Theorem dibclN 40021

Description: Closure of partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3		dibcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dibfna 40013	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
5		fnfun 6646	. . 3 ⊢ (𝐼 Fn dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) → Fun 𝐼)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Fun 𝐼)
7		fvelrn 7075	. 2 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
8	6, 7	sylan 580	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DIsoAcdia 39887  DIsoBcdib 39997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-dib 39998

This theorem is referenced by:  dibintclN  40026