Theorem esumpr 34056

Description: Extended sum over a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpr.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
esumpr.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
esumpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpr.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumpr	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4592	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		esumeq1 34024	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
4		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘{𝐴}
6		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘{𝐵}
7		snex 5391	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
9		snex 5391	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
11		esumpr.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		disjsn2 4676	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
14		elsni 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
15		esumpr.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
16	14, 15	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐷)
17		esumpr.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
19	16, 18	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
20		elsni 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
21		esumpr.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
22	20, 21	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐸)
23		esumpr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
25	22, 24	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26	4, 5, 6, 8, 10, 13, 19, 25	esumsplit 34043	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27		esumpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28	15, 27, 17	esumsn 34055	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
29		esumpr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
30	21, 29, 23	esumsn 34055	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
31	28, 30	oveq12d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
32	3, 26, 31	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  (class class class)co 7387  0cc0 11068  +∞cpnf 11205   +_𝑒 cxad 13070  [,]cicc 13309  Σ^*cesum 34017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-ordt 17464  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-ps 18525  df-tsr 18526  df-plusf 18566  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-abv 20718  df-lmod 20768  df-scaf 20769  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-tmd 23959  df-tgp 23960  df-tsms 24014  df-trg 24047  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-nm 24470  df-ngp 24471  df-nrg 24473  df-nlm 24474  df-ii 24770  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-esum 34018

This theorem is referenced by:  esumpr2  34057  carsgsigalem  34306  pmeasmono  34315  probun  34410