MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setscom 16356
Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setscom.1 𝐴 ∈ V
setscom.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
setscom (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setscom
StepHypRef Expression
1 rescom 5760 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴}))
21uneq1i 4056 . . . . 5 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
32uneq1i 4056 . . . 4 ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
4 un23 4065 . . . 4 ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
53, 4eqtri 2819 . . 3 ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
6 setsval 16342 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝐶𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
76ad2ant2r 743 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
87reseq1d 5733 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})))
9 resundir 5749 . . . . . 6 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})))
10 setscom.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
11 elex 3455 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑊𝐶 ∈ V)
1211ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐶 ∈ V)
13 opelxpi 5480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
1410, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
15 opex 5248 . . . . . . . . . 10 𝐴, 𝐶⟩ ∈ V
1615relsn 5563 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∈ (V × V))
1714, 16sylibr 235 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩})
18 dmsnopss 5946 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ {𝐴}
19 disjsn2 4555 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2019ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
21 disj2 4321 . . . . . . . . . 10 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
2220, 21sylib 219 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → {𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
2318, 22syl5ss 3900 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵}))
24 relssres 5774 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ⊆ (V ∖ {𝐵})) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2517, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2625uneq2d 4060 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ↾ (V ∖ {𝐵}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
279, 26syl5eq 2843 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
288, 27eqtrd 2831 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2928uneq1d 4059 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
30 setsval 16342 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝐷𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
3130reseq1d 5733 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐷𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
3231ad2ant2rl 745 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
33 resundir 5749 . . . . . 6 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
34 setscom.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
35 elex 3455 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑋𝐷 ∈ V)
3635ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐷 ∈ V)
37 opelxpi 5480 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
3834, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
39 opex 5248 . . . . . . . . . 10 𝐵, 𝐷⟩ ∈ V
4039relsn 5563 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩ ∈ (V × V))
4138, 40sylibr 235 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩})
42 dmsnopss 5946 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ {𝐵}
43 ssv 3912 . . . . . . . . . . 11 {𝐴} ⊆ V
44 ssv 3912 . . . . . . . . . . 11 {𝐵} ⊆ V
45 ssconb 4035 . . . . . . . . . . 11 (({𝐴} ⊆ V ∧ {𝐵} ⊆ V) → ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴})))
4643, 44, 45mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ({𝐴} ⊆ (V ∖ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
4722, 46sylib 219 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → {𝐵} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
4842, 47syl5ss 3900 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴}))
49 relssres 5774 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} ⊆ (V ∖ {𝐴})) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
5041, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = {⟨𝐵, 𝐷⟩})
5150uneq2d 4060 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
5233, 51syl5eq 2843 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
5332, 52eqtrd 2831 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
5453uneq1d 4059 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐵})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
555, 29, 543eqtr4a 2857 . 2 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
56 ovex 7048 . . 3 (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V
57 simprr 769 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐷𝑋)
58 setsval 16342 . . 3 (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∈ V ∧ 𝐷𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
5956, 57, 58sylancr 587 . 2 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐵})) ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
60 ovex 7048 . . 3 (𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V
61 simprl 767 . . 3 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → 𝐶𝑊)
62 setsval 16342 . . 3 (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
6360, 61, 62sylancr 587 . 2 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
6455, 59, 633eqtr4d 2841 1 (((𝑆𝑉𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑊𝐷𝑋)) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) = ((𝑆 sSet ⟨𝐵, 𝐷⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  cdif 3856  cun 3857  cin 3858  wss 3859  c0 4211  {csn 4472  cop 4478   × cxp 5441  dom cdm 5443  cres 5445  Rel wrel 5448  (class class class)co 7016   sSet csts 16310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-res 5455  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-sets 16319
This theorem is referenced by:  rescabs  16932  mgpress  18940
  Copyright terms: Public domain W3C validator