Theorem esum2dlem 34072

Description: Lemma for esum2d 34073 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
esum2d.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
esum2d.1	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esum2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
esum2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esum2dlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
esum2dlem	⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2dlem

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑡 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumeq1 34014	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
2		nfv 1911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = ∅
3		iuneq1 5012	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
4	2, 3	esumeq1d 34015	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
5	1, 4	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝑎 = ∅ → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
6		esumeq1 34014	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
7		nfv 1911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = 𝑏
8		iuneq1 5012	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵))
9	7, 8	esumeq1d 34015	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
10	6, 9	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
11		esumeq1 34014	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
12		nfv 1911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙})
13		iuneq1 5012	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵))
14	12, 13	esumeq1d 34015	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
15	11, 14	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
16		esumeq1 34014	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)
17		nfv 1911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 = 𝐴
18		iuneq1 5012	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
19	17, 18	esumeq1d 34015	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
20	16, 19	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (Σ*𝑗 ∈ 𝑎Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
21		esumnul 34028	. . . 4 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹 = 0
22		0iun 5067	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
23		esumeq1 34014	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅ → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹
25		esumnul 34028	. . . 4 ⊢ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = 0
26	21, 24, 25	3eqtr4ri 2773	. . 3 ⊢ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
28		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
29		nfcsb1v 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵
30		nfcsb1v 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
31	29, 30	nfesum2 34021	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
32		csbeq1a 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
33		csbeq1a 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝐶 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
34	32, 33	esumeq12d 34013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 = 𝑙) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
36		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
37	36	eldifad 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑙 ∈ 𝐴)
38		esum2d.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
39	38	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
40	39	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
41		rspcsbela 4443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊)
42	37, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊)
43		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝜑)
44	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑙 ∈ 𝐴)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
46		esum2d.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
47	46	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
48	47	sbcimdv 3864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → [𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
49		sbcan 3843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ∧ [𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵))
50		sbcel1v 3861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴)
51		sbcel2 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
52	50, 51	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 ∧ [𝑙 / 𝑗]𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
53	49, 52	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑙 / 𝑗](𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
54		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
55		sbcel1g 4421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
57	48, 53, 56	3imtr3g 295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
58	57	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
59	43, 44, 45, 58	syl12anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
60	59	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
61		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵
62	61	esumcl 34010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
63	42, 60, 62	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
64	31, 35, 36, 63	esumsnf 34044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
65		esum2d.0	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
66		nfv 1911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
67		nfv 1911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩
68	30	nfeq2 2920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶
69	67, 68	nfim 1893	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
70		opeq1 4877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
71	70	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
72	33	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 = 𝐶 ↔ 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶))
73	71, 72	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶) ↔ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)))
74		esum2d.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
75	69, 73, 74	chvarfv 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶)
76		vsnid 4667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑗 ∈ {𝑗}
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ {𝑗})
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
79	77, 78	opelxpd 5727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
80		xp2nd 8045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (2nd ‘𝑧) ∈ 𝐵)
81		xp1st 8044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st ‘𝑧) ∈ {𝑗})
82		fvex 6919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1st ‘𝑧) ∈ V
83	82	elsn 4645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1st ‘𝑧) ∈ {𝑗} ↔ (1st ‘𝑧) = 𝑗)
84	81, 83	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st ‘𝑧) = 𝑗)
85		eqop 8054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ ((1st ‘𝑧) = 𝑗 ∧ (2nd ‘𝑧) = 𝑘)))
86	84, 85	mpbirand 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ (2nd ‘𝑧) = 𝑘))
87		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2nd ‘𝑧) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧))
88	86, 87	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
89	88	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
90	89	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ 𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧)))
91		reu6i 3736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2nd ‘𝑧) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd ‘𝑧))) → ∃!𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
92	80, 90, 91	syl2an2 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃!𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
93	79, 92	f1mptrn 32651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩))
94	93	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
95	94	sbcimdv 3864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗]𝑗 ∈ 𝐴 → [𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
96		sbcfung 6591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
97		csbcnv 5896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ◡⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)
98		csbmpt12 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩))
99		csbopg 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗, ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘⟩)
100		csbvarg 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗 = 𝑙)
101		csbconstg 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘 = 𝑘)
102	100, 101	opeq12d 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⟨⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑗, ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
103	99, 102	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
104	103	mpteq2dv 5249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ V → (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⦋𝑙 / 𝑗⦌⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
105	98, 104	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
106	105	cnveqd 5888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 ∈ V → ◡⦋𝑙 / 𝑗⦌(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
107	97, 106	eqtr3id 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ V → ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
108	107	funeqd 6589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ V → (Fun ⦋𝑙 / 𝑗⦌◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
109	96, 108	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
110	54, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑙 / 𝑗]Fun ◡(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
111	95, 50, 110	3imtr3g 295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ 𝐴 → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
112	111	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
113	37, 112	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Fun ◡(𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
114		vsnid 4667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 ∈ {𝑙}
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → 𝑙 ∈ {𝑙})
116	115, 45	opelxpd 5727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → ⟨𝑙, 𝑘⟩ ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
