Theorem dibopelval3 42206

Description: Member of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibopelval3	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) ∧ 𝑆 = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐾   𝑔,𝑊   𝑇,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐼(𝑔)   ≤ (𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem dibopelval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibval3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibval3.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dibval3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dibval3.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibopelval2 42203	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∧ 𝑆 = 0 )))
9		dibval3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 2, 3, 4, 9, 6	diaelval 42091	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋)))
11	10	anbi1d 643	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐹 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ∧ 𝑆 = 0 ) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) ∧ 𝑆 = 0 )))
12	8, 11	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑋) ∧ 𝑆 = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  trLctrl 41216  DIsoAcdia 42086  DIsoBcdib 42196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-disoa 42087  df-dib 42197

This theorem is used by:  dihord2cN  42279  dihord11b  42280  dihopelvalbN  42296  dihopelvalcpre  42306  dihjatcclem4  42479