Theorem xp1st 7398

Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp1st	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem xp1st

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5300	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)))
2		vex 3353	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3353	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	op1std 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (1st ‘𝐴) = 𝑏)
5	4	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ 𝐵))
6	5	biimpar 469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	6	adantrr 708	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	7	exlimivv 2027	. 2 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 8	sylbi 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652  ∃wex 1874   ∈ wcel 2155  ⟨cop 4340   × cxp 5275  ‘cfv 6068  1^st c1st 7364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fv 6076  df-1st 7366

This theorem is referenced by:  el2xptp0  7412  offval22  7455  xpf1o  8329  xpmapenlem  8334  mapunen  8336  unxpwdom2  8700  djulf1o  8989  djurf1o  8990  djur  8996  eldju1st  9000  r0weon  9086  infxpenlem  9087  fseqdom  9100  iundom2g  9615  enqbreq2  9995  nqereu  10004  addpqf  10019  mulpqf  10021  adderpqlem  10029  mulerpqlem  10030  addassnq  10033  mulassnq  10034  distrnq  10036  mulidnq  10038  recmulnq  10039  ltsonq  10044  lterpq  10045  ltanq  10046  ltmnq  10047  ltexnq  10050  archnq  10055  elreal2  10206  cnref1o  12023  fsum2dlem  14788  fsumcom2  14792  ackbijnn  14846  fprod2dlem  14995  fprodcom2  14999  ruclem6  15248  ruclem8  15250  ruclem9  15251  ruclem10  15252  ruclem11  15253  ruclem12  15254  eucalgval  15578  eucalginv  15580  eucalglt  15581  eucalg  15583  xpsff1o  16496  comfffval2  16628  comfeq  16633  idfucl  16808  funcpropd  16827  fucpropd  16904  xpccatid  17096  1stfcl  17105  2ndfcl  17106  xpcpropd  17116  hofcl  17167  hofpropd  17175  yonedalem3  17188  lsmhash  18384  gsum2dlem2  18636  evlslem4  19781  mdetunilem9  20703  tx2cn  21693  txdis  21715  txlly  21719  txnlly  21720  txhaus  21730  txkgen  21735  txconn  21772  txhmeo  21886  ptuncnv  21890  ptunhmeo  21891  xkohmeo  21898  utop2nei  22333  utop3cls  22334  imasdsf1olem  22457  cnheiborlem  23032  caubl  23385  caublcls  23386  bcthlem2  23402  bcthlem4  23404  bcthlem5  23405  ovolficcss  23527  ovoliunlem1  23560  ovoliunlem2  23561  ovolicc2lem1  23575  ovolicc2lem2  23576  ovolicc2lem4  23578  ovolicc2lem5  23579  dyadmbl  23658  fsumvma  25229  lgsquadlem1  25396  lgsquadlem2  25397  disjxpin  29784  fsumiunle  29959  gsummpt2d  30163  fimaproj  30282  cnre2csqima  30339  tpr2rico  30340  esum2dlem  30536  esumiun  30538  2ndmbfm  30705  sxbrsigalem0  30715  dya2iocnrect  30725  sibfof  30784  sitgaddlemb  30792  hgt750lemb  31117  msubff  31807  msubco  31808  mpst123  31817  msubvrs  31837  funtransport  32514  filnetlem3  32750  elxp8  33584  finixpnum  33750  poimirlem4  33769  poimirlem5  33770  poimirlem6  33771  poimirlem7  33772  poimirlem8  33773  poimirlem9  33774  poimirlem10  33775  poimirlem11  33776  poimirlem12  33777  poimirlem13  33778  poimirlem14  33779  poimirlem15  33780  poimirlem16  33781  poimirlem17  33782  poimirlem18  33783  poimirlem19  33784  poimirlem20  33785  poimirlem21  33786  poimirlem22  33787  poimirlem25  33790  poimirlem26  33791  poimirlem27  33792  poimirlem29  33794  poimirlem30  33795  poimirlem31  33796  poimirlem32  33797  heicant  33800  mblfinlem1  33802  mblfinlem2  33803  ftc2nc  33849  heiborlem8  33971  dvhb1dimN  36874  dvhvaddcl  36983  dvhvaddcomN  36984  dvhvscacl  36991  dvhgrp  36995  dvhlveclem  36996  dibelval1st  37037  dicelval1stN  37076  rmxypairf1o  38085  frmx  38087  cnmetcoval  39971  dvnprodlem1  40731  dvnprodlem2  40732  volicoff  40781  voliooicof  40782  etransclem44  41064  etransclem45  41065  etransclem47  41067  hoissre  41330  hoiprodcl  41333  ovnsubaddlem1  41356  ovnhoilem2  41388  hoicoto2  41391  ovncvr2  41397  opnvonmbllem2  41419  ovolval2lem  41429  ovolval3  41433  ovolval4lem1  41435  ovolval4lem2  41436  ovolval5lem2  41439  ovnovollem1  41442  ovnovollem2  41443  smfpimbor1lem1  41577