Theorem s3sndisj 14892

Description: The singletons consisting of length 3 strings which have distinct third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
s3sndisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐

Proof of Theorem s3sndisj

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
3		s3cli 14806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
4		elex 3459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5		elex 3459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7		elex 3459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑍 → 𝑑 ∈ V)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍) → 𝑑 ∈ V)
9	6, 8	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
10		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V))
12		eqwrds3 14886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
13	3, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
14		s3fv2 14818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ V → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐)
15	14	elv 3443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐
16		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)
17	15, 16	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)) → 𝑐 = 𝑑)
19	13, 18	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → 𝑐 = 𝑑))
20	19	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩))
21	20	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
22	21	neqned 2932	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
23		disjsn2 4666	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
25	24	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
27	2, 26	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
28	27	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ∀𝑐 ∈ 𝑍 ∀𝑑 ∈ 𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
29		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝐴 = 𝐴)
30		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝐵 = 𝐵)
31		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝑐 = 𝑑)
32	29, 30, 31	s3eqd 14789	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
33	32	sneqd 4591	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩})
34	33	disjor 5077	. 2 ⊢ (Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑍 ∀𝑑 ∈ 𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
35	28, 34	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {csn 4579  Disj wdisj 5062  ‘cfv 6486  0cc0 11028  1c1 11029  2c2 12201  3c3 12202  ♯chash 14255  Word cword 14438  ⟨“cs3 14767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  30297