Theorem dibvalrel 38459

Description: The value of partial isomorphism B is a relation. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibvalrel	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem dibvalrel

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5537	. . 3 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})
2		dibcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dibcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	dibdiadm 38451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
6	5	eleq2d 2875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
7	6	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	8, 2, 9, 10, 3, 4	dibval 38438	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
12	7, 11	syldan 594	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
13	12	releqd 5617	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})))
14	1, 13	mpbiri 261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
15		rel0 5636	. . . 4 ⊢ Rel ∅
16		ndmfv 6675	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (𝐼‘𝑋) = ∅)
17	16	releqd 5617	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ∅))
18	15, 17	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → Rel (𝐼‘𝑋))
19	18	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
20	14, 19	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   I cid 5424   × cxp 5517  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  DIsoAcdia 38324  DIsoBcdib 38434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-dib 38435

This theorem is referenced by:  dibglbN  38462  dib2dim  38539  dih2dimbALTN  38541