Theorem esum2dlem 34255

Description: Lemma for esum2d 34256 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
esum2d.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
esum2d.1	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esum2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
esum2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esum2dlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
esum2dlem	⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2dlem

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑡 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumeq1 34197	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
2		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = ∅
3		iuneq1 4951	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
4	2, 3	esumeq1d 34198	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
5	1, 4	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
6		esumeq1 34197	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
7		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = 𝑏
8		iuneq1 4951	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵))
9	7, 8	esumeq1d 34198	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
10	6, 9	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
11		esumeq1 34197	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
12		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙})
13		iuneq1 4951	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵))
14	12, 13	esumeq1d 34198	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
15	11, 14	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
16		esumeq1 34197	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
17		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = 𝐴
18		iuneq1 4951	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
19	17, 18	esumeq1d 34198	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
20	16, 19	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
21		esumnul 34211	. . . 4 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹 = 0
22		0iun 5006	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
23		esumeq1 34197	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅ → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹
25		esumnul 34211	. . . 4 ⊢ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = 0
26	21, 24, 25	3eqtr4ri 2771	. . 3 ⊢ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
28		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
29		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵
30		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
31	29, 30	nfesum2 34204	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
32		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
33		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝐶 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
34	32, 33	esumeq12d 34196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 = 𝑙) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
36		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
37	36	eldifad 3902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑙 ∈ 𝐴)
38		esum2d.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
39	38	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
40	39	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
41		rspcsbela 4379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊)
42	37, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊)
43		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝜑)
44	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑙 ∈ 𝐴)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
46		esum2d.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
47	46	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
48	47	sbcimdv 3798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → [𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
49		sbcan 3779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ∧ [𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵))
50		sbcel1v 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴)
51		sbcel2 4359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
52	50, 51	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ∧ [𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
53	49, 52	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
54		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
55		sbcel1g 4357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
57	48, 53, 56	3imtr3g 295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
58	57	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
59	43, 44, 45, 58	syl12anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
60	59	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
61		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵
62	61	esumcl 34193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
63	42, 60, 62	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
64	31, 35, 36, 63	esumsnf 34227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
65		esum2d.0	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
66		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
67		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩
68	30	nfeq2 2917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
69	67, 68	nfim 1898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
70		opeq1 4817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
71	70	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
72	33	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 = 𝐶 ↔ 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶))
73	71, 72	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶) ↔ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)))
74		esum2d.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
75	69, 73, 74	chvarfv 2248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
76		vsnid 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑗 ∈ {𝑗}
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ {𝑗})
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
79	77, 78	opelxpd 5664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
80		xp2nd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝐵)
81		xp1st 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st ‘𝑧) ∈ {𝑗})
82		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1st ‘𝑧) ∈ V
83	82	elsn 4583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1st ‘𝑧) ∈ {𝑗} ↔ (1st ‘𝑧) = 𝑗)
84	81, 83	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st ‘𝑧) = 𝑗)
85		eqop 7978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ ((1st ‘𝑧) = 𝑗 ∧ (2nd ‘𝑧) = 𝑘)))
86	84, 85	mpbirand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ (2nd ‘𝑧) = 𝑘))
87		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘𝑧) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧))
88	86, 87	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
89	88	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
90	89	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ 𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
91		reu6i 3675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2nd ‘𝑧) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧))) → ∃!𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
92	80, 90, 91	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃!𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
93	79, 92	f1mptrn 32726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩))
94	93	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
95	94	sbcimdv 3798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 → [𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
96		sbcfung 6517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
97		csbcnv 5833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ◡⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)
98		csbmpt12 5506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩))
99		csbopg 4835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗, ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘⟩)
100		csbvarg 4375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗 = 𝑙)
101		csbconstg 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘 = 𝑘)
102	100, 101	opeq12d 4825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⟨⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗, ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
103	99, 102	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
104	103	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ V → (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
105	98, 104	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
106	105	cnveqd 5825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ V → ◡⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
107	97, 106	eqtr3id 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
108	107	funeqd 6515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → (Fun ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
109	96, 108	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
110	54, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
111	95, 50, 110	3imtr3g 295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ 𝐴 → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
112	111	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
113	37, 112	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
114		vsnid 4608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 ∈ {𝑙}
