Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalem.ph |
. . . . 5
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | | dalem.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dalem.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | dalem.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | dalemswapyz 38515 |
. . . 4
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π
))))) |
6 | 5 | 3ad2ant1 1133 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π
))))) |
7 | | simp2 1137 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π = π) |
8 | 7 | eqcomd 2738 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π = π) |
9 | | dalem.ps |
. . . 4
β’ (π β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
10 | 1, 2, 3, 4, 9 | dalemswapyzps 38549 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
11 | | biid 260 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π
)))) β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π
))))) |
12 | | biid 260 |
. . . 4
β’ (((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π))) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
13 | | dalem54.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | | dalem54.o |
. . . 4
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
15 | | dalem54.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
16 | | dalem54.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
17 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
18 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
19 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
)) |
20 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’
(((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π) = (((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π) |
21 | 11, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | dalem55 38586 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ πΆ β
(BaseβπΎ)) β§
(π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π
)))) β§ π = π β§ ((π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ π β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) β ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (π β¨ π)) = ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π))) |
22 | 6, 8, 10, 21 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (π β¨ π)) = ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π))) |
23 | | dalem54.g |
. . . . 5
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
24 | 1 | dalemkelat 38483 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΎ β Lat) |
25 | 24 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΎ β Lat) |
26 | 1 | dalemkehl 38482 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΎ β HL) |
27 | 26 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΎ β HL) |
28 | 9 | dalemccea 38542 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π΄) |
29 | 28 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
30 | 1 | dalempea 38485 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π΄) |
31 | 30 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
32 | | eqid 2732 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
33 | 32, 3, 4 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
34 | 27, 29, 31, 33 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
35 | 9 | dalemddea 38543 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π΄) |
36 | 35 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
37 | 1 | dalemsea 38488 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π΄) |
38 | 37 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
39 | 32, 3, 4 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
40 | 27, 36, 38, 39 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 32, 13 | latmcom 18412 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
42 | 25, 34, 40, 41 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
43 | 23, 42 | eqtrid 2784 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
44 | | dalem54.h |
. . . . 5
β’ π» = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
45 | 1 | dalemqea 38486 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π΄) |
46 | 45 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
47 | 32, 3, 4 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
48 | 27, 29, 46, 47 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
49 | 1 | dalemtea 38489 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β π΄) |
50 | 49 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
51 | 32, 3, 4 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
52 | 27, 36, 50, 51 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
53 | 32, 13 | latmcom 18412 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
54 | 25, 48, 52, 53 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
55 | 44, 54 | eqtrid 2784 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π» = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
56 | 43, 55 | oveq12d 7423 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (πΊ β¨ π») = (((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
57 | 56 | oveq1d 7420 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) = ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (π β¨ π))) |
58 | | dalem54.b1 |
. . . 4
β’ π΅ = (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β§ π) |
59 | | dalem54.i |
. . . . . . 7
β’ πΌ = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) |
60 | 1 | dalemrea 38487 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π
β π΄) |
61 | 60 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π
β π΄) |
62 | 32, 3, 4 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
63 | 27, 29, 61, 62 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
64 | 1 | dalemuea 38490 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π΄) |
65 | 64 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π β π΄) |
66 | 32, 3, 4 | hlatjcl 38225 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
67 | 27, 36, 65, 66 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
68 | 32, 13 | latmcom 18412 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) |
69 | 25, 63, 67, 68 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) |
70 | 59, 69 | eqtrid 2784 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π β§ π) β πΌ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) |
71 | 56, 70 | oveq12d 7423 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) = ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
)))) |
72 | 71, 7 | oveq12d 7423 |
. . . 4
β’ ((π β§ π = π β§ π) β (((πΊ β¨ π») β¨ πΌ) β§ π) = (((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π)) |
73 | 58, 72 | eqtrid 2784 |
. . 3
β’ ((π β§ π = π β§ π) β π΅ = (((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π)) |
74 | 56, 73 | oveq12d 7423 |
. 2
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ π΅) = ((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β§ (((((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π))) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ π
))) β§ π))) |
75 | 22, 57, 74 | 3eqtr4d 2782 |
1
β’ ((π β§ π = π β§ π) β ((πΊ β¨ π») β§ (π β¨ π)) = ((πΊ β¨ π») β§ π΅)) |