Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum2dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum2dlem 32691
Description: Lemma for esum2d 32692 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0 𝑘𝐹
esum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2 (𝜑𝐴𝑉)
esum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
esum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esum2dlem.e (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
esum2dlem (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2dlem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑡 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumeq1 32633 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶)
2 nfv 1917 . . . 4 𝑧 𝑎 = ∅
3 iuneq1 4970 . . . 4 (𝑎 = ∅ → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
42, 3esumeq1d 32634 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
51, 4eqeq12d 2752 . 2 (𝑎 = ∅ → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
6 esumeq1 32633 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶)
7 nfv 1917 . . . 4 𝑧 𝑎 = 𝑏
8 iuneq1 4970 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵))
97, 8esumeq1d 32634 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
106, 9eqeq12d 2752 . 2 (𝑎 = 𝑏 → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
11 esumeq1 32633 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶)
12 nfv 1917 . . . 4 𝑧 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙})
13 iuneq1 4970 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵))
1412, 13esumeq1d 32634 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
1511, 14eqeq12d 2752 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
16 esumeq1 32633 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶)
17 nfv 1917 . . . 4 𝑧 𝑎 = 𝐴
18 iuneq1 4970 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
1917, 18esumeq1d 32634 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
2016, 19eqeq12d 2752 . 2 (𝑎 = 𝐴 → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
21 esumnul 32647 . . . 4 Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹 = 0
22 0iun 5023 . . . . 5 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
23 esumeq1 32633 . . . . 5 ( 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅ → Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹
25 esumnul 32647 . . . 4 Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = 0
2621, 24, 253eqtr4ri 2775 . . 3 Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
28 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
29 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙 / 𝑗𝐵
30 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙 / 𝑗𝐶
3129, 30nfesum2 32640 . . . . . . . 8 𝑗Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶
32 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑗𝐵)
33 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙𝐶 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
3432, 33esumeq12d 32632 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
3534adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 = 𝑙) → Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
36 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙 ∈ (𝐴𝑏))
3736eldifad 3922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙𝐴)
38 esum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
3938adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
4039ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑗𝐴 𝐵𝑊)
41 rspcsbela 4395 . . . . . . . . . 10 ((𝑙𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝐵𝑊) → 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊)
4237, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊)
43 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝜑)
4437adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙𝐴)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)
46 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4746ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
4847sbcimdv 3813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) → [𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
49 sbcan 3791 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) ↔ ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵))
50 sbcel1v 3810 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴𝑙𝐴)
51 sbcel2 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)
5250, 51anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵) ↔ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵))
5349, 52bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵))
54 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑙 ∈ V
55 sbcel1g 4373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
5748, 53, 563imtr3g 294 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
5857imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
5943, 44, 45, 58syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6059ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
61 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵
6261esumcl 32629 . . . . . . . . 9 ((𝑙 / 𝑗𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6342, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6431, 35, 36, 63esumsnf 32663 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
65 esum2d.0 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
66 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
67 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘
6830nfeq2 2924 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶
6967, 68nfim 1899 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
70 opeq1 4830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
7170eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
7233eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 = 𝐶𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶))
7371, 72imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶) ↔ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)))
74 esum2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
7569, 73, 74chvarfv 2233 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
76 vsnid 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 ∈ {𝑗}
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑗 ∈ {𝑗})
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
7977, 78opelxpd 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
80 xp2nd 7954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (2nd𝑧) ∈ 𝐵)
81 xp1st 7953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st𝑧) ∈ {𝑗})
82 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1st𝑧) ∈ V
8382elsn 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st𝑧) ∈ {𝑗} ↔ (1st𝑧) = 𝑗)
8481, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st𝑧) = 𝑗)
85 eqop 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ ((1st𝑧) = 𝑗 ∧ (2nd𝑧) = 𝑘)))
8684, 85mpbirand 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ (2nd𝑧) = 𝑘))
87 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2nd𝑧) = 𝑘𝑘 = (2nd𝑧))
8886, 87bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
8988ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
9089ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∀𝑘𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
91 reu6i 3686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2nd𝑧) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑘𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧))) → ∃!𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
9280, 90, 91syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃!𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
9379, 92f1mptrn 31549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩))
9493ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑗𝐴 → Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
9594sbcimdv 3813 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
96 sbcfung 6525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
97 csbcnv 5839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)
98 csbmpt12 5514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩))
99 csbopg 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑙 / 𝑗𝑘⟩)
100 csbvarg 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗 = 𝑙)
101 csbconstg 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑘 = 𝑘)
102100, 101opeq12d 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ V → ⟨𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑙 / 𝑗𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
10399, 102eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
104103mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ V → (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
10598, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
106105cnveqd 5831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
10797, 106eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
108107funeqd 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → (Fun 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
10996, 108bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
11054, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
11195, 50, 1103imtr3g 294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑙𝐴 → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
112111imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
11337, 112syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
114 vsnid 4623 . . . . . . . . . . 11 𝑙 ∈ {𝑙}
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 ∈ {𝑙})
116115, 45opelxpd 5671 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → ⟨𝑙, 𝑘⟩ ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
11765, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116esumc 32650 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 = Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹)
