Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibf11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibf11N 41163
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 27. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibf11N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)

Proof of Theorem dibf11N
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dibcl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dibcl.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4dibfnN 41158 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
6 fnfun 6668 . . . 4 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → Fun 𝐼)
7 funfn 6596 . . . 4 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
86, 7sylib 218 . . 3 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → 𝐼 Fn dom 𝐼)
95, 8syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
10 eqidd 2738 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = ran 𝐼)
111, 2, 3, 4dibeldmN 41160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
121, 2, 3, 4dibeldmN 41160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
1311, 12anbi12d 632 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))))
141, 2, 3, 4dib11N 41162 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514biimpd 229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16153expib 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1713, 16sylbid 240 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1817ralrimivv 3200 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
19 dff1o6 7295 . 2 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 ↔ (𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ ran 𝐼 = ran 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
209, 10, 18, 19syl3anbrc 1344 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DIsoBcdib 41140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-disoa 41031  df-dib 41141
This theorem is referenced by:  dibintclN  41169
  Copyright terms: Public domain W3C validator