Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem56 39111
Description: Lemma for dath 39119. Analogue of dalem55 39110 for line 𝑆𝑇. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem54.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem54.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem54.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem54.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem54.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem54.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem54.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
dalem54.b1 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dalem56 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡))

Proof of Theorem dalem56
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4dalemswapyz 39039 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))))
653ad2ant1 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))))
7 simp2 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ = 𝑍)
87eqcomd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑍 = π‘Œ)
9 dalem.ps . . . 4 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
101, 2, 3, 4, 9dalemswapyzps 39073 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
11 biid 261 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))))
12 biid 261 . . . 4 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
13 dalem54.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
14 dalem54.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
15 dalem54.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
16 dalem54.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
17 eqid 2726 . . . 4 ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃))
18 eqid 2726 . . . 4 ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))
19 eqid 2726 . . . 4 ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))
20 eqid 2726 . . . 4 (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍) = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)
2111, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem55 39110 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑍 = π‘Œ ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐)))) β†’ ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
226, 8, 10, 21syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
23 dalem54.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
241dalemkelat 39007 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
25243ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
261dalemkehl 39006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
27263ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
289dalemccea 39066 . . . . . . . 8 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
29283ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
301dalempea 39009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
31303ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
32 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3332, 3, 4hlatjcl 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3427, 29, 31, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
359dalemddea 39067 . . . . . . . 8 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
36353ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
371dalemsea 39012 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
38373ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3932, 3, 4hlatjcl 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4027, 36, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4132, 13latmcom 18425 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
4225, 34, 40, 41syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
4323, 42eqtrid 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
44 dalem54.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
451dalemqea 39010 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
46453ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4732, 3, 4hlatjcl 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4827, 29, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
491dalemtea 39013 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
50493ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
5132, 3, 4hlatjcl 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5227, 36, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5332, 13latmcom 18425 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
5425, 48, 52, 53syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
5544, 54eqtrid 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
5643, 55oveq12d 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) = (((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))))
5756oveq1d 7419 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)))
58 dalem54.b1 . . . 4 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
59 dalem54.i . . . . . . 7 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
601dalemrea 39011 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61603ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6232, 3, 4hlatjcl 38749 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6327, 29, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
641dalemuea 39014 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
65643ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6632, 3, 4hlatjcl 38749 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6727, 36, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6832, 13latmcom 18425 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
6925, 63, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
7059, 69eqtrid 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
7156, 70oveq12d 7422 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))))
7271, 7oveq12d 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ) = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍))
7358, 72eqtrid 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍))
7456, 73oveq12d 7422 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
7522, 57, 743eqtr4d 2776 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  Latclat 18393  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LPlanesclpl 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883
This theorem is referenced by:  dalem57  39112
  Copyright terms: Public domain W3C validator