Theorem dalemqnet 40802

Description: Lemma for dath 40886. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalempnes.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalempnes.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemqnet	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)

Proof of Theorem dalemqnet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkelat 40774	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
3		dalemc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 3	dalemceb 40788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐾))
5	1, 3	dalemteb 40793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6	1, 3	dalemueb 40794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7		simp322 1343	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
8	1, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10		dalemc.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	9, 10, 11	latnlej2l 18639	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐶 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝐶 ≤ 𝑇)
13	2, 4, 5, 6, 8, 12	syl131anc 1410	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≤ 𝑇)
14	1	dalemclqjt 40785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
15		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = 𝑇 → (𝑄 ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ 𝑇))
16	15	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = 𝑇 → (𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ↔ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇)))
17	14, 16	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑇 → 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇)))
18	1	dalemkehl 40773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
19	1	dalemtea 40780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
20	11, 3	hlatjidm 40519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑇) = 𝑇)
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∨ 𝑇) = 𝑇)
22	21	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑇) ↔ 𝐶 ≤ 𝑇))
23	17, 22	sylibd 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = 𝑇 → 𝐶 ≤ 𝑇))
24	23	necon3bd 2969	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ≤ 𝑇 → 𝑄 ≠ 𝑇))
25	13, 24	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  joincjn 18490  Latclat 18610  Atomscatm 40413  HLchlt 40500  LPlanesclpl 40642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-lat 18611  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501

This theorem is used by:  dalemcea  40810  dalem2  40811  dalemdnee  40816