Theorem rspcdv 3568

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rspcdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		rspcdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
4	1, 3	rspcimdv 3566	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077

This theorem is used by:  rspcdv2  3571  rspcv  3572  ralxfrd  5373  ralxfrd2  5377  reuop  6291  suppofss1d  8202  suppofss2d  8203  zindd  12722  wrd2ind  14792  ismri2dad  17725  mreexd  17730  mreexexlemd  17732  catcocl  17773  catass  17774  moni  17825  subccocl  17934  funcco  17960  fullfo  18003  fthf1  18008  nati  18047  chnind  18709  mndind  18937  ringurd  20324  idsrngd  21022  mpomulcn  25095  fsumdvdsmul  27431  uspgr2wlkeq  30105  crctcshwlkn0lem4  30281  crctcshwlkn0lem5  30282  wwlknllvtx  30314  0enwwlksnge1  30332  wlkiswwlks2lem5  30341  clwlkclwwlklem2a  30468  clwlkclwwlklem2  30470  clwwisshclwws  30485  clwwlkinwwlk  30510  umgr2cwwk2dif  30534  wrdt2ind  33395  mgccole1  33430  mgccole2  33431  mgcmnt1  33432  mgcmntco  33434  dfmgc2lem  33435  1arithufdlem3  33956  dfufd2  33960  fedgmullem2  34140  constrconj  34255  zart0  34389  zarcmplem  34391  esumcvg  34596  inelcarsg  34822  carsgclctunlem1  34828  orvcelel  34981  signsply0  35059  onint1  37068  qsalrel  43108  ismnushort  45125  ralbinrald  48010  fargshiftfva  48343  reupr  48422  evengpop3  48714  evengpoap3  48715  snlindsntorlem  49400