Theorem dibvalrel 40337

Description: The value of partial isomorphism B is a relation. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibvalrel	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem dibvalrel

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5693	. . 3 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})
2		dibcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dibcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	dibdiadm 40329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
6	5	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
7	6	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	8, 2, 9, 10, 3, 4	dibval 40316	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
12	7, 11	syldan 589	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
13	12	releqd 5777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})))
14	1, 13	mpbiri 257	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
15		rel0 5798	. . . 4 ⊢ Rel ∅
16		ndmfv 6925	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (𝐼‘𝑋) = ∅)
17	16	releqd 5777	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ∅))
18	15, 17	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → Rel (𝐼‘𝑋))
19	18	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
20	14, 19	pm2.61dan 809	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∅c0 4321  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   × cxp 5673  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  Rel wrel 5680  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  DIsoAcdia 40202  DIsoBcdib 40312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-dib 40313

This theorem is referenced by:  dibglbN  40340  dib2dim  40417  dih2dimbALTN  40419