Theorem dalem56 37721

Description: Lemma for dath 37729. Analogue of dalem55 37720 for line 𝑆𝑇. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem54.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalem54.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem54.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem54.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem54.g	⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
dalem54.h	⊢ 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
dalem54.i	⊢ 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ 𝑈))
dalem54.b1	⊢ 𝐵 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dalem56	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐵))

Proof of Theorem dalem56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem.ph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2		dalem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dalem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		dalem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	dalemswapyz 37649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑅)))))
6	5	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑅)))))
7		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑌 = 𝑍)
8	7	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑍 = 𝑌)
9		dalem.ps	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
10	1, 2, 3, 4, 9	dalemswapyzps 37683	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ (𝑑 ∨ 𝑐))))
11		biid 260	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑅)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑅)))))
12		biid 260	. . . 4 ⊢ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ (𝑑 ∨ 𝑐))) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ (𝑑 ∨ 𝑐))))
13		dalem54.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14		dalem54.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
15		dalem54.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
16		dalem54.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
17		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃))
18		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))
19		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)) = ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))
20		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍) = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)
21	11, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	dalem55 37720	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑄) ∧ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑅)))) ∧ 𝑍 = 𝑌 ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ (𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ (𝑑 ∨ 𝑐)))) → ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
22	6, 8, 10, 21	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
23		dalem54.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
24	1	dalemkelat 37617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
25	24	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ Lat)
26	1	dalemkehl 37616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
27	26	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
28	9	dalemccea 37676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
29	28	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑐 ∈ 𝐴)
30	1	dalempea 37619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
31	30	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑃 ∈ 𝐴)
32		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
33	32, 3, 4	hlatjcl 37360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
34	27, 29, 31, 33	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
35	9	dalemddea 37677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴)
36	35	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
37	1	dalemsea 37622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
38	37	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
39	32, 3, 4	hlatjcl 37360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
40	27, 36, 38, 39	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
41	32, 13	latmcom 18162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
42	25, 34, 40, 41	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
43	23, 42	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 = ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)))
44		dalem54.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇))
45	1	dalemqea 37620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
46	45	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑄 ∈ 𝐴)
47	32, 3, 4	hlatjcl 37360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
48	27, 29, 46, 47	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
49	1	dalemtea 37623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
50	49	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑇 ∈ 𝐴)
51	32, 3, 4	hlatjcl 37360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
52	27, 36, 50, 51	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
53	32, 13	latmcom 18162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
54	25, 48, 52, 53	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑄) ∧ (𝑑 ∨ 𝑇)) = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
55	44, 54	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐻 = ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄)))
56	43, 55	oveq12d 7286	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝐺 ∨ 𝐻) = (((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))))
57	56	oveq1d 7283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)))
58		dalem54.b1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ 𝑌)
59		dalem54.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ 𝑈))
60	1	dalemrea 37621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
61	60	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑅 ∈ 𝐴)
62	32, 3, 4	hlatjcl 37360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
63	27, 29, 61, 62	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
64	1	dalemuea 37624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
65	64	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑈 ∈ 𝐴)
66	32, 3, 4	hlatjcl 37360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
67	27, 36, 65, 66	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑑 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
68	32, 13	latmcom 18162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑐 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑑 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ 𝑈)) = ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
69	25, 63, 67, 68	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑅) ∧ (𝑑 ∨ 𝑈)) = ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
70	59, 69	eqtrid 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐼 = ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅)))
71	56, 70	oveq12d 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))))
72	71, 7	oveq12d 7286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (((𝐺 ∨ 𝐻) ∨ 𝐼) ∧ 𝑌) = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍))
73	58, 72	eqtrid 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐵 = (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍))
74	56, 73	oveq12d 7286	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐵) = ((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∧ (((((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ (𝑐 ∨ 𝑃)) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑇) ∧ (𝑐 ∨ 𝑄))) ∨ ((𝑑 ∨ 𝑈) ∧ (𝑐 ∨ 𝑅))) ∧ 𝑍)))
75	22, 57, 74	3eqtr4d 2789	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝐺 ∨ 𝐻) ∧ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  lecple 16950  joincjn 18010  meetcmee 18011  Latclat 18130  Atomscatm 37256  HLchlt 37343  LPlanesclpl 37485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-lat 18131  df-clat 18198  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493

This theorem is referenced by:  dalem57  37722