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Theorem dibintclN 39680
Description: The intersection of partial isomorphism B closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibintcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibintcl.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibintclN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibintclN
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibintcl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dibintcl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2dibf11N 39674 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
43adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
5 f1ofn 6789 . . . . . 6 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
7 cnvimass 6037 . . . . 5 (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼
8 fnssres 6628 . . . . 5 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼) β†’ (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) Fn (◑𝐼 β€œ 𝑆))
96, 7, 8sylancl 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) Fn (◑𝐼 β€œ 𝑆))
10 fniinfv 6923 . . . 4 ((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) Fn (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
12 df-ima 5650 . . . . 5 (𝐼 β€œ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
13 f1ofo 6795 . . . . . . . 8 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ 𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼)
143, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼)
1514adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼)
16 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† ran 𝐼)
17 foimacnv 6805 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† ran 𝐼) β†’ (𝐼 β€œ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = 𝑆)
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐼 β€œ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = 𝑆)
1912, 18eqtr3id 2787 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = 𝑆)
2019inteqd 4916 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
2111, 20eqtrd 2773 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ 𝑆)
22 simpl 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
237a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼)
24 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
25 n0 4310 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑆)
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑆)
2716sselda 3948 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐼)
283ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
2928, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
30 fvelrnb 6907 . . . . . . . . 9 (𝐼 Fn dom 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦))
3227, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦)
33 f1ofun 6790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ Fun 𝐼)
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun 𝐼)
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Fun 𝐼)
36 fvimacnv 7007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
3735, 36sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
38 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
3937, 38syl6bi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))
4039ex 414 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)))
41 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
4241biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆))
4342imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4440, 43syl9 77 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))))
4544com24 95 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))))
4645imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4746rexlimdv 3147 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))
4832, 47mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
4926, 48exlimddv 1939 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
50 eqid 2733 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
5150, 1, 2dibglbN 39679 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼 ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)(πΌβ€˜π‘¦))
5222, 23, 49, 51syl12anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)(πΌβ€˜π‘¦))
53 fvres 6865 . . . . 5 (𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ ((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦))
5453iineq2i 4980 . . . 4 ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)(πΌβ€˜π‘¦)
5552, 54eqtr4di 2791 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦))
56 hlclat 37870 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
5756ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
58 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
59 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6058, 59, 1, 2dibdmN 39670 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐼 = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š})
61 ssrab2 4041 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
6260, 61eqsstrdi 4002 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6362adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ dom 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
647, 63sstrid 3959 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6558, 50clatglbcl 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6657, 64, 65syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
67 n0 4310 . . . . . . 7 ((◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
6849, 67sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
69 hllat 37875 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7069ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7166adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7264sselda 3948 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7358, 1lhpbase 38511 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7473ad3antlr 730 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7556ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
7660adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ dom 𝐼 = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š})
777, 76sseqtrid 4000 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š})
7877, 61sstrdi 3960 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
7978adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
80 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
8158, 59, 50clatglble 18414 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)𝑦)
8275, 79, 80, 81syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)𝑦)
837sseli 3944 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8483adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8558, 59, 1, 2dibeldmN 39671 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
8784, 86mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š))
8887simprd 497 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š)
8958, 59, 70, 71, 72, 74, 82, 88lattrd 18343 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9068, 89exlimddv 1939 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9158, 59, 1, 2dibeldmN 39671 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
9291adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
9366, 90, 92mpbir2and 712 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼)
941, 2dibclN 39675 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9593, 94syldan 592 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9655, 95eqeltrrd 2835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) ∈ ran 𝐼)
9721, 96eqeltrrd 2835 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆ© cint 4911  βˆ© ciin 4959   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148  glbcglb 18207  Latclat 18328  CLatccla 18395  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DIsoBcdib 39651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-disoa 39542  df-dib 39652
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