Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem56 38587
Description: Lemma for dath 38595. Analogue of dalem55 38586 for line 𝑆𝑇. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem54.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem54.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem54.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem54.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem54.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem54.h 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem54.i 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
dalem54.b1 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dalem56 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡))

Proof of Theorem dalem56
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4dalemswapyz 38515 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))))
653ad2ant1 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))))
7 simp2 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ = 𝑍)
87eqcomd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑍 = π‘Œ)
9 dalem.ps . . . 4 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
101, 2, 3, 4, 9dalemswapyzps 38549 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
11 biid 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))))
12 biid 260 . . . 4 (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐))))
13 dalem54.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
14 dalem54.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
15 dalem54.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
16 dalem54.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
17 eqid 2732 . . . 4 ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃))
18 eqid 2732 . . . 4 ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))
19 eqid 2732 . . . 4 ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))
20 eqid 2732 . . . 4 (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍) = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)
2111, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem55 38586 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ π‘Œ ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑍 = π‘Œ ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ 𝑍 ∧ (𝑐 β‰  𝑑 ∧ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑍 ∧ 𝐢 ≀ (𝑑 ∨ 𝑐)))) β†’ ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
226, 8, 10, 21syl3anc 1371 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
23 dalem54.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
241dalemkelat 38483 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
25243ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
261dalemkehl 38482 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
27263ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
289dalemccea 38542 . . . . . . . 8 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
29283ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
301dalempea 38485 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
31303ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
32 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3332, 3, 4hlatjcl 38225 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3427, 29, 31, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
359dalemddea 38543 . . . . . . . 8 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
36353ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
371dalemsea 38488 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
38373ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3932, 3, 4hlatjcl 38225 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4027, 36, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4132, 13latmcom 18412 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
4225, 34, 40, 41syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
4323, 42eqtrid 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
44 dalem54.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
451dalemqea 38486 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
46453ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4732, 3, 4hlatjcl 38225 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4827, 29, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
491dalemtea 38489 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
50493ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
5132, 3, 4hlatjcl 38225 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5227, 36, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5332, 13latmcom 18412 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
5425, 48, 52, 53syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
5544, 54eqtrid 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐻 = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
5643, 55oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∨ 𝐻) = (((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))))
5756oveq1d 7420 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)))
58 dalem54.b1 . . . 4 𝐡 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ)
59 dalem54.i . . . . . . 7 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ))
601dalemrea 38487 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61603ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6232, 3, 4hlatjcl 38225 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6327, 29, 61, 62syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
641dalemuea 38490 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
65643ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6632, 3, 4hlatjcl 38225 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6727, 36, 65, 66syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6832, 13latmcom 18412 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
6925, 63, 67, 68syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
7059, 69eqtrid 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐼 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
7156, 70oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))))
7271, 7oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ π‘Œ) = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍))
7358, 72eqtrid 2784 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐡 = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍))
7456, 73oveq12d 7423 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
7522, 57, 743eqtr4d 2782 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359
This theorem is referenced by:  dalem57  38588
  Copyright terms: Public domain W3C validator