Theorem dibelval1st 40677

Description: Membership in value of the partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 13-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibelval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibelval1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibelval1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibelval1.j	⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibelval1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibelval1st	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (1st ‘𝑌) ∈ (𝐽‘𝑋))

Proof of Theorem dibelval1st

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibelval1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibelval1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibelval1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		dibelval1.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibelval1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibval2 40672	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
9	8	eleq2d 2811	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))})))
10	9	biimp3a 1465	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑌 ∈ ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
11		xp1st 8021	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((𝐽‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) → (1st ‘𝑌) ∈ (𝐽‘𝑋))
12	10, 11	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (1st ‘𝑌) ∈ (𝐽‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  1^st c1st 7987  Basecbs 17177  lecple 17237  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  DIsoAcdia 40556  DIsoBcdib 40666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1st 7989  df-disoa 40557  df-dib 40667

This theorem is referenced by:  dibelval1st1  40678  dibelval1st2N  40679  diblss  40698