Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibintclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibintclN 36977
Description: The intersection of partial isomorphism B closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibintcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibintcl.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibintclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibintclN
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibintcl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dibintcl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dibf11N 36971 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
43adantr 466 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
5 f1ofn 6280 . . . . . 6 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
7 cnvimass 5625 . . . . 5 (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼
8 fnssres 6143 . . . . 5 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆))
96, 7, 8sylancl 574 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆))
10 fniinfv 6401 . . . 4 ((𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)))
12 df-ima 5263 . . . . 5 (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆))
13 f1ofo 6286 . . . . . . . 8 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼)
143, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼)
1514adantr 466 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼)
16 simprl 754 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
17 foimacnv 6296 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼onto→ran 𝐼𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
1815, 16, 17syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
1912, 18syl5eqr 2819 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2019inteqd 4617 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2111, 20eqtrd 2805 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = 𝑆)
22 simpl 468 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
237a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼)
24 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
25 n0 4079 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑆)
2624, 25sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦𝑆)
2716sselda 3752 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
283ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
2928, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
30 fvelrnb 6387 . . . . . . . . 9 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦))
3227, 31mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦)
33 f1ofun 6281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 → Fun 𝐼)
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Fun 𝐼)
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
36 fvimacnv 6477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐼𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑥 ∈ (𝐼𝑆)))
3735, 36sylan 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑥 ∈ (𝐼𝑆)))
38 ne0i 4069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼𝑆) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
3937, 38syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))
4039ex 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
41 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆))
4241biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
4342imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
4440, 43syl9 77 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))))
4544com24 95 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))))
4645imp 393 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
4746rexlimdv 3178 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))
4832, 47mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
4926, 48exlimddv 2015 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
50 eqid 2771 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
5150, 1, 2dibglbN 36976 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦))
5222, 23, 49, 51syl12anc 1474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦))
53 fvres 6350 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐼𝑆) → ((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = (𝐼𝑦))
5453iineq2i 4675 . . . 4 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦)
5552, 54syl6eqr 2823 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦))
56 hlclat 35166 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
5756ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
58 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6058, 59, 1, 2dibdmN 36967 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
61 ssrab2 3836 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
6260, 61syl6eqss 3804 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 ⊆ (Base‘𝐾))
6362adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 ⊆ (Base‘𝐾))
647, 63syl5ss 3763 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
6558, 50clatglbcl 17321 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
6657, 64, 65syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
67 n0 4079 . . . . . . 7 ((𝐼𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐼𝑆))
6849, 67sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝐼𝑆))
69 hllat 35171 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7069ad3antrrr 709 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝐾 ∈ Lat)
7166adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
7264sselda 3752 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
7358, 1lhpbase 35806 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7473ad3antlr 710 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7556ad3antrrr 709 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝐾 ∈ CLat)
7660adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
777, 76syl5sseq 3802 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
7877, 61syl6ss 3764 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
7978adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
80 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆))
8158, 59, 50clatglble 17332 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑦)
8275, 79, 80, 81syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑦)
837sseli 3748 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐼𝑆) → 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8483adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8558, 59, 1, 2dibeldmN 36968 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
8685ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
8784, 86mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))
8887simprd 483 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → 𝑦(le‘𝐾)𝑊)
8958, 59, 70, 71, 72, 74, 82, 88lattrd 17265 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)
9068, 89exlimddv 2015 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)
9158, 59, 1, 2dibeldmN 36968 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)))
9291adantr 466 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))(le‘𝐾)𝑊)))
9366, 90, 92mpbir2and 692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼)
941, 2dibclN 36972 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9593, 94syldan 579 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9655, 95eqeltrrd 2851 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
9721, 96eqeltrrd 2851 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  c0 4063   cint 4612   ciin 4656   class class class wbr 4787  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  cima 5253  Fun wfun 6024   Fn wfn 6025  ontowfo 6028  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  Basecbs 16063  lecple 16155  glbcglb 17150  Latclat 17252  CLatccla 17314  HLchlt 35158  LHypclh 35792  DIsoBcdib 36948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-undef 7554  df-map 8014  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-disoa 36839  df-dib 36949
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator