MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3sndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3sndisj 14777
Description: The singletons consisting of length 3 strings which have distinct third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3sndisj ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐

Proof of Theorem s3sndisj
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 864 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
3 s3cli 14693 . . . . . . . . . . . 12 ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
4 elex 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
5 elex 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑌𝐵 ∈ V)
64, 5anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 elex 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑𝑍𝑑 ∈ V)
87adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑍𝑑𝑍) → 𝑑 ∈ V)
96, 8anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
10 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V))
12 eqwrds3 14775 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
133, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
14 s3fv2 14705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ V → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐)
1514elv 3447 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐
16 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)
1715, 16eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)) → 𝑐 = 𝑑)
1913, 18syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → 𝑐 = 𝑑))
2019con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩))
2120imp 407 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
2221neqned 2947 . . . . . . 7 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
23 disjsn2 4660 . . . . . . 7 (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
2524olcd 871 . . . . 5 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2625ex 413 . . . 4 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
272, 26pm2.61i 182 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2827ralrimivva 3193 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ∀𝑐𝑍𝑑𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
29 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝐴 = 𝐴)
30 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
31 id 22 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝑐 = 𝑑)
3229, 30, 31s3eqd 14676 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
3332sneqd 4585 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩})
3433disjor 5072 . 2 (Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑐𝑍𝑑𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
3528, 34sylibr 233 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3441  cin 3897  c0 4269  {csn 4573  Disj wdisj 5057  cfv 6479  0cc0 10972  1c1 10973  2c2 12129  3c3 12130  chash 14145  Word cword 14317  ⟨“cs3 14654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-s2 14660  df-s3 14661
This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  28987
  Copyright terms: Public domain W3C validator