Theorem xp1st 8007

Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp1st	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem xp1st

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)))
2		vex 3479	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3479	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	op1std 7985	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (1st ‘𝐴) = 𝑏)
5	4	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ 𝐵))
6	5	biimpar 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	6	adantrr 716	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	7	exlimivv 1936	. 2 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 8	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   × cxp 5675  ‘cfv 6544  1^st c1st 7973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-1st 7975

This theorem is referenced by:  el2xptp0  8022  offval22  8074  fimaproj  8121  xpf1o  9139  xpmapenlem  9144  mapunen  9146  unxpwdom2  9583  djulf1o  9907  djurf1o  9908  djur  9914  eldju1st  9918  r0weon  10007  infxpenlem  10008  fseqdom  10021  iundom2g  10535  enqbreq2  10915  nqereu  10924  addpqf  10939  mulpqf  10941  adderpqlem  10949  mulerpqlem  10950  addassnq  10953  mulassnq  10954  distrnq  10956  mulidnq  10958  recmulnq  10959  ltsonq  10964  lterpq  10965  ltanq  10966  ltmnq  10967  ltexnq  10970  archnq  10975  elreal2  11127  cnref1o  12969  fsum2dlem  15716  fsumcom2  15720  ackbijnn  15774  fprod2dlem  15924  fprodcom2  15928  ruclem6  16178  ruclem8  16180  ruclem9  16181  ruclem10  16182  ruclem11  16183  ruclem12  16184  eucalgval  16519  eucalginv  16521  eucalglt  16522  eucalg  16524  xpsff1o  17513  comfffval2  17645  comfeq  17650  idfucl  17831  funcpropd  17851  fucpropd  17930  xpccatid  18140  1stfcl  18149  2ndfcl  18150  xpcpropd  18161  hofcl  18212  hofpropd  18220  yonedalem3  18233  lsmhash  19573  gsum2dlem2  19839  evlslem4  21637  mdetunilem9  22122  tx2cn  23114  txdis  23136  txlly  23140  txnlly  23141  txhaus  23151  txkgen  23156  txconn  23193  txhmeo  23307  ptuncnv  23311  ptunhmeo  23312  xkohmeo  23319  utop2nei  23755  utop3cls  23756  imasdsf1olem  23879  cnheiborlem  24470  caubl  24825  caublcls  24826  bcthlem2  24842  bcthlem4  24844  bcthlem5  24845  ovolficcss  24986  ovoliunlem1  25019  ovoliunlem2  25020  ovolicc2lem1  25034  ovolicc2lem2  25035  ovolicc2lem4  25037  ovolicc2lem5  25038  dyadmbl  25117  fsumvma  26716  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  opreu2reuALT  31717  disjxpin  31819  fsumiunle  32035  gsummpt2d  32201  cnre2csqima  32891  tpr2rico  32892  esum2dlem  33090  esumiun  33092  2ndmbfm  33260  sxbrsigalem0  33270  dya2iocnrect  33280  sibfof  33339  sitgaddlemb  33347  hgt750lemb  33668  satefvfmla0  34409  msubff  34521  msubco  34522  mpst123  34531  msubvrs  34551  funtransport  35003  filnetlem3  35265  elxp8  36252  finixpnum  36473  poimirlem4  36492  poimirlem5  36493  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem8  36496  poimirlem9  36497  poimirlem10  36498  poimirlem11  36499  poimirlem12  36500  poimirlem13  36501  poimirlem14  36502  poimirlem15  36503  poimirlem16  36504  poimirlem17  36505  poimirlem18  36506  poimirlem19  36507  poimirlem20  36508  poimirlem21  36509  poimirlem22  36510  poimirlem25  36513  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  poimirlem32  36520  heicant  36523  mblfinlem1  36525  mblfinlem2  36526  ftc2nc  36570  heiborlem8  36686  dvhb1dimN  39857  dvhvaddcl  39966  dvhvaddcomN  39967  dvhvscacl  39974  dvhgrp  39978  dvhlveclem  39979  dibelval1st  40020  dicelval1stN  40059  aks6d1c2p1  40956  f1o2d2  41055  rmxypairf1o  41650  frmx  41652  cnmetcoval  43901  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem2  44663  volicoff  44711  voliooicof  44712  etransclem44  44994  etransclem45  44995  etransclem47  44997  hoissre  45260  hoiprodcl  45263  ovnsubaddlem1  45286  ovnhoilem2  45318  hoicoto2  45321  ovncvr2  45327  opnvonmbllem2  45349  ovolval2lem  45359  ovolval3  45363  ovolval4lem1  45365  ovolval4lem2  45366  ovolval5lem2  45369  ovnovollem1  45372  ovnovollem2  45373  smfpimbor1lem1  45514  2arymaptf  47338  rrx2xpref1o  47404  pgindlem  47760