Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibintclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibintclN 40680
Description: The intersection of partial isomorphism B closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibintcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibintcl.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibintclN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dibintclN
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibintcl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dibintcl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2dibf11N 40674 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
43adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
5 f1ofn 6845 . . . . . 6 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
7 cnvimass 6090 . . . . 5 (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼
8 fnssres 6683 . . . . 5 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼) β†’ (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) Fn (◑𝐼 β€œ 𝑆))
96, 7, 8sylancl 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) Fn (◑𝐼 β€œ 𝑆))
10 fniinfv 6981 . . . 4 ((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) Fn (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
12 df-ima 5695 . . . . 5 (𝐼 β€œ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
13 f1ofo 6851 . . . . . . . 8 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ 𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼)
143, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼)
1514adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼)
16 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 βŠ† ran 𝐼)
17 foimacnv 6861 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼–ontoβ†’ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† ran 𝐼) β†’ (𝐼 β€œ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = 𝑆)
1815, 16, 17syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐼 β€œ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = 𝑆)
1912, 18eqtr3id 2782 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = 𝑆)
2019inteqd 4958 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ ran (𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
2111, 20eqtrd 2768 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ 𝑆)
22 simpl 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
237a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼)
24 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
25 n0 4350 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑆)
2624, 25sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ 𝑆)
2716sselda 3982 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐼)
283ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
2928, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 Fn dom 𝐼)
30 fvelrnb 6964 . . . . . . . . 9 (𝐼 Fn dom 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦))
3227, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦)
33 f1ofun 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:dom 𝐼–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 β†’ Fun 𝐼)
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Fun 𝐼)
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ Fun 𝐼)
36 fvimacnv 7067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
3735, 36sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)))
38 ne0i 4338 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
3937, 38biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐼) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))
4039ex 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)))
41 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
4241biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆))
4342imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (((πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4440, 43syl9 77 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))))
4544com24 95 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))))
4645imp 405 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐼 β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4746rexlimdv 3150 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ dom 𝐼(πΌβ€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…))
4832, 47mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
4926, 48exlimddv 1930 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)
50 eqid 2728 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
5150, 1, 2dibglbN 40679 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐼 ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)(πΌβ€˜π‘¦))
5222, 23, 49, 51syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)(πΌβ€˜π‘¦))
53 fvres 6921 . . . . 5 (𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ ((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘¦))
5453iineq2i 5022 . . . 4 ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)(πΌβ€˜π‘¦)
5552, 54eqtr4di 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦))
56 hlclat 38870 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
5756ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
58 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
59 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6058, 59, 1, 2dibdmN 40670 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐼 = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š})
61 ssrab2 4077 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
6260, 61eqsstrdi 4036 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6362adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ dom 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
647, 63sstrid 3993 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6558, 50clatglbcl 18506 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6657, 64, 65syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
67 n0 4350 . . . . . . 7 ((◑𝐼 β€œ 𝑆) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
6849, 67sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
69 hllat 38875 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7069ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7166adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7264sselda 3982 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7358, 1lhpbase 39511 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7473ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7556ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
7660adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ dom 𝐼 = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š})
777, 76sseqtrid 4034 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘Š})
7877, 61sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
7978adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
80 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆))
8158, 59, 50clatglble 18518 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◑𝐼 β€œ 𝑆) βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)𝑦)
8275, 79, 80, 81syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)𝑦)
837sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8483adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ dom 𝐼)
8558, 59, 1, 2dibeldmN 40671 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
8784, 86mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š))
8887simprd 494 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘Š)
8958, 59, 70, 71, 72, 74, 82, 88lattrd 18447 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9068, 89exlimddv 1930 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9158, 59, 1, 2dibeldmN 40671 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
9291adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼 ↔ (((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))(leβ€˜πΎ)π‘Š)))
9366, 90, 92mpbir2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼)
941, 2dibclN 40675 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆)) ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9593, 94syldan 589 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜(◑𝐼 β€œ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
9655, 95eqeltrrd 2830 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑦 ∈ (◑𝐼 β€œ 𝑆)((𝐼 β†Ύ (◑𝐼 β€œ 𝑆))β€˜π‘¦) ∈ ran 𝐼)
9721, 96eqeltrrd 2830 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† ran 𝐼 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  {crab 3430   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  βˆ© cint 4953  βˆ© ciin 5001   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  lecple 17249  glbcglb 18311  Latclat 18432  CLatccla 18499  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DIsoBcdib 40651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8287  df-map 8855  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-disoa 40542  df-dib 40652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator