Theorem dibvalrel 41181

Description: The value of partial isomorphism B is a relation. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibvalrel	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Proof of Theorem dibvalrel

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5632	. . 3 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})
2		dibcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
4		dibcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	dibdiadm 41173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
6	5	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
7	6	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	8, 2, 9, 10, 3, 4	dibval 41160	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
12	7, 11	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))}))
13	12	releqd 5717	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))})))
14	1, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
15		rel0 5737	. . . 4 ⊢ Rel ∅
16		ndmfv 6849	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (𝐼‘𝑋) = ∅)
17	16	releqd 5717	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → (Rel (𝐼‘𝑋) ↔ Rel ∅))
18	15, 17	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼 → Rel (𝐼‘𝑋))
19	18	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Rel (𝐼‘𝑋))
20	14, 19	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∅c0 4281  {csn 4574   ↦ cmpt 5170   I cid 5508   × cxp 5612  dom cdm 5614   ↾ cres 5616  Rel wrel 5619  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  LHypclh 40002  LTrncltrn 40119  DIsoAcdia 41046  DIsoBcdib 41156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-dib 41157

This theorem is referenced by:  dibglbN  41184  dib2dim  41261  dih2dimbALTN  41263