Theorem rspcdv 3575

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
rspcdv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rspcdv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rspcdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		rspcdv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
4	1, 3	rspcimdv 3573	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082

This theorem is used by:  rspcdv2  3578  rspcv  3579  ralxfrd  5381  ralxfrd2  5385  reuop  6298  suppofss1d  8202  suppofss2d  8203  zindd  12709  wrd2ind  14778  ismri2dad  17711  mreexd  17716  mreexexlemd  17718  catcocl  17759  catass  17760  moni  17811  subccocl  17920  funcco  17946  fullfo  17989  fthf1  17994  nati  18033  chnind  18695  mndind  18911  ringurd  20291  idsrngd  20989  mpomulcn  25057  fsumdvdsmul  27390  uspgr2wlkeq  30029  crctcshwlkn0lem4  30205  crctcshwlkn0lem5  30206  wwlknllvtx  30238  0enwwlksnge1  30256  wlkiswwlks2lem5  30265  clwlkclwwlklem2a  30392  clwlkclwwlklem2  30394  clwwisshclwws  30409  clwwlkinwwlk  30434  umgr2cwwk2dif  30458  wrdt2ind  33315  mgccole1  33350  mgccole2  33351  mgcmnt1  33352  mgcmntco  33354  dfmgc2lem  33355  1arithufdlem3  33876  dfufd2  33880  fedgmullem2  34060  constrconj  34175  zart0  34309  zarcmplem  34311  esumcvg  34516  inelcarsg  34742  carsgclctunlem1  34748  orvcelel  34901  signsply0  34979  onint1  36993  qsalrel  43042  ismnushort  45044  ralbinrald  47892  fargshiftfva  48225  reupr  48304  evengpop3  48596  evengpoap3  48597  snlindsntorlem  49283