Theorem s3sndisj 15003

Description: The singletons consisting of length 3 strings which have distinct third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
s3sndisj	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐

Proof of Theorem s3sndisj

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
3		s3cli 14917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
4		elex 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5		elex 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7		elex 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝑍 → 𝑑 ∈ V)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍) → 𝑑 ∈ V)
9	6, 8	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
10		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑑 ∈ V))
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V))
12		eqwrds3 14997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
13	3, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑))))
14		s3fv2 14929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ V → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐)
15	14	elv 3483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑐
16		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)
17	15, 16	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑑)) → 𝑐 = 𝑑)
19	13, 18	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → 𝑐 = 𝑑))
20	19	con3rr3 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩))
21	20	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ¬ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
22	21	neqned 2945	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
23		disjsn2 4717	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ ≠ ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩ → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)
25	24	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍))) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑐 = 𝑑 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅)))
27	2, 26	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ∧ (𝑐 ∈ 𝑍 ∧ 𝑑 ∈ 𝑍)) → (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
28	27	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ∀𝑐 ∈ 𝑍 ∀𝑑 ∈ 𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
29		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝐴 = 𝐴)
30		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝐵 = 𝐵)
31		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝑐 = 𝑑)
32	29, 30, 31	s3eqd 14900	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩)
33	32	sneqd 4643	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩})
34	33	disjor 5130	. 2 ⊢ (Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑍 ∀𝑑 ∈ 𝑍 (𝑐 = 𝑑 ∨ ({⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩} ∩ {⟨“𝐴𝐵𝑑”⟩}) = ∅))
35	28, 34	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → Disj 𝑐 ∈ 𝑍 {⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631  Disj wdisj 5115  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  3c3 12320  ♯chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs3 14878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885

This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  30364