Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3sndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3sndisj 14086
 Description: The singletons consisting of length 3 strings which have distinct third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3sndisj ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐

Proof of Theorem s3sndisj
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 900 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
3 s3cli 14003 . . . . . . . . . . . 12 ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
4 elex 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
5 elex 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑌𝐵 ∈ V)
64, 5anim12i 608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7 elex 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑𝑍𝑑 ∈ V)
87adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑍𝑑𝑍) → 𝑑 ∈ V)
96, 8anim12i 608 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
10 df-3an 1115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
119, 10sylibr 226 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V))
12 eqwrds3 14084 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
133, 11, 12sylancr 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
14 vex 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ∈ V
15 s3fv2 14015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ V → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐
17 simp3 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)
1816, 17syl5eqr 2876 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
1918adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)) → 𝑐 = 𝑑)
2013, 19syl6bi 245 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → 𝑐 = 𝑑))
2120con3rr3 153 . . . . . . . . 9 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩))
2221imp 397 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
2322neqned 3007 . . . . . . 7 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
24 disjsn2 4467 . . . . . . 7 (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
2625olcd 907 . . . . 5 ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍))) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2726ex 403 . . . 4 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
282, 27pm2.61i 177 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝑐𝑍𝑑𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2928ralrimivva 3181 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ∀𝑐𝑍𝑑𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
30 eqidd 2827 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝐴 = 𝐴)
31 eqidd 2827 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
32 id 22 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑𝑐 = 𝑑)
3330, 31, 32s3eqd 13986 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
3433sneqd 4410 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩})
3534disjor 4856 . 2 (Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑐𝑍𝑑𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
3629, 35sylibr 226 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → Disj 𝑐𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  Vcvv 3415   ∩ cin 3798  ∅c0 4145  {csn 4398  Disj wdisj 4842  ‘cfv 6124  0cc0 10253  1c1 10254  2c2 11407  3c3 11408  ♯chash 13411  Word cword 13575  ⟨“cs3 13964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971 This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  27717
 Copyright terms: Public domain W3C validator