Theorem rspcdv 3576

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rspcdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		rspcdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
4	1, 3	rspcimdv 3574	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083

This theorem is used by:  rspcdv2  3579  rspcv  3580  ralxfrd  5384  ralxfrd2  5388  reuop  6301  suppofss1d  8209  suppofss2d  8210  zindd  12715  wrd2ind  14784  ismri2dad  17718  mreexd  17723  mreexexlemd  17725  catcocl  17766  catass  17767  moni  17818  subccocl  17927  funcco  17953  fullfo  17996  fthf1  18001  nati  18040  chnind  18702  mndind  18918  ringurd  20298  idsrngd  20996  mpomulcn  25063  fsumdvdsmul  27396  uspgr2wlkeq  30032  crctcshwlkn0lem4  30199  crctcshwlkn0lem5  30200  wwlknllvtx  30232  0enwwlksnge1  30250  wlkiswwlks2lem5  30259  clwlkclwwlklem2a  30386  clwlkclwwlklem2  30388  clwwisshclwws  30403  clwwlkinwwlk  30428  umgr2cwwk2dif  30452  wrdt2ind  33306  mgccole1  33341  mgccole2  33342  mgcmnt1  33343  mgcmntco  33345  dfmgc2lem  33346  1arithufdlem3  33867  dfufd2  33871  fedgmullem2  34051  constrconj  34166  zart0  34300  zarcmplem  34302  esumcvg  34507  inelcarsg  34732  carsgclctunlem1  34738  orvcelel  34891  signsply0  34969  onint1  37000  qsalrel  43049  ismnushort  45051  ralbinrald  47899  fargshiftfva  48232  reupr  48311  evengpop3  48603  evengpoap3  48604  snlindsntorlem  49290