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Theorem dfmgc2lem 31560
Description: Lemma for dfmgc2, backwards direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Base‘𝑉)
mgcoval.2 𝐵 = (Base‘𝑊)
mgcoval.3 = (le‘𝑉)
mgcoval.4 = (le‘𝑊)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgcval.2 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
dfmgc2lem.1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
dfmgc2lem.2 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
dfmgc2lem.3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
dfmgc2lem.4 (𝜑 → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)))
dfmgc2lem.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
dfmgc2lem.6 ((𝜑𝑢𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
Assertion
Ref Expression
dfmgc2lem (𝜑𝐹𝐻𝐺)
Distinct variable groups:   𝑣,   𝑣,   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦   𝑣,𝑉,𝑥,𝑦   𝑣,𝑊,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑢, ,𝑣   𝑥, ,𝑦   𝑢,   𝑥, ,𝑦   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐹,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑢)   𝑊(𝑢)

Proof of Theorem dfmgc2lem
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmgc2lem.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 dfmgc2lem.2 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
31, 2jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐵𝐴))
4 mgcval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
54ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑉 ∈ Proset )
6 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑧𝐴)
76adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑧𝐴)
82ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝐺:𝐵𝐴)
91ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝐹:𝐴𝐵)
109, 7ffvelcdmd 7018 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
118, 10ffvelcdmd 7018 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝐴)
122ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → 𝐺:𝐵𝐴)
13 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤𝐵)
1412, 13ffvelcdmd 7018 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝐺𝑤) ∈ 𝐴)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐺𝑤) ∈ 𝐴)
16 dfmgc2lem.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
1716ralrimiva 3139 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
1817ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
19 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
2019fveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
2120fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐺‘(𝐹𝑥)) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
2219, 21breq12d 5105 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)) ↔ 𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧))))
237, 22rspcdv 3562 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)) → 𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧))))
2418, 23mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧)))
25 dfmgc2lem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)))
2625ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)))
27 breq1 5095 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝑢 𝑣 ↔ (𝐹𝑧) 𝑣))
28 fveq2 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝐺𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
2928breq1d 5102 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝐺𝑢) (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣)))
3027, 29imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)) ↔ ((𝐹𝑧) 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣))))
31 breq2 5096 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) 𝑣 ↔ (𝐹𝑧) 𝑤))
32 fveq2 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑤 → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑤))
3332breq2d 5104 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤)))
3431, 33imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑤 → (((𝐹𝑧) 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣)) ↔ ((𝐹𝑧) 𝑤 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))))
351ffvelcdmda 7017 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
37 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑢 = (𝐹𝑧)) → 𝐵 = 𝐵)
3830, 34, 36, 37, 13rspc2vd 3894 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)) → ((𝐹𝑧) 𝑤 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))))
3926, 38mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐹𝑧) 𝑤 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤)))
4039imp 407 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))
41 mgcoval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (Base‘𝑉)
42 mgcoval.3 . . . . . . 7 = (le‘𝑉)
4341, 42prstr 18115 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Proset ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑤) ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))) → 𝑧 (𝐺𝑤))
445, 7, 11, 15, 24, 40, 43syl132anc 1387 . . . . 5 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑧 (𝐺𝑤))
45 mgcval.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
4645ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → 𝑊 ∈ Proset )
4735ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
481ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → 𝐹:𝐴𝐵)
4914adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐺𝑤) ∈ 𝐴)
5048, 49ffvelcdmd 7018 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹‘(𝐺𝑤)) ∈ 𝐵)
51 simplr 766 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → 𝑤𝐵)
52 dfmgc2lem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
5352ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
54 breq1 5095 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 𝑦𝑧 𝑦))
55 fveq2 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
5655breq1d 5102 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) (𝐹𝑦)))
5754, 56imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 𝑦 → (𝐹𝑧) (𝐹𝑦))))
58 breq2 5096 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐺𝑤) → (𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑤)))
59 fveq2 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐺𝑤) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
6059breq2d 5104 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐺𝑤) → ((𝐹𝑧) (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤))))
6158, 60imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐺𝑤) → ((𝑧 𝑦 → (𝐹𝑧) (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 (𝐺𝑤) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)))))
62 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝐴 = 𝐴)
6357, 61, 6, 62, 14rspc2vd 3894 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) → (𝑧 (𝐺𝑤) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)))))
6453, 63mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑤) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤))))
6564imp 407 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)))
66 dfmgc2lem.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
6766ralrimiva 3139 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑢𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
6867ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → ∀𝑢𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
69 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → 𝑢 = 𝑤)
7069fveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → (𝐺𝑢) = (𝐺𝑤))
7170fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → (𝐹‘(𝐺𝑢)) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
7271, 69breq12d 5105 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → ((𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤))
7351, 72rspcdv 3562 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (∀𝑢𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢 → (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤))
7468, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤)
75 mgcoval.2 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
76 mgcoval.4 . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
7775, 76prstr 18115 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Proset ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑤)) ∈ 𝐵𝑤𝐵) ∧ ((𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤)) → (𝐹𝑧) 𝑤)
7846, 47, 50, 51, 65, 74, 77syl132anc 1387 . . . . 5 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹𝑧) 𝑤)
7944, 78impbida 798 . . . 4 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))
8079anasss 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐵)) → ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))
8180ralrimivva 3193 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐴𝑤𝐵 ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))
82 mgcval.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
8341, 75, 42, 76, 82, 4, 45mgcval 31552 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐵𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐵 ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))))
843, 81, 83mpbir2and 710 1 (𝜑𝐹𝐻𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061   class class class wbr 5092  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066   Proset cproset 18108  MGalConncmgc 31544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-map 8688  df-proset 18110  df-mgc 31546
This theorem is referenced by:  dfmgc2  31561
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