Theorem setscom 16733

Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setscom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
setscom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
setscom	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 5877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴}))
2	1	uneq1i 4073	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	2	uneq1i 4073	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
4		un23 4082	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5	3, 4	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6		setsval 16720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7	6	ad2ant2r 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
8	7	reseq1d 5850	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})))
9		resundir 5866	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})))
10		setscom.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ V
11		elex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → 𝐶 ∈ V)
12	11	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ V)
13		opelxpi 5588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
14	10, 12, 13	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15		opex 5348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ V
16	15	relsn 5674	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
17	14, 16	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩})
18		dmsnopss 6077	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ {𝐴}
19		disjsn2 4628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
20	19	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
21		disj2 4372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
23	18, 22	sstrid 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
24		relssres 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵})) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
25	17, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
26	25	uneq2d 4077	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
27	9, 26	syl5eq 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
28	8, 27	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
29	28	uneq1d 4076	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
30		setsval 16720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
31	30	reseq1d 5850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
32	31	ad2ant2rl 749	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
33		resundir 5866	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
34		setscom.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		elex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑋 → 𝐷 ∈ V)
36	35	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ V)
37		opelxpi 5588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
38	34, 36, 37	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
39		opex 5348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ V
40	39	relsn 5674	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
41	38, 40	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩})
42		dmsnopss 6077	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐵}
43		ssv 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴} ⊆ V
44		ssv 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐵} ⊆ V
45		ssconb 4052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴} ⊆ V ∧ {𝐵} ⊆ V) → ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴})))
46	43, 44, 45	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
47	22, 46	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
48	42, 47	sstrid 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
49		relssres 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴})) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
50	41, 48, 49	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
51	50	uneq2d 4077	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
52	33, 51	syl5eq 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
53	32, 52	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
54	53	uneq1d 4076	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
55	5, 29, 54	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
56		ovex 7246	. . 3 ⊢ (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V
57		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
58		setsval 16720	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
59	56, 57, 58	sylancr 590	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
60		ovex 7246	. . 3 ⊢ (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V
61		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑊)
62		setsval 16720	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
63	60, 61, 62	sylancr 590	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
64	55, 59, 63	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  {csn 4541  ⟨cop 4547   × cxp 5549  dom cdm 5551   ↾ cres 5553  Rel wrel 5556  (class class class)co 7213   sSet csts 16716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-res 5563  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-sets 16717

This theorem is referenced by:  rescabs  17339  mgpress  19515