Theorem dalemqnet 40467

Description: Lemma for dath 40551. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemqnet	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)

Proof of Theorem dalemqnet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 40439	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 3	dalemceb 40453	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
5	1, 3	dalemteb 40458	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 3	dalemueb 40459	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp322 1343	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
8	1, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
9		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10		dalemc.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	9, 10, 11	latnlej2l 18541	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝐶 ≤ 𝑇)
13	2, 4, 5, 6, 8, 12	syl131anc 1410	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ 𝑇)
14	1	dalemclqjt 40450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
15		oveq1 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = 𝑇 → (𝑄 ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ 𝑇))
16	15	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = 𝑇 → (𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ↔ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇)))
17	14, 16	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑇 → 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇)))
18	1	dalemkehl 40438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
19	1	dalemtea 40445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
20	11, 3	hlatjidm 40184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑇) = 𝑇)
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∨ 𝑇) = 𝑇)
22	21	breq2d 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇) ↔ 𝐶 ≤ 𝑇))
23	17, 22	sylibd 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑇 → 𝐶 ≤ 𝑇))
24	23	necon3bd 2975	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ≤ 𝑇 → 𝑄 ≠ 𝑇))
25	13, 24	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  lecple 17342  joincjn 18392  Latclat 18512  Atomscatm 40078  HLchlt 40165  LPlanesclpl 40307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18375  df-poset 18394  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-lat 18513  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166

This theorem is used by:  dalemcea  40475  dalem2  40476  dalemdnee  40481