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Theorem dfmgc2lem 31904
Description: Lemma for dfmgc2, backwards direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
mgcoval.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
mgcoval.3 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
mgcoval.4 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
mgcval.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
dfmgc2lem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
dfmgc2lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
dfmgc2lem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))
dfmgc2lem.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘’) ≀ (πΊβ€˜π‘£)))
dfmgc2lem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
dfmgc2lem.6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) ≲ 𝑒)
Assertion
Ref Expression
dfmgc2lem (πœ‘ β†’ 𝐹𝐻𝐺)
Distinct variable groups:   𝑣, ≀   𝑣, ≲   𝑣,𝐴,π‘₯,𝑦   𝑣,𝐡,π‘₯,𝑦   𝑣,𝑉,π‘₯,𝑦   𝑣,π‘Š,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   𝑒, ≀ ,𝑣   π‘₯, ≀ ,𝑦   𝑒, ≲   π‘₯, ≲ ,𝑦   𝑒,𝐴   𝑒,𝐡   𝑒,𝐹,𝑣   𝑒,𝐺,𝑣   πœ‘,𝑒   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑣)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒)   𝑉(𝑒)   π‘Š(𝑒)

Proof of Theorem dfmgc2lem
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmgc2lem.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2 dfmgc2lem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
31, 2jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺:𝐡⟢𝐴))
4 mgcval.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
54ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ 𝑉 ∈ Proset )
6 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
76adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
82ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
91ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
109, 7ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
118, 10ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐴)
122ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
13 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
1412, 13ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ 𝐴)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ 𝐴)
16 dfmgc2lem.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
1716ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
1817ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
19 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑧)
2019fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
2120fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
2219, 21breq12d 5119 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
237, 22rspcdv 3572 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
2418, 23mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
25 dfmgc2lem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘’) ≀ (πΊβ€˜π‘£)))
2625ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘’) ≀ (πΊβ€˜π‘£)))
27 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑒 ≲ 𝑣 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑣))
28 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
2928breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((πΊβ€˜π‘’) ≀ (πΊβ€˜π‘£) ↔ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘£)))
3027, 29imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝑒 ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘’) ≀ (πΊβ€˜π‘£)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘£))))
31 breq2 5110 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑣 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀))
32 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑀 β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΊβ€˜π‘€))
3332breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑀 β†’ ((πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘£) ↔ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘€)))
3431, 33imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑀 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘£)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘€))))
351ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
37 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 = (πΉβ€˜π‘§)) β†’ 𝐡 = 𝐡)
3830, 34, 36, 37, 13rspc2vd 3907 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ≲ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜π‘’) ≀ (πΊβ€˜π‘£)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘€))))
3926, 38mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘€)))
4039imp 408 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘€))
41 mgcoval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
42 mgcoval.3 . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
4341, 42prstr 18194 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Proset ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘€) ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (πΊβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€))
445, 7, 11, 15, 24, 40, 43syl132anc 1389 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀) β†’ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€))
45 mgcval.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
4645ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ π‘Š ∈ Proset )
4735ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡)
481ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
4914adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ 𝐴)
5048, 49ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ∈ 𝐡)
51 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
52 dfmgc2lem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))
5352ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))
54 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ 𝑧 ≀ 𝑦))
55 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
5655breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))
5754, 56imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑧 ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜π‘¦))))
58 breq2 5110 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘€) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)))
59 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘€) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)))
6059breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€))))
6158, 60imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘€) β†’ ((𝑧 ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)))))
62 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ 𝐴 = 𝐴)
6357, 61, 6, 62, 14rspc2vd 3907 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)))))
6453, 63mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€))))
6564imp 408 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)))
66 dfmgc2lem.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) ≲ 𝑒)
6766ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) ≲ 𝑒)
6867ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) ≲ 𝑒)
69 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 = 𝑀) β†’ 𝑒 = 𝑀)
7069fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 = 𝑀) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜π‘€))
7170fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 = 𝑀) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)))
7271, 69breq12d 5119 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) ∧ 𝑒 = 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) ≲ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ≲ 𝑀))
7351, 72rspcdv 3572 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘’)) ≲ 𝑒 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ≲ 𝑀))
7468, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ≲ 𝑀)
75 mgcoval.2 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
76 mgcoval.4 . . . . . . 7 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
7775, 76prstr 18194 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Proset ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘€)) ≲ 𝑀)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀)
7846, 47, 50, 51, 65, 74, 77syl132anc 1389 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀)
7944, 78impbida 800 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)))
8079anasss 468 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)))
8180ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)))
82 mgcval.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
8341, 75, 42, 76, 82, 4, 45mgcval 31896 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺:𝐡⟢𝐴) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘§) ≲ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ (πΊβ€˜π‘€)))))
843, 81, 83mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹𝐻𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145   Proset cproset 18187  MGalConncmgc 31888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-proset 18189  df-mgc 31890
This theorem is referenced by:  dfmgc2  31905
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