117	65, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116	esumc 34031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 = Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹)
118		nfab1 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}
119		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
120		opeq1 4877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → ⟨𝑖, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
121	120	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ 𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
122	121	rexbidv 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
123	54, 122	rexsn 4686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
124		elxp2 5712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩)
125		abid 2715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
126	123, 124, 125	3bitr4ri 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ 𝑡 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
127	118, 119, 126	eqri 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
128		esumeq1 34014	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) → Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
129	127, 128	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 ∈ ⦋ 𝑙 / 𝑗⦌𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹
130	117, 129	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑘 ∈ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
131	64, 130	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
132	131	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹)
133	28, 132	oveq12d 7448	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶) = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
134		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
135		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑏
136		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑙}
137		vex 3481	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
139		vsnex 5439	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙} ∈ V
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → {𝑙} ∈ V)
141	36	eldifbd 3975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
142		disjsn 4715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅ ↔ ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
143	141, 142	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅)
144		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝜑)
145		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
146	145	sselda 3994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ∈ 𝐴)
147	46	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148	147	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
150	149	esumcl 34010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
151	38, 148, 150	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
152	144, 146, 151	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝜑)
154	37	snssd 4813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → {𝑙} ⊆ 𝐴)
155	154	sselda 3994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝑗 ∈ 𝐴)
156	153, 155, 151	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
157	134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156	esumsplit 34033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))
158	157	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙}Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶))
159		iunxun 5098	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵))
160	136, 29	nfxp 5721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
161		sneq 4640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → {𝑗} = {𝑙})
162	161, 32	xpeq12d 5719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
163	160, 162	iunxsngf 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ V → ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
164	54, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
165	164	uneq2i 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵)) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
166	159, 165	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
167		esumeq1 34014	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹)
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹
169		nfv 1911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)))
170		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)
171		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)
172		vsnex 5439	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑗} ∈ V
173	146, 39	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑊)
174		xpexg 7768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
175	172, 173, 174	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
176	175	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∀𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
177		iunexg 7986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
178	137, 176, 177	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
179		xpexg 7768	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑙} ∈ V ∧ ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ∈ V)
180	139, 42, 179	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ∈ V)
181		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ∈ 𝑏)
182	141	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → ¬ 𝑙 ∈ 𝑏)
183		nelne2 3037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑗 ≠ 𝑙)
184	181, 182, 183	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → 𝑗 ≠ 𝑙)
185		disjsn2 4716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ≠ 𝑙 → ({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅)
186		xpdisj1 6182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅ → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
187	184, 185, 186	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑏) → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
188	187	iuneq2dv 5020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ∅)
189	160	iunin1f 32577	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))
190		iun0 5066	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ∅ = ∅
191	188, 189, 190	3eqtr3g 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) = ∅)
192		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝜑)
193		iunss1 5010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
194	145, 193	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
195	194	sselda 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
196		nfv 1911	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
197		nfiu1 5031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
198	197	nfcri 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
199	196, 198	nfan 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
200		nfv 1911	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
201		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
202	65, 201	nfel 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
203	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
204		simp-5l 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
205		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗 ∈ 𝐴)
206		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘 ∈ 𝐵)
207	204, 205, 206, 46	syl12anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
208	203, 207	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
209		elsnxp 6312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
210	209	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
211	210	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
212	200, 202, 208, 211	r19.29af2 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
213		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
214		eliun 4999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
215	213, 214	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
216	199, 212, 215	r19.29af 3265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
217	192, 195, 216	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
218		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝜑)
219		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
220		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
221	219, 220, 160, 162	ssiun2sf 32579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐴 → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
222	37, 221	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
223	222	sselda 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
224	218, 223, 216	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
225	169, 170, 171, 178, 180, 191, 217, 224	esumsplit 34033	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵))𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
226	168, 225	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
227	226	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × ⦋𝑙 / 𝑗⦌𝐵)𝐹))
228	133, 158, 227	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) ∧ Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
229	228	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → (Σ*𝑗 ∈ 𝑏Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
230		esum2dlem.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
231	5, 10, 15, 20, 27, 229, 230	findcard2d 9204	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ 𝐴Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cab 2711  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ∃!wreu 3375  Vcvv 3477  [wsbc 3790  ⦋csb 3907   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630  ⟨cop 4636  ∪ ciun 4995   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  ^◡ccnv 5687  Fun wfun 6556  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1^st c1st 8010  2^nd c2nd 8011  Fincfn 8983  0cc0 11152  +∞cpnf 11289   +_𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  Σ^*cesum 34007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-abv 20826  df-lmod 20876  df-scaf 20877  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tmd 24095  df-tgp 24096  df-tsms 24150  df-trg 24183  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nrg 24613  df-nlm 24614  df-ii 24916  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-esum 34008

This theorem is referenced by:  esum2d  34073