Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum2dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esum2dlem 31459
Description: Lemma for esum2d 31460 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0 𝑘𝐹
esum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
esum2d.2 (𝜑𝐴𝑉)
esum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
esum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esum2dlem.e (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
esum2dlem (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴,𝑧   𝑧,𝐶   𝐵,𝑘,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝑊,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem esum2dlem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑡 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumeq1 31401 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶)
2 nfv 1915 . . . 4 𝑧 𝑎 = ∅
3 iuneq1 4900 . . . 4 (𝑎 = ∅ → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
42, 3esumeq1d 31402 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
51, 4eqeq12d 2817 . 2 (𝑎 = ∅ → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
6 esumeq1 31401 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶)
7 nfv 1915 . . . 4 𝑧 𝑎 = 𝑏
8 iuneq1 4900 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵))
97, 8esumeq1d 31402 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
106, 9eqeq12d 2817 . 2 (𝑎 = 𝑏 → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
11 esumeq1 31401 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶)
12 nfv 1915 . . . 4 𝑧 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙})
13 iuneq1 4900 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵))
1412, 13esumeq1d 31402 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
1511, 14eqeq12d 2817 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑙}) → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
16 esumeq1 31401 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶)
17 nfv 1915 . . . 4 𝑧 𝑎 = 𝐴
18 iuneq1 4900 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
1917, 18esumeq1d 31402 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
2016, 19eqeq12d 2817 . 2 (𝑎 = 𝐴 → (Σ*𝑗𝑎Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑎 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 ↔ Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹))
21 esumnul 31415 . . . 4 Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹 = 0
22 0iun 4952 . . . . 5 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
23 esumeq1 31401 . . . . 5 ( 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅ → Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ∅𝐹
25 esumnul 31415 . . . 4 Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = 0
2621, 24, 253eqtr4ri 2835 . . 3 Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹
2726a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑗 ∈ ∅Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
28 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
29 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙 / 𝑗𝐵
30 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙 / 𝑗𝐶
3129, 30nfesum2 31408 . . . . . . . 8 𝑗Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶
32 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑗𝐵)
33 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙𝐶 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
3432, 33esumeq12d 31400 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
3534adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 = 𝑙) → Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
36 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙 ∈ (𝐴𝑏))
3736eldifad 3896 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙𝐴)
38 esum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
3938adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
4039ralrimiva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑗𝐴 𝐵𝑊)
41 rspcsbela 4346 . . . . . . . . . 10 ((𝑙𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝐵𝑊) → 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊)
4237, 40, 41syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊)
43 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝜑)
4437adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙𝐴)
45 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)
46 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4746ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
4847sbcimdv 3792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) → [𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
49 sbcan 3771 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) ↔ ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵))
50 sbcel1v 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴𝑙𝐴)
51 sbcel2 4326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)
5250, 51anbi12i 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]𝑘𝐵) ↔ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵))
5349, 52bitri 278 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑙 / 𝑗](𝑗𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵))
54 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑙 ∈ V
55 sbcel1g 4324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑙 / 𝑗]𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
5748, 53, 563imtr3g 298 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
5857imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐴𝑘𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
5943, 44, 45, 58syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6059ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
61 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵
6261esumcl 31397 . . . . . . . . 9 ((𝑙 / 𝑗𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6342, 60, 62syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6431, 35, 36, 63esumsnf 31431 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶)
65 esum2d.0 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
66 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
67 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘
6830nfeq2 2975 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶
6967, 68nfim 1897 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
70 opeq1 4766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
7170eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
7233eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 = 𝐶𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶))
7371, 72imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶) ↔ (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)))
74 esum2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝐶)
7569, 73, 74chvarfv 2241 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑙, 𝑘⟩ → 𝐹 = 𝑙 / 𝑗𝐶)
76 vsnid 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 ∈ {𝑗}
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑗 ∈ {𝑗})
78 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
7977, 78opelxpd 5561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ({𝑗} × 𝐵))
80 xp2nd 7708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (2nd𝑧) ∈ 𝐵)
81 xp1st 7707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st𝑧) ∈ {𝑗})
82 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1st𝑧) ∈ V
8382elsn 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st𝑧) ∈ {𝑗} ↔ (1st𝑧) = 𝑗)
8481, 83sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (1st𝑧) = 𝑗)
85 eqop 7717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ ((1st𝑧) = 𝑗 ∧ (2nd𝑧) = 𝑘)))
8684, 85mpbirand 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ (2nd𝑧) = 𝑘))
87 eqcom 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2nd𝑧) = 𝑘𝑘 = (2nd𝑧))
8886, 87syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
9089ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∀𝑘𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧)))
91 reu6i 3670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2nd𝑧) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑘𝐵 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ↔ 𝑘 = (2nd𝑧))) → ∃!