Theorem dibclN 41567

Description: Closure of partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3		dibcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dibfna 41559	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
5		fnfun 6602	. . 3 ⊢ (𝐼 Fn dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) → Fun 𝐼)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Fun 𝐼)
7		fvelrn 7032	. 2 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
8	6, 7	sylan 581	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6496   Fn wfn 6497  ‘cfv 6502  HLchlt 39755  LHypclh 40389  DIsoAcdia 41433  DIsoBcdib 41543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-dib 41544

This theorem is referenced by:  dibintclN  41572