Theorem dibelval1st 41812

Description: Membership in value of the partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 13-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibelval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibelval1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibelval1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibelval1.j	⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibelval1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibelval1st	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (1st ‘𝑌) ∈ (𝐽‘𝑋))

Proof of Theorem dibelval1st

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibelval1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibelval1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibelval1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		dibelval1.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibelval1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibval2 41807	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
9	8	eleq2d 2855	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))})))
10	9	biimp3a 1495	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑌 ∈ ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
11		xp1st 8017	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) → (1st ‘𝑌) ∈ (𝐽‘𝑋))
12	10, 11	syl 18	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (1st ‘𝑌) ∈ (𝐽‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   × cxp 5660   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  1^st c1st 7983  Basecbs 17268  lecple 17316  LHypclh 40647  LTrncltrn 40764  DIsoAcdia 41691  DIsoBcdib 41801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1st 7985  df-disoa 41692  df-dib 41802

This theorem is referenced by:  dibelval1st1  41813  dibelval1st2N  41814  diblss  41833