt 38810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
15		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = 𝑇 → (𝑄 ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ 𝑇))
16	15	breq2d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = 𝑇 → (𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ↔ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇)))
17	14, 16	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑇 → 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇)))
18	1	dalemkehl 38798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
19	1	dalemtea 38805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
20	11, 3	hlatjidm 38543	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑇) = 𝑇)
21	18, 19, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∨ 𝑇) = 𝑇)
22	21	breq2d 5161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇) ↔ 𝐶 ≤ 𝑇))
23	17, 22	sylibd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑇 → 𝐶 ≤ 𝑇))
24	23	necon3bd 2953	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ≤ 𝑇 → 𝑄 ≠ 𝑇))
25	13, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  Latclat 18389  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LPlanesclpl 38667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525

This theorem is referenced by:  dalemcea  38835  dalem2  38836  dalemdnee  38841