Theorem esumpr 34364

Description: Extended sum over a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpr.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
esumpr.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
esumpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpr.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpr.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esumpr	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4586	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		esumeq1 34332	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶)
4		nfv 1935	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘{𝐴}
6		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘{𝐵}
7		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
9		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
11		esumpr.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		disjsn2 4672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
14		elsni 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
15		esumpr.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
16	14, 15	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 = 𝐷)
17		esumpr.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
18	17	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
19	16, 18	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
20		elsni 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
21		esumpr.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
22	20, 21	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐸)
23		esumpr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
24	23	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
25	22, 24	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26	4, 5, 6, 8, 10, 13, 19, 25	esumsplit 34351	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27		esumpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28	15, 27, 17	esumsn 34363	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
29		esumpr.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
30	21, 29, 23	esumsn 34363	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
31	28, 30	oveq12d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
32	3, 26, 31	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {csn 4583  {cpr 4585  (class class class)co 7397  0cc0 11074  +∞cpnf 11214   +_𝑒 cxad 13113  [,]cicc 13353  Σ^*cesum 34325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-fi 9358  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288  df-bc 14317  df-hash 14345  df-shft 15081  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-limsup 15499  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-sum 15715  df-ef 16098  df-sin 16100  df-cos 16101  df-pi 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17452  df-topn 17453  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-topgen 17473  df-pt 17474  df-prds 17477  df-ordt 17532  df-xrs 17533  df-qtop 17538  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-ps 18599  df-tsr 18600  df-plusf 18674  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-abv 20859  df-lmod 20930  df-scaf 20931  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-fbas 21422  df-fg 21423  df-cnfld 21426  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-cld 23080  df-ntr 23081  df-cls 23082  df-nei 23159  df-lp 23197  df-perf 23198  df-cn 23288  df-cnp 23289  df-haus 23376  df-tx 23623  df-hmeo 23816  df-fil 23907  df-fm 23999  df-flim 24000  df-flf 24001  df-tmd 24133  df-tgp 24134  df-tsms 24188  df-trg 24221  df-xms 24381  df-ms 24382  df-tms 24383  df-nm 24643  df-ngp 24644  df-nrg 24646  df-nlm 24647  df-ii 24940  df-cncf 24941  df-limc 25929  df-dv 25930  df-log 26622  df-esum 34326

This theorem is referenced by:  esumpr2  34365  carsgsigalem  34613  pmeasmono  34622  probun  34717