Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfmgc2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfmgc2lem 32970
Description: Lemma for dfmgc2, backwards direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Base‘𝑉)
mgcoval.2 𝐵 = (Base‘𝑊)
mgcoval.3 = (le‘𝑉)
mgcoval.4 = (le‘𝑊)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgcval.2 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
dfmgc2lem.1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
dfmgc2lem.2 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
dfmgc2lem.3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
dfmgc2lem.4 (𝜑 → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)))
dfmgc2lem.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
dfmgc2lem.6 ((𝜑𝑢𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
Assertion
Ref Expression
dfmgc2lem (𝜑𝐹𝐻𝐺)
Distinct variable groups:   𝑣,   𝑣,   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦   𝑣,𝑉,𝑥,𝑦   𝑣,𝑊,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑢, ,𝑣   𝑥, ,𝑦   𝑢,   𝑥, ,𝑦   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐹,𝑣   𝑢,𝐺,𝑣   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑢)   𝑊(𝑢)

Proof of Theorem dfmgc2lem
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmgc2lem.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 dfmgc2lem.2 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
31, 2jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐵𝐴))
4 mgcval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
54ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑉 ∈ Proset )
6 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑧𝐴)
76adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑧𝐴)
82ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝐺:𝐵𝐴)
91ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝐹:𝐴𝐵)
109, 7ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
118, 10ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝐴)
122ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → 𝐺:𝐵𝐴)
13 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤𝐵)
1412, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝐺𝑤) ∈ 𝐴)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐺𝑤) ∈ 𝐴)
16 dfmgc2lem.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
1716ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
1817ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
19 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
2019fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
2120fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐺‘(𝐹𝑥)) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
2219, 21breq12d 5161 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)) ↔ 𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧))))
237, 22rspcdv 3614 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)) → 𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧))))
2418, 23mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧)))
25 dfmgc2lem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)))
2625ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)))
27 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝑢 𝑣 ↔ (𝐹𝑧) 𝑣))
28 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝐺𝑢) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
2928breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝐺𝑢) (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣)))
3027, 29imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)) ↔ ((𝐹𝑧) 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣))))
31 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) 𝑣 ↔ (𝐹𝑧) 𝑤))
32 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑤 → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑤))
3332breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤)))
3431, 33imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑤 → (((𝐹𝑧) 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑣)) ↔ ((𝐹𝑧) 𝑤 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))))
351ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
37 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑢 = (𝐹𝑧)) → 𝐵 = 𝐵)
3830, 34, 36, 37, 13rspc2vd 3959 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢 𝑣 → (𝐺𝑢) (𝐺𝑣)) → ((𝐹𝑧) 𝑤 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))))
3926, 38mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐹𝑧) 𝑤 → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤)))
4039imp 406 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))
41 mgcoval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (Base‘𝑉)
42 mgcoval.3 . . . . . . 7 = (le‘𝑉)
4341, 42prstr 18357 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Proset ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑤) ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) (𝐺𝑤))) → 𝑧 (𝐺𝑤))
445, 7, 11, 15, 24, 40, 43syl132anc 1387 . . . . 5 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ (𝐹𝑧) 𝑤) → 𝑧 (𝐺𝑤))
45 mgcval.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
4645ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → 𝑊 ∈ Proset )
4735ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
481ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → 𝐹:𝐴𝐵)
4914adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐺𝑤) ∈ 𝐴)
5048, 49ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹‘(𝐺𝑤)) ∈ 𝐵)
51 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → 𝑤𝐵)
52 dfmgc2lem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
5352ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
54 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 𝑦𝑧 𝑦))
55 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
5655breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) (𝐹𝑦)))
5754, 56imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 𝑦 → (𝐹𝑧) (𝐹𝑦))))
58 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐺𝑤) → (𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑤)))
59 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐺𝑤) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
6059breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐺𝑤) → ((𝐹𝑧) (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤))))
6158, 60imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐺𝑤) → ((𝑧 𝑦 → (𝐹𝑧) (𝐹𝑦)) ↔ (𝑧 (𝐺𝑤) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)))))
62 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝐴 = 𝐴)
6357, 61, 6, 62, 14rspc2vd 3959 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 𝑦 → (𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) → (𝑧 (𝐺𝑤) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)))))
6453, 63mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑤) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤))))
6564imp 406 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)))
66 dfmgc2lem.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
6766ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑢𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
6867ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → ∀𝑢𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢)
69 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → 𝑢 = 𝑤)
7069fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → (𝐺𝑢) = (𝐺𝑤))
7170fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → (𝐹‘(𝐺𝑢)) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
7271, 69breq12d 5161 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) ∧ 𝑢 = 𝑤) → ((𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤))
7351, 72rspcdv 3614 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (∀𝑢𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑢)) 𝑢 → (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤))
7468, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤)
75 mgcoval.2 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
76 mgcoval.4 . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
7775, 76prstr 18357 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Proset ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑤)) ∈ 𝐵𝑤𝐵) ∧ ((𝐹𝑧) (𝐹‘(𝐺𝑤)) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑤)) 𝑤)) → (𝐹𝑧) 𝑤)
7846, 47, 50, 51, 65, 74, 77syl132anc 1387 . . . . 5 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑧 (𝐺𝑤)) → (𝐹𝑧) 𝑤)
7944, 78impbida 801 . . . 4 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))
8079anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐵)) → ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))
8180ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐴𝑤𝐵 ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))
82 mgcval.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
8341, 75, 42, 76, 82, 4, 45mgcval 32962 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:𝐴𝐵𝐺:𝐵𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐵 ((𝐹𝑧) 𝑤𝑧 (𝐺𝑤)))))
843, 81, 83mpbir2and 713 1 (𝜑𝐹𝐻𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305   Proset cproset 18350  MGalConncmgc 32954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-mgc 32956
This theorem is referenced by:  dfmgc2  32971
  Copyright terms: Public domain W3C validator