Theorem rspcdv 3565

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rspcdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		rspcdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	biimpd 229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
4	1, 3	rspcimdv 3563	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049

This theorem is referenced by:  rspcdv2  3568  rspcv  3569  ralxfrd  5350  ralxfrd2  5354  reuop  6248  suppofss1d  8143  suppofss2d  8144  zindd  12584  wrd2ind  14637  ismri2dad  17551  mreexd  17556  mreexexlemd  17558  catcocl  17599  catass  17600  moni  17651  subccocl  17760  funcco  17786  fullfo  17829  fthf1  17834  nati  17873  chnind  18535  mndind  18744  ringurd  20111  idsrngd  20780  mpomulcn  24805  fsumdvdsmul  27152  uspgr2wlkeq  29645  crctcshwlkn0lem4  29812  crctcshwlkn0lem5  29813  wwlknllvtx  29845  0enwwlksnge1  29863  wlkiswwlks2lem5  29872  clwlkclwwlklem2a  29999  clwlkclwwlklem2  30001  clwwisshclwws  30016  clwwlkinwwlk  30041  umgr2cwwk2dif  30065  wrdt2ind  32963  mgccole1  33000  mgccole2  33001  mgcmnt1  33002  mgcmntco  33004  dfmgc2lem  33005  1arithufdlem3  33555  dfufd2  33559  fedgmullem2  33715  constrconj  33830  zart0  33964  zarcmplem  33966  esumcvg  34171  inelcarsg  34396  carsgclctunlem1  34402  orvcelel  34555  signsply0  34636  onint1  36565  qsalrel  42411  ismnushort  44458  ralbinrald  47284  fargshiftfva  47605  reupr  47684  evengpop3  47960  evengpoap3  47961  snlindsntorlem  48632