Theorem esum2dlem 34774

Description: Lemma for esum2d 34775 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
esum2d.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
esum2d.1	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esum2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
esum2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esum2dlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
esum2dlem	⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑧, 𝑘)   𝑉(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2dlem

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑡 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumeq1 34716	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
2		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = ∅
3		iuneq1 4967	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
4	2, 3	esumeq1d 34717	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
5	1, 4	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
6		esumeq1 34716	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
7		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = 𝑏
8		iuneq1 4967	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵))
9	7, 8	esumeq1d 34717	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
10	6, 9	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
11		esumeq1 34716	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
12		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙})
13		iuneq1 4967	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵))
14	12, 13	esumeq1d 34717	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
15	11, 14	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
16		esumeq1 34716	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
17		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = 𝐴
18		iuneq1 4967	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
19	17, 18	esumeq1d 34717	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
20	16, 19	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
21		esumnul 34730	. . . 4 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹 = 0
22		0iun 5020	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
23		esumeq1 34716	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅ → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹
25		esumnul 34730	. . . 4 ⊢ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = 0
26	21, 24, 25	3eqtr4ri 2794	. . 3 ⊢ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
28		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
29		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵
30		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
31	29, 30	nfesum2 34723	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
32		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
33		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝐶 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
34	32, 33	esumeq12d 34715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
35	34	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 = 𝑙) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
36		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
37	36	eldifad 4050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑙 ∈ 𝐴)
38		esum2d.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
39	38	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
40	39	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
41		rspcsbela 4395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊)
42	37, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊)
43		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝜑)
44	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑙 ∈ 𝐴)
45		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
46		esum2d.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
47	46	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
48	47	sbcimdv 3806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → [𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
49		sbcan 3787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ∧ [𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵))
50		sbcel1v 3803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴)
51		sbcel2 4375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
52	50, 51	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ∧ [𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
53	49, 52	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
54		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
55		sbcel1g 4373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
57	48, 53, 56	3imtr3g 298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
58	57	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
59	43, 44, 45, 58	syl12anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
60	59	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
61		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵
62	61	esumcl 34712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
63	42, 60, 62	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
64	31, 35, 36, 63	esumsnf 34746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
65		esum2d.0	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
66		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
67		nfv 1946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩
68	30	nfeq2 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
69	67, 68	nfim 1928	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
70		opeq1 4839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
71	70	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
72	33	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 = 𝐶 ↔ 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶))
73	71, 72	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶) ↔ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)))
74		esum2d.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
75	69, 73, 74	chvarfv 2276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
76		vsnid 4620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑗 ∈ {𝑗}
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ {𝑗})
78		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
79	77, 78	opelxpd 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
80		xp2nd 8038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝐵)
81		xp1st 8037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st ‘𝑧) ∈ {𝑗})
82		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1st ‘𝑧) ∈ V
83	82	elsn 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1st ‘𝑧) ∈ {𝑗} ↔ (1st ‘𝑧) = 𝑗)
84	81, 83	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st ‘𝑧) = 𝑗)
85		eqop 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ ((1st ‘𝑧) = 𝑗 ∧ (2nd ‘𝑧) = 𝑘)))
86	84, 85	mpbirand 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ (2nd ‘𝑧) = 𝑘))
87		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘𝑧) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧))
88	86, 87	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
89	88	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
90	89	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ 𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
91		reu6i 3685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2nd ‘𝑧) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧))) → ∃!𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
92	80, 90, 91	syl2an2 699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃!𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
93	79, 92	f1mptrn 33280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩))
94	93	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
95	94	sbcimdv 3806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 → [𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
96		sbcfung 6568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
97		csbcnv 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ◡⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)
98		csbmpt12 5532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩))
99		csbopg 4850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗, ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘⟩)
100		csbvarg 4391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗 = 𝑙)
101		csbconstg 3866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘 = 𝑘)
102	100, 101	opeq12d 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⟨⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗, ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
103	99, 102	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
104	103	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ V → (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
105	98, 104	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
106	105	cnveqd 5854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ V → ◡⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
107	97, 106	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
108	107	funeqd 6566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → (Fun ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
109	96, 108	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
110	54, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
111	95, 50, 110	3imtr3g 298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ 𝐴 → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
112	111	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
113	37, 112	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
114		vsnid 4620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 ∈ {𝑙}
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑙 ∈ {𝑙})
116	115, 45	opelxpd 5690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⟨𝑙, 𝑘⟩ ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
