Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum2dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum2dlem 34093
Description: Lemma for esum2d 34094 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0 𝑘𝐹
esum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2 (𝜑𝐴𝑉)
esum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
esum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esum2dlem.e (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
esum2dlem (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2dlem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑡 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶)
2 nfv 1914 . . . 4 𝑧 𝑎 = ∅
3 iuneq1 5008 . . . 4 (𝑎 = ∅ → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
42, 3esumeq1d 34036 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
51, 4eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = ∅ → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
6 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶)
7 nfv 1914 . . . 4 𝑧 𝑎 = 𝑏
8 iuneq1 5008 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵))
97, 8esumeq1d 34036 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
106, 9eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = 𝑏 → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
11 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶)
12 nfv 1914 . . . 4 𝑧 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙})
13 iuneq1 5008 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵))
1412, 13esumeq1d 34036 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
1511, 14eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
16 esumeq1 34035 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶)
17 nfv 1914 . . . 4 𝑧 𝑎 = 𝐴
18 iuneq1 5008 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
1917, 18esumeq1d 34036 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
2016, 19eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = 𝐴 → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
21 esumnul 34049 . . . 4 Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹 = 0
22 0iun 5063 . . . . 5 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
23 esumeq1 34035 . . . . 5 ( 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅ → Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹
25 esumnul 34049 . . . 4 Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = 0
2621, 24, 253eqtr4ri 2776 . . 3 Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
28 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
29 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙 / 𝑗𝐵
30 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙 / 𝑗𝐶
3129, 30nfesum2 34042 . . . . . . . 8 𝑗Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶
32 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑗𝐵)
33 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙𝐶 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
3432, 33esumeq12d 34034 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
3534adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 = 𝑙) → Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
36 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙 ∈ (𝐴𝑏))
3736eldifad 3963 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙𝐴)
38 esum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
3938adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
4039ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑗𝐴 𝐵𝑊)
41 rspcsbela 4438 . . . . . . . . . 10 ((𝑙𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝐵𝑊) → 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊)
4237, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊)
43 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝜑)
4437adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙𝐴)
45 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)
46 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4746ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
4847sbcimdv 3859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) → [𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
49 sbcan 3838 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) ↔ ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵))
50 sbcel1v 3856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴𝑙𝐴)
51 sbcel2 4418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)
5250, 51anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵) ↔ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵))
5349, 52bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵))
54 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑙 ∈ V
55 sbcel1g 4416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
5748, 53, 563imtr3g 295 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
5857imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
5943, 44, 45, 58syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6059ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
61 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵
6261esumcl 34031 . . . . . . . . 9 ((𝑙 / 𝑗𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6342, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6431, 35, 36, 63esumsnf 34065 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
65 esum2d.0 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
66 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
67 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘
6830nfeq2 2923 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶
6967, 68nfim 1896 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
70 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
7170eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
7233eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 = 𝐶𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶))
7371, 72imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶) ↔ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)))
74 esum2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
7569, 73, 74chvarfv 2240 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
76 vsnid 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 ∈ {𝑗}
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑗 ∈ {𝑗})
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
7977, 78opelxpd 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
80 xp2nd 8047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (2nd𝑧) ∈ 𝐵)
81 xp1st 8046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st𝑧) ∈ {𝑗})
82 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1st𝑧) ∈ V
8382elsn 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st𝑧) ∈ {𝑗} ↔ (1st𝑧) = 𝑗)
8481, 83sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st𝑧) = 𝑗)
85 eqop 8056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ ((1st𝑧) = 𝑗 ∧ (2nd𝑧) = 𝑘)))
8684, 85mpbirand 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ (2nd𝑧) = 𝑘))
87 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2nd𝑧) = 𝑘𝑘 = (2nd𝑧))
8886, 87bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
8988ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
9089ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∀𝑘𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
91 reu6i 3734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2nd𝑧) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑘𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧))) → ∃!𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
9280, 90, 91syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃!𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
9379, 92f1mptrn 32645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩))
9493ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑗𝐴 → Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
9594sbcimdv 3859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
96 sbcfung 6590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
97 csbcnv 5894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)
98 csbmpt12 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩))
99 csbopg 4891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑙 / 𝑗𝑘⟩)
100 csbvarg 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗 = 𝑙)
101 csbconstg 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑘 = 𝑘)
102100, 101opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ V → ⟨𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑙 / 𝑗𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
10399, 102eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
104103mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ V → (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
10598, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
106105cnveqd 5886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
10797, 106eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
108107funeqd 6588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → (Fun 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
10996, 108bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
11054, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
11195, 50, 1103imtr3g 295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑙𝐴 → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
112111imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
11337, 112syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
114 vsnid 4663 . . . . . . . . . . 11 𝑙 ∈ {𝑙}
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 ∈ {𝑙})
