MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3sndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3sndisj 14852
Description: The singletons consisting of length 3 strings which have distinct third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3sndisj ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐

Proof of Theorem s3sndisj
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 865 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
3 s3cli 14770 . . . . . . . . . . . 12 ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
4 elex 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
5 elex 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑌𝐵 ∈ V)
64, 5anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 elex 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑𝑍𝑑 ∈ V)
87adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑍𝑑𝑍) → 𝑑 ∈ V)
96, 8anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
10 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V))
12 eqwrds3 14850 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
133, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
14 s3fv2 14782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ V → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐)
1514elv 3451 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐
16 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)
1715, 16eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)) → 𝑐 = 𝑑)
1913, 18syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → 𝑐 = 𝑑))
2019con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩))
2120imp 407 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
2221neqned 2950 . . . . . . 7 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
23 disjsn2 4673 . . . . . . 7 (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
2524olcd 872 . . . . 5 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2625ex 413 . . . 4 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
272, 26pm2.61i 182 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2827ralrimivva 3197 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ∀𝑐𝑍𝑑𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
29 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝐴 = 𝐴)
30 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
31 id 22 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝑐 = 𝑑)
3229, 30, 31s3eqd 14753 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
3332sneqd 4598 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩})
3433disjor 5085 . 2 (Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑐𝑍𝑑𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
3528, 34sylibr 233 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  c0 4282  {csn 4586  Disj wdisj 5070  cfv 6496  0cc0 11051  1c1 11052  2c2 12208  3c3 12209  chash 14230  Word cword 14402  ⟨“cs3 14731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738
This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  29279
  Copyright terms: Public domain W3C validator