Theorem dibvalrel 41157

Description: The value of partial isomorphism B is a relation. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibvalrel	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem dibvalrel

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5656	. . 3 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})
2		dibcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dibcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	dibdiadm 41149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
6	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
7	6	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	8, 2, 9, 10, 3, 4	dibval 41136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
12	7, 11	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
13	12	releqd 5741	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})))
14	1, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
15		rel0 5762	. . . 4 ⊢ Rel ∅
16		ndmfv 6893	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (𝐼‘𝑋) = ∅)
17	16	releqd 5741	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ∅))
18	15, 17	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → Rel (𝐼‘𝑋))
19	18	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
20	14, 19	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   × cxp 5636  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  Rel wrel 5643  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095  DIsoAcdia 41022  DIsoBcdib 41132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-dib 41133

This theorem is referenced by:  dibglbN  41160  dib2dim  41237  dih2dimbALTN  41239