Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibclN 40635
Description: Closure of partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibcl.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibclN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibclN
StepHypRef Expression
1 dibcl.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . . 4 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dibcl.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3dibfna 40627 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 Fn dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 fnfun 6654 . . 3 (𝐼 Fn dom ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) β†’ Fun 𝐼)
64, 5syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun 𝐼)
7 fvelrn 7086 . 2 ((Fun 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
86, 7sylan 579 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  dom cdm 5678  ran crn 5679  Fun wfun 6542   Fn wfn 6543  β€˜cfv 6548  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DIsoAcdia 40501  DIsoBcdib 40611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-dib 40612
This theorem is referenced by:  dibintclN  40640
  Copyright terms: Public domain W3C validator