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑙 ∈ {𝑙})
116	115, 45	opelxpd 5664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⟨𝑙, 𝑘⟩ ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
117	65, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116	esumc 34214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 = Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹)
118		nfab1 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}
119		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
120		opeq1 4817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → ⟨𝑖, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
121	120	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ 𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
122	121	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
123	54, 122	rexsn 4627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
124		elxp2 5649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩)
125		abid 2719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
126	123, 124, 125	3bitr4ri 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ 𝑡 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
127	118, 119, 126	eqri 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
128		esumeq1 34197	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
129	127, 128	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹
130	117, 129	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
131	64, 130	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
132	131	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
133	28, 132	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶) = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
134		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
135		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑏
136		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑙}
137		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
139		vsnex 5373	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙} ∈ V
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → {𝑙} ∈ V)
141	36	eldifbd 3903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
142		disjsn 4656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅ ↔ ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
143	141, 142	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅)
144		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝜑)
145		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
146	145	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ∈ 𝐴)
147	46	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148	147	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
150	149	esumcl 34193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
151	38, 148, 150	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
152	144, 146, 151	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝜑)
154	37	snssd 4753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → {𝑙} ⊆ 𝐴)
155	154	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝑗 ∈ 𝐴)
156	153, 155, 151	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
157	134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156	esumsplit 34216	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))
158	157	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))
159		iunxun 5037	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵))
160	136, 29	nfxp 5658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
161		sneq 4578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → {𝑗} = {𝑙})
162	161, 32	xpeq12d 5656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
163	160, 162	iunxsngf 5035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ V → ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
164	54, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
165	164	uneq2i 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵)) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
166	159, 165	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
167		esumeq1 34197	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹)
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹
169		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
170		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)
171		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
172		vsnex 5373	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑗} ∈ V
173	146, 39	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑊)
174		xpexg 7698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
175	172, 173, 174	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
176	175	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
177		iunexg 7910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
178	137, 176, 177	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
179		xpexg 7698	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑙} ∈ V ∧ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ∈ V)
180	139, 42, 179	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ∈ V)
181		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ∈ 𝑏)
182	141	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
183		nelne2 3031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑗 ≠ 𝑙)
184	181, 182, 183	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ≠ 𝑙)
185		disjsn2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ≠ 𝑙 → ({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅)
186		xpdisj1 6120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅ → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
187	184, 185, 186	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
188	187	iuneq2dv 4959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ∅)
189	160	iunin1f 32645	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
190		iun0 5005	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ∅ = ∅
191	188, 189, 190	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
192		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝜑)
193		iunss1 4949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
194	145, 193	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
195	194	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
196		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
197		nfiu1 4970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
198	197	nfcri 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
199	196, 198	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
200		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
201		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
202	65, 201	nfel 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
203	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
204		simp-5l 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
205		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗 ∈ 𝐴)
206		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘 ∈ 𝐵)
207	204, 205, 206, 46	syl12anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
208	203, 207	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
209		elsnxp 6250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
210	209	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
211	210	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
212	200, 202, 208, 211	r19.29af2 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
213		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
214		eliun 4938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
215	213, 214	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
216	199, 212, 215	r19.29af 3247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
217	192, 195, 216	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
218		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝜑)
219		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
220		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
221	219, 220, 160, 162	ssiun2sf 32647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
222	37, 221	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
223	222	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
224	218, 223, 216	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
225	169, 170, 171, 178, 180, 191, 217, 224	esumsplit 34216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
226	168, 225	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
227	226	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
228	133, 158, 227	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
229	228	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
230		esum2dlem.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
231	5, 10, 15, 20, 27, 229, 230	findcard2d 9095	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  Vcvv 3430  [wsbc 3729  ⦋csb 3838   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1^st c1st 7934  2^nd c2nd 7935  Fincfn 8887  0cc0 11032  +∞cpnf 11170   +_𝑒 cxad 13055  [,]cicc 13295  Σ^*cesum 34190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-ordt 17459  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-ps 18526  df-tsr 18527  df-plusf 18601  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-abv 20780  df-lmod 20851  df-scaf 20852  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-tmd 24050  df-tgp 24051  df-tsms 24105  df-trg 24138  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-nm 24560  df-ngp 24561  df-nrg 24563  df-nlm 24564  df-ii 24857  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-esum 34191

This theorem is referenced by:  esum2d  34256