Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibintclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibintclN 37123
Description: The intersection of partial isomorphism B closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibintcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibintcl.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibintclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibintclN
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibintcl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dibintcl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dibf11N 37117 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
43adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
5 f1ofn 6321 . . . . . 6 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
7 cnvimass 5667 . . . . 5 (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼
8 fnssres 6182 . . . . 5 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆))
96, 7, 8sylancl 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆))
10 fniinfv 6446 . . . 4 ((𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)))
12 df-ima 5290 . . . . 5 (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆))
13 f1ofo 6327 . . . . . . . 8 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼)
143, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼)
1514adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼)
16 simprl 787 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
17 foimacnv 6337 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
1815, 16, 17syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
1912, 18syl5eqr 2813 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2019inteqd 4638 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2111, 20eqtrd 2799 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = 𝑆)
22 simpl 474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
237a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼)
24 simprr 789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
25 n0 4095 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑆)
2624, 25sylib 209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦𝑆)
2716sselda 3761 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
283ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
2928, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
30 fvelrnb 6432 . . . . . . . . 9 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦))
3227, 31mpbid 223 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦)
33 f1ofun 6322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 → Fun 𝐼)
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Fun 𝐼)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
36 fvimacnv 6522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐼𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑥 ∈ (𝐼𝑆)))
3735, 36sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑥 ∈ (𝐼𝑆)))
38 ne0i 4085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼𝑆) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
3937, 38syl6bi 244 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))
4039ex 401 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
41 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆))
4241biimprd 239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
4342imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
4440, 43syl9 77 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))))
4544com24 95 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))))
4645imp 395 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
4746rexlimdv 3177 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))
4832, 47mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
4926, 48exlimddv 2030 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
50 eqid 2765 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
5150, 1, 2dibglbN 37122 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦))
5222, 23, 49, 51syl12anc 865 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦))
53 fvres 6394 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐼𝑆) → ((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = (𝐼𝑦))
5453iineq2i 4696 . . . 4 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦)
5552, 54syl6eqr 2817 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦))
56 hlclat 35314 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
5756ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
58 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6058, 59, 1, 2dibdmN 37113 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
61 ssrab2 3847 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
6260, 61syl6eqss 3815 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 ⊆ (Base‘𝐾))
6362adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 ⊆ (Base‘𝐾))
647, 63syl5ss 3772 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
6558, 50clatglbcl 17380 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
6657, 64, 65syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
67 n0 4095 . . . . . . 7 ((𝐼𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐼𝑆))
6849, 67sylib 209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐼𝑆))
69 hllat 35319 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7069ad3antrrr 721 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝐾 ∈ Lat)
7166adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
7264sselda 3761 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
7358, 1lhpbase 35954 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7473ad3antlr 722 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7556ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝐾 ∈ CLat)
7660adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
777, 76syl5sseq 3813 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
7877, 61syl6ss 3773 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
7978adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
80 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆))
8158, 59, 50clatglble 17391 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑦)
8275, 79, 80, 81syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑦)
837sseli 3757 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐼𝑆) → 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8483adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8558, 59, 1, 2dibeldmN 37114 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
8685ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
8784, 86mpbid 223 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))
8887simprd 489 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦(le‘𝐾)𝑊)
8958, 59, 70, 71, 72, 74, 82, 88lattrd 17324 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)
9068, 89exlimddv 2030 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)
9158, 59, 1, 2dibeldmN 37114 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)))
9291adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)))
9366, 90, 92mpbir2and 704 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼)
941, 2dibclN 37118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9593, 94syldan 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9655, 95eqeltrrd 2845 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
9721, 96eqeltrrd 2845 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  {crab 3059  wss 3732  c0 4079   cint 4633   ciin 4677   class class class wbr 4809  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  Basecbs 16130  lecple 16221  glbcglb 17209  Latclat 17311  CLatccla 17373  HLchlt 35306  LHypclh 35940  DIsoBcdib 37094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-riotaBAD 34909
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-undef 7602  df-map 8062  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-p1 17306  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-llines 35454  df-lplanes 35455  df-lvols 35456  df-lines 35457  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944  df-laut 35945  df-ldil 36060  df-ltrn 36061  df-trl 36115  df-disoa 36985  df-dib 37095
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator