Theorem s3sndisj 14086

Description: The singletons consisting of length 3 strings which have distinct third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
s3sndisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐

Proof of Theorem s3sndisj

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 900	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
3		s3cli 14003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
4		elex 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5		elex 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	anim12i 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7		elex 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑍 → 𝑑 ∈ V)
8	7	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍) → 𝑑 ∈ V)
9	6, 8	anim12i 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
10		df-3an 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
11	9, 10	sylibr 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V))
12		eqwrds3 14084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
13	3, 11, 12	sylancr 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
14		vex 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑐 ∈ V
15		s3fv2 14015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ V → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐
17		simp3 1174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)
18	16, 17	syl5eqr 2876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
19	18	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)) → 𝑐 = 𝑑)
20	13, 19	syl6bi 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → 𝑐 = 𝑑))
21	20	con3rr3 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩))
22	21	imp 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
23	22	neqned 3007	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
24		disjsn2 4467	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
26	25	olcd 907	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
27	26	ex 403	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
28	2, 27	pm2.61i 177	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
29	28	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ∀𝑐 ∈ 𝑍 ∀𝑑 ∈ 𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
30		eqidd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝐴 = 𝐴)
31		eqidd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝐵 = 𝐵)
32		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝑐 = 𝑑)
33	30, 31, 32	s3eqd 13986	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
34	33	sneqd 4410	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩})
35	34	disjor 4856	. 2 ⊢ (Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑍 ∀𝑑 ∈ 𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
36	29, 35	sylibr 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  Vcvv 3415   ∩ cin 3798  ∅c0 4145  {csn 4398  Disj wdisj 4842  ‘cfv 6124  0cc0 10253  1c1 10254  2c2 11407  3c3 11408  ♯chash 13411  Word cword 13575  ⟨“cs3 13964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  27717