117	65, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116	esumc 34733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 = Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹)
118		nfab1 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}
119		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
120		opeq1 4839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → ⟨𝑖, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
121	120	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ 𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
122	121	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
123	54, 122	rexsn 4639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
124		elxp2 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩)
125		abid 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
126	123, 124, 125	3bitr4ri 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ 𝑡 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
127	118, 119, 126	eqri 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
128		esumeq1 34716	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
129	127, 128	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹
130	117, 129	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
131	64, 130	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
132	131	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
133	28, 132	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +e Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶) = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +e Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
134		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
135		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑏
136		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑙}
137		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
139		vsnex 5393	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙} ∈ V
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → {𝑙} ∈ V)
141	36	eldifbd 4051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
142		disjsn 4668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅ ↔ ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
143	141, 142	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅)
144		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝜑)
145		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
146	145	sselda 3909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ∈ 𝐴)
147	46	anassrs 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148	147	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
150	149	esumcl 34712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
151	38, 148, 150	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
152	144, 146, 151	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝜑)
154	37	snssd 4743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → {𝑙} ⊆ 𝐴)
155	154	sselda 3909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝑗 ∈ 𝐴)
156	153, 155, 151	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
157	134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156	esumsplit 34735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +e Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))
158	157	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +e Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))
159		iunxun 5053	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵))
160	136, 29	nfxp 5684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
161		sneq 4590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → {𝑗} = {𝑙})
162	161, 32	xpeq12d 5682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
163	160, 162	iunxsngf 5051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ V → ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
164	54, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
165	164	uneq2i 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵)) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
166	159, 165	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
167		esumeq1 34716	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹)
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹
169		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
170		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)
171		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
172		vsnex 5393	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑗} ∈ V
173	146, 39	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑊)
174		xpexg 7768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
175	172, 173, 174	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
176	175	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
177		iunexg 7979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
178	137, 176, 177	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
179		xpexg 7768	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑙} ∈ V ∧ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ∈ V)
180	139, 42, 179	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ∈ V)
181		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ∈ 𝑏)
182	141	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
183		nelne2 3053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑗 ≠ 𝑙)
184	181, 182, 183	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ≠ 𝑙)
185		disjsn2 4669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ≠ 𝑙 → ({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅)
186		xpdisj1 6154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅ → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
187	184, 185, 186	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
188	187	iuneq2dv 4975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ∅)
189	160	iunin1f 33203	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
190		iun0 5019	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ∅ = ∅
191	188, 189, 190	3eqtr3g 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
192		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝜑)
193		iunss1 4965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
194	145, 193	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
195	194	sselda 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
196		nfv 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
197		nfiu1 4985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
198	197	nfcri 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
199	196, 198	nfan 1931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
200		nfv 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
201		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
202	65, 201	nfel 2936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
203	74	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
204		simp-5l 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
205		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗 ∈ 𝐴)
206		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘 ∈ 𝐵)
207	204, 205, 206, 46	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
208	203, 207	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
209		elsnxp 6297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
210	209	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
211	210	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
212	200, 202, 208, 211	r19.29af2 3270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
213		eliun 4954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
214	213	bilani 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
215	199, 212, 214	r19.29af 3271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
216	192, 195, 215	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
217		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝜑)
218		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
219		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
220	218, 219, 160, 162	ssiun2sf 33205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
221	37, 220	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
222	221	sselda 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
223	217, 222, 215	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
224	169, 170, 171, 178, 180, 191, 216, 223	esumsplit 34735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +e Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
225	168, 224	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +e Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
226	225	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +e Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
227	133, 158, 226	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
228	227	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
229		esum2dlem.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
230	5, 10, 15, 20, 27, 228, 229	findcard2d 9190	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  Vcvv 3450  [wsbc 3738  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ ciun 4950   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1^st c1st 8003  2^nd c2nd 8004  Fincfn 8981  0cc0 11207  +∞cpnf 11347   +_e cxad 13246  [,]cicc 13486  Σ^*cesum 34709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-plusf 18824  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-abv 21075  df-lmod 21146  df-scaf 21147  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tmd 24400  df-tgp 24401  df-tsms 24455  df-trg 24488  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-nm 24910  df-ngp 24911  df-nrg 24913  df-nlm 24914  df-ii 25207  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-esum 34710

This theorem is used by:  esum2d  34775