Theorem rspcdv 3564

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rspcdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		rspcdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	biimpd 229	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
4	1, 3	rspcimdv 3562	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048

This theorem is referenced by:  rspcdv2  3567  rspcv  3568  ralxfrd  5344  ralxfrd2  5348  reuop  6240  suppofss1d  8134  suppofss2d  8135  zindd  12574  wrd2ind  14630  ismri2dad  17543  mreexd  17548  mreexexlemd  17550  catcocl  17591  catass  17592  moni  17643  subccocl  17752  funcco  17778  fullfo  17821  fthf1  17826  nati  17865  chnind  18527  mndind  18736  ringurd  20103  idsrngd  20771  mpomulcn  24785  fsumdvdsmul  27132  uspgr2wlkeq  29624  crctcshwlkn0lem4  29791  crctcshwlkn0lem5  29792  wwlknllvtx  29824  0enwwlksnge1  29842  wlkiswwlks2lem5  29851  clwlkclwwlklem2a  29978  clwlkclwwlklem2  29980  clwwisshclwws  29995  clwwlkinwwlk  30020  umgr2cwwk2dif  30044  wrdt2ind  32934  mgccole1  32971  mgccole2  32972  mgcmnt1  32973  mgcmntco  32975  dfmgc2lem  32976  1arithufdlem3  33511  dfufd2  33515  fedgmullem2  33643  constrconj  33758  zart0  33892  zarcmplem  33894  esumcvg  34099  inelcarsg  34324  carsgclctunlem1  34330  orvcelel  34483  signsply0  34564  onint1  36493  qsalrel  42332  ismnushort  44393  ralbinrald  47221  fargshiftfva  47542  reupr  47621  evengpop3  47897  evengpoap3  47898  snlindsntorlem  48570