Theorem xp1st 8062

Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp1st	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem xp1st

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5723	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)))
2		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	op1std 8040	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (1st ‘𝐴) = 𝑏)
5	4	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ 𝐵))
6	5	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	6	adantrr 716	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	7	exlimivv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 8	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st ‘𝐴) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   × cxp 5698  ‘cfv 6573  1^st c1st 8028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-1st 8030

This theorem is referenced by:  el2xptp0  8077  offval22  8129  fimaproj  8176  xpf1o  9205  xpmapenlem  9210  mapunen  9212  unxpwdom2  9657  djulf1o  9981  djurf1o  9982  djur  9988  eldju1st  9992  r0weon  10081  infxpenlem  10082  fseqdom  10095  iundom2g  10609  enqbreq2  10989  nqereu  10998  addpqf  11013  mulpqf  11015  adderpqlem  11023  mulerpqlem  11024  addassnq  11027  mulassnq  11028  distrnq  11030  mulidnq  11032  recmulnq  11033  ltsonq  11038  lterpq  11039  ltanq  11040  ltmnq  11041  ltexnq  11044  archnq  11049  elreal2  11201  cnref1o  13050  fsum2dlem  15818  fsumcom2  15822  ackbijnn  15876  fprod2dlem  16028  fprodcom2  16032  ruclem6  16283  ruclem8  16285  ruclem9  16286  ruclem10  16287  ruclem11  16288  ruclem12  16289  eucalgval  16629  eucalginv  16631  eucalglt  16632  eucalg  16634  xpsff1o  17627  comfffval2  17759  comfeq  17764  idfucl  17945  funcpropd  17967  fucpropd  18047  xpccatid  18257  1stfcl  18266  2ndfcl  18267  xpcpropd  18278  hofcl  18329  hofpropd  18337  yonedalem3  18350  lsmhash  19747  gsum2dlem2  20013  evlslem4  22123  mdetunilem9  22647  tx2cn  23639  txdis  23661  txlly  23665  txnlly  23666  txhaus  23676  txkgen  23681  txconn  23718  txhmeo  23832  ptuncnv  23836  ptunhmeo  23837  xkohmeo  23844  utop2nei  24280  utop3cls  24281  imasdsf1olem  24404  cnheiborlem  25005  caubl  25361  caublcls  25362  bcthlem2  25378  bcthlem4  25380  bcthlem5  25381  ovolficcss  25523  ovoliunlem1  25556  ovoliunlem2  25557  ovolicc2lem1  25571  ovolicc2lem2  25572  ovolicc2lem4  25574  ovolicc2lem5  25575  dyadmbl  25654  fsumvma  27275  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  opreu2reuALT  32505  disjxpin  32610  fsumiunle  32833  gsummpt2d  33032  erler  33237  rlocaddval  33240  rlocmulval  33241  cnre2csqima  33857  tpr2rico  33858  esum2dlem  34056  esumiun  34058  2ndmbfm  34226  sxbrsigalem0  34236  dya2iocnrect  34246  sibfof  34305  sitgaddlemb  34313  hgt750lemb  34633  satefvfmla0  35386  msubff  35498  msubco  35499  mpst123  35508  msubvrs  35528  funtransport  35995  filnetlem3  36346  elxp8  37337  finixpnum  37565  poimirlem4  37584  poimirlem5  37585  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem9  37589  poimirlem10  37590  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem18  37598  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem21  37601  poimirlem22  37602  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  heicant  37615  mblfinlem1  37617  mblfinlem2  37618  ftc2nc  37662  heiborlem8  37778  dvhb1dimN  40943  dvhvaddcl  41052  dvhvaddcomN  41053  dvhvscacl  41060  dvhgrp  41064  dvhlveclem  41065  dibelval1st  41106  dicelval1stN  41145  aks6d1c2p1  42075  aks6d1c3  42080  aks6d1c4  42081  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem4  42130  f1o2d2  42228  rmxypairf1o  42868  frmx  42870  cnmetcoval  45109  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  volicoff  45916  voliooicof  45917  etransclem44  46199  etransclem45  46200  etransclem47  46202  hoissre  46465  hoiprodcl  46468  ovnsubaddlem1  46491  ovnhoilem2  46523  hoicoto2  46526  ovncvr2  46532  opnvonmbllem2  46554  ovolval2lem  46564  ovolval3  46568  ovolval4lem1  46570  ovolval4lem2  46571  ovolval5lem2  46574  ovnovollem1  46577  ovnovollem2  46578  smfpimbor1lem1  46719  2arymaptf  48386  rrx2xpref1o  48452  pgindlem  48807