118 nfab1 2909 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}
119 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑡({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
120 opeq1 4830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑙 → ⟨𝑖, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
121120eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ 𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
122121rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → (∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
12354, 122rexsn 4643 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
124 elxp2 5657 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩)
125 abid 2717 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
126123, 124, 1253bitr4ri 303 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ 𝑡 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
127118, 119, 126eqri 3964 . . . . . . . . 9 {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
128 esumeq1 32633 . . . . . . . . 9 ({𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) → Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
129127, 128ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹
130117, 129eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
13164, 130eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
132131adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
13328, 132oveq12d 7375 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶) = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
134 nfv 1917 . . . . . 6 𝑗(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
135 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗𝑏
136 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗{𝑙}
137 vex 3449 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
138137a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
139 vsnex 5386 . . . . . . 7 {𝑙} ∈ V
140139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑙} ∈ V)
14136eldifbd 3923 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑙𝑏)
142 disjsn 4672 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅ ↔ ¬ 𝑙𝑏)
143141, 142sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅)
144 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝜑)
145 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
146145sselda 3944 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝐴)
14746anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148147ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
150149esumcl 32629 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15138, 148, 150syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
152144, 146, 151syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝜑)
15437snssd 4769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑙} ⊆ 𝐴)
155154sselda 3944 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝑗𝐴)
156153, 155, 151syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
157134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156esumsplit 32652 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶))
158157adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶))
159 iunxun 5054 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵))
160136, 29nfxp 5666 . . . . . . . . . . 11 𝑗({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
161 sneq 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → {𝑗} = {𝑙})
162161, 32xpeq12d 5664 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
163160, 162iunxsngf 5052 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ V → 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
16454, 163ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
165164uneq2i 4120 . . . . . . . 8 ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵)) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
166159, 165eqtri 2764 . . . . . . 7 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
167 esumeq1 32633 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹)
168166, 167ax-mp 5 . . . . . 6 Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹
169 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
170 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)
171 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑧({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
172 vsnex 5386 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ∈ V
173146, 39syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝐵𝑊)
174 xpexg 7684 . . . . . . . . . 10 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
175172, 173, 174sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
176175ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
177 iunexg 7896 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ V ∧ ∀𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
178137, 176, 177sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
179 xpexg 7684 . . . . . . . 8 (({𝑙} ∈ V ∧ 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ∈ V)
180139, 42, 179sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ∈ V)
181 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝑏)
182141adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → ¬ 𝑙𝑏)
183 nelne2 3042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑏 ∧ ¬ 𝑙𝑏) → 𝑗𝑙)
184181, 182, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝑙)
185 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑙 → ({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅)
186 xpdisj1 6113 . . . . . . . . . 10 (({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅ → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
187184, 185, 1863syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
188187iuneq2dv 4978 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = 𝑗𝑏 ∅)
189160iunin1f 31476 . . . . . . . 8 𝑗𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
190 iun0 5022 . . . . . . . 8 𝑗𝑏 ∅ = ∅
191188, 189, 1903eqtr3g 2799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
192 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝜑)
193 iunss1 4968 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐴 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
194145, 193syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
195194sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
196 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
197 nfiu1 4988 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
198197nfcri 2894 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
199196, 198nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
200 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑘(((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
201 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
20265, 201nfel 2921 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
20374adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
204 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
205 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗𝐴)
206 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘𝐵)
207204, 205, 206, 46syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
208203, 207eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
209 elsnxp 6243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
210209biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
211210adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
212200, 202, 208, 211r19.29af2 3250 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
213 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
214 eliun 4958 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
215213, 214sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
216199, 212, 215r19.29af 3251 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
217192, 195, 216syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
218 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝜑)
219 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝐴
220 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑙
221219, 220, 160, 162ssiun2sf 31478 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝐴 → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
22237, 221syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
223222sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
224218, 223, 216syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
225169, 170, 171, 178, 180, 191, 217, 224esumsplit 32652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
226168, 225eqtrid 2788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
227226adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
228133, 158, 2273eqtr4d 2786 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
229228ex 413 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
230 esum2dlem.e . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2315, 10, 15, 20, 27, 229, 230findcard2d 9110 1 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wnfc 2887  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  Vcvv 3445  [wsbc 3739  csb 3855  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cop 4592   ciun 4954  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  Fun wfun 6490  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  Fincfn 8883  0cc0 11051  +∞cpnf 11186   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  Σ*cesum 32626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-tsms 23478  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-ii 24240  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-esum 32627
This theorem is referenced by:  esum2d  32692
  Copyright terms: Public domain W3C validator