116115, 45opelxpd 5724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → ⟨𝑙, 𝑘⟩ ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
11765, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116esumc 34052 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 = Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹)
118 nfab1 2907 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}
119 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑡({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
120 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑙 → ⟨𝑖, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
121120eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ 𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
122121rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → (∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
12354, 122rexsn 4682 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
124 elxp2 5709 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩)
125 abid 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
126123, 124, 1253bitr4ri 304 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ 𝑡 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
127118, 119, 126eqri 4004 . . . . . . . . 9 {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
128 esumeq1 34035 . . . . . . . . 9 ({𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) → Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
129127, 128ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹
130117, 129eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
13164, 130eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
132131adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
13328, 132oveq12d 7449 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶) = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
134 nfv 1914 . . . . . 6 𝑗(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
135 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑗𝑏
136 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑗{𝑙}
137 vex 3484 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
138137a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
139 vsnex 5434 . . . . . . 7 {𝑙} ∈ V
140139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑙} ∈ V)
14136eldifbd 3964 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑙𝑏)
142 disjsn 4711 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅ ↔ ¬ 𝑙𝑏)
143141, 142sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅)
144 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝜑)
145 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
146145sselda 3983 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝐴)
14746anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148147ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
150149esumcl 34031 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15138, 148, 150syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
152144, 146, 151syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝜑)
15437snssd 4809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑙} ⊆ 𝐴)
155154sselda 3983 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝑗𝐴)
156153, 155, 151syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
157134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156esumsplit 34054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶))
158157adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶))
159 iunxun 5094 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵))
160136, 29nfxp 5718 . . . . . . . . . . 11 𝑗({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
161 sneq 4636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → {𝑗} = {𝑙})
162161, 32xpeq12d 5716 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
163160, 162iunxsngf 5092 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ V → 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
16454, 163ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
165164uneq2i 4165 . . . . . . . 8 ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵)) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
166159, 165eqtri 2765 . . . . . . 7 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
167 esumeq1 34035 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹)
168166, 167ax-mp 5 . . . . . 6 Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹
169 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
170 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)
171 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑧({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
172 vsnex 5434 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ∈ V
173146, 39syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝐵𝑊)
174 xpexg 7770 . . . . . . . . . 10 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
175172, 173, 174sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
176175ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
177 iunexg 7988 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ V ∧ ∀𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
178137, 176, 177sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
179 xpexg 7770 . . . . . . . 8 (({𝑙} ∈ V ∧ 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ∈ V)
180139, 42, 179sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ∈ V)
181 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝑏)
182141adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → ¬ 𝑙𝑏)
183 nelne2 3040 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑏 ∧ ¬ 𝑙𝑏) → 𝑗𝑙)
184181, 182, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝑙)
185 disjsn2 4712 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑙 → ({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅)
186 xpdisj1 6181 . . . . . . . . . 10 (({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅ → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
187184, 185, 1863syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
188187iuneq2dv 5016 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = 𝑗𝑏 ∅)
189160iunin1f 32570 . . . . . . . 8 𝑗𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
190 iun0 5062 . . . . . . . 8 𝑗𝑏 ∅ = ∅
191188, 189, 1903eqtr3g 2800 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
192 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝜑)
193 iunss1 5006 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐴 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
194145, 193syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
195194sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
196 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
197 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
198197nfcri 2897 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
199196, 198nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
200 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑘(((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
201 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
20265, 201nfel 2920 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
20374adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
204 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
205 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗𝐴)
206 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘𝐵)
207204, 205, 206, 46syl12anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
208203, 207eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
209 elsnxp 6311 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
210209biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
211210adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
212200, 202, 208, 211r19.29af2 3267 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
213 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
214 eliun 4995 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
215213, 214sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
216199, 212, 215r19.29af 3268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
217192, 195, 216syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
218 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝜑)
219 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝐴
220 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑙
221219, 220, 160, 162ssiun2sf 32572 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝐴 → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
22237, 221syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
223222sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
224218, 223, 216syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
225169, 170, 171, 178, 180, 191, 217, 224esumsplit 34054 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
226168, 225eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
227226adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
228133, 158, 2273eqtr4d 2787 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
229228ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
230 esum2dlem.e . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2315, 10, 15, 20, 27, 229, 230findcard2d 9206 1 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  Vcvv 3480  [wsbc 3788  csb 3899  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   ciun 4991  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  Fincfn 8985  0cc0 11155  +∞cpnf 11292   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  esum2d  34094
  Copyright terms: Public domain W3C validator