Theorem xp1st 7963

Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp1st	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem xp1st

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5646	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)))
2		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	op1std 7941	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (1st ‘𝐴) = 𝑏)
5	4	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ 𝐵))
6	5	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	6	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	7	exlimivv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 8	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   × cxp 5621  ‘cfv 6486  1^st c1st 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-1st 7931

This theorem is referenced by:  el2xptp0  7978  offval22  8028  fimaproj  8075  xpf1o  9063  xpmapenlem  9068  mapunen  9070  unxpwdom2  9499  djulf1o  9827  djurf1o  9828  djur  9834  eldju1st  9838  r0weon  9925  infxpenlem  9926  fseqdom  9939  iundom2g  10453  enqbreq2  10833  nqereu  10842  addpqf  10857  mulpqf  10859  adderpqlem  10867  mulerpqlem  10868  addassnq  10871  mulassnq  10872  distrnq  10874  mulidnq  10876  recmulnq  10877  ltsonq  10882  lterpq  10883  ltanq  10884  ltmnq  10885  ltexnq  10888  archnq  10893  elreal2  11045  cnref1o  12904  fsum2dlem  15695  fsumcom2  15699  ackbijnn  15753  fprod2dlem  15905  fprodcom2  15909  ruclem6  16162  ruclem8  16164  ruclem9  16165  ruclem10  16166  ruclem11  16167  ruclem12  16168  eucalgval  16511  eucalginv  16513  eucalglt  16514  eucalg  16516  xpsff1o  17489  comfffval2  17625  comfeq  17630  idfucl  17806  funcpropd  17827  fucpropd  17905  xpccatid  18112  1stfcl  18121  2ndfcl  18122  xpcpropd  18132  hofcl  18183  hofpropd  18191  yonedalem3  18204  lsmhash  19602  gsum2dlem2  19868  evlslem4  21999  mdetunilem9  22523  tx2cn  23513  txdis  23535  txlly  23539  txnlly  23540  txhaus  23550  txkgen  23555  txconn  23592  txhmeo  23706  ptuncnv  23710  ptunhmeo  23711  xkohmeo  23718  utop2nei  24154  utop3cls  24155  imasdsf1olem  24277  cnheiborlem  24869  caubl  25224  caublcls  25225  bcthlem2  25241  bcthlem4  25243  bcthlem5  25244  ovolficcss  25386  ovoliunlem1  25419  ovoliunlem2  25420  ovolicc2lem1  25434  ovolicc2lem2  25435  ovolicc2lem4  25437  ovolicc2lem5  25438  dyadmbl  25517  fsumvma  27140  lgsquadlem1  27307  lgsquadlem2  27308  opreu2reuALT  32439  disjxpin  32550  fsumiunle  32787  gsummpt2d  33015  gsumwrd2dccatlem  33032  conjga  33125  elrgspnlem2  33193  elrgspnsubrunlem2  33198  erler  33215  rlocaddval  33218  rlocmulval  33219  cnre2csqima  33877  tpr2rico  33878  esum2dlem  34058  esumiun  34060  2ndmbfm  34228  sxbrsigalem0  34238  dya2iocnrect  34248  sibfof  34307  sitgaddlemb  34315  hgt750lemb  34623  satefvfmla0  35390  msubff  35502  msubco  35503  mpst123  35512  msubvrs  35532  funtransport  36004  filnetlem3  36353  elxp8  37344  finixpnum  37584  poimirlem4  37603  poimirlem5  37604  poimirlem6  37605  poimirlem7  37606  poimirlem8  37607  poimirlem9  37608  poimirlem10  37609  poimirlem11  37610  poimirlem12  37611  poimirlem13  37612  poimirlem14  37613  poimirlem15  37614  poimirlem16  37615  poimirlem17  37616  poimirlem18  37617  poimirlem19  37618  poimirlem20  37619  poimirlem21  37620  poimirlem22  37621  poimirlem25  37624  poimirlem26  37625  poimirlem27  37626  poimirlem29  37628  poimirlem30  37629  poimirlem31  37630  poimirlem32  37631  heicant  37634  mblfinlem1  37636  mblfinlem2  37637  ftc2nc  37681  heiborlem8  37797  dvhb1dimN  40965  dvhvaddcl  41074  dvhvaddcomN  41075  dvhvscacl  41082  dvhgrp  41086  dvhlveclem  41087  dibelval1st  41128  dicelval1stN  41167  aks6d1c2p1  42091  aks6d1c3  42096  aks6d1c4  42097  aks6d1c6lem2  42144  aks6d1c6lem4  42146  f1o2d2  42206  rmxypairf1o  42884  frmx  42886  cnmetcoval  45180  dvnprodlem1  45928  dvnprodlem2  45929  volicoff  45977  voliooicof  45978  etransclem44  46260  etransclem45  46261  etransclem47  46263  hoissre  46526  hoiprodcl  46529  ovnsubaddlem1  46552  ovnhoilem2  46584  hoicoto2  46587  ovncvr2  46593  opnvonmbllem2  46615  ovolval2lem  46625  ovolval3  46629  ovolval4lem1  46631  ovolval4lem2  46632  ovolval5lem2  46635  ovnovollem1  46638  ovnovollem2  46639  smfpimbor1lem1  46780  2arymaptf  48625  rrx2xpref1o  48691  elxpcbasex1ALT  49222  swapf2f1oa  49250  swapfida  49253  fuco2eld2  49287  fucoco2  49331  pgindlem  49688