Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibf11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibf11N 37174
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 27. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibf11N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)

Proof of Theorem dibf11N
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2797 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dibcl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dibcl.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4dibfnN 37169 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
6 fnfun 6197 . . . 4 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → Fun 𝐼)
7 funfn 6129 . . . 4 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
86, 7sylib 210 . . 3 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → 𝐼 Fn dom 𝐼)
95, 8syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
10 eqidd 2798 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = ran 𝐼)
111, 2, 3, 4dibeldmN 37171 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
121, 2, 3, 4dibeldmN 37171 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
1311, 12anbi12d 625 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))))
141, 2, 3, 4dib11N 37173 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514biimpd 221 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16153expib 1153 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1713, 16sylbid 232 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1817ralrimivv 3149 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
19 dff1o6 6757 . 2 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 ↔ (𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ ran 𝐼 = ran 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
209, 10, 18, 19syl3anbrc 1444 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  {crab 3091   class class class wbr 4841  dom cdm 5310  ran crn 5311  Fun wfun 6093   Fn wfn 6094  1-1-ontowf1o 6098  cfv 6099  Basecbs 16181  lecple 16271  HLchlt 35363  LHypclh 35997  DIsoBcdib 37151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-riotaBAD 34966
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-undef 7635  df-map 8095  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-llines 35511  df-lplanes 35512  df-lvols 35513  df-lines 35514  df-psubsp 35516  df-pmap 35517  df-padd 35809  df-lhyp 36001  df-laut 36002  df-ldil 36117  df-ltrn 36118  df-trl 36172  df-disoa 37042  df-dib 37152
This theorem is referenced by:  dibintclN  37180
  Copyright terms: Public domain W3C validator