Theorem esumpr 33685

Description: Extended sum over a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpr.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
esumpr.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
esumpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpr.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumpr	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4632	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		esumeq1 33653	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
4		nfv 1910	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘{𝐴}
6		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘{𝐵}
7		snex 5433	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
9		snex 5433	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
11		esumpr.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		disjsn2 4717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
14		elsni 4646	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
15		esumpr.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
16	14, 15	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐷)
17		esumpr.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
19	16, 18	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
20		elsni 4646	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
21		esumpr.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
22	20, 21	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐸)
23		esumpr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
25	22, 24	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26	4, 5, 6, 8, 10, 13, 19, 25	esumsplit 33672	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27		esumpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28	15, 27, 17	esumsn 33684	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
29		esumpr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
30	21, 29, 23	esumsn 33684	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
31	28, 30	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
32	3, 26, 31	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  Vcvv 3471   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  (class class class)co 7420  0cc0 11139  +∞cpnf 11276   +_𝑒 cxad 13123  [,]cicc 13360  Σ^*cesum 33646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-ordt 17483  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-ps 18558  df-tsr 18559  df-plusf 18599  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-scaf 20746  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-tsms 24044  df-trg 24077  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-esum 33647

This theorem is referenced by:  esumpr2  33686  carsgsigalem  33935  pmeasmono  33944  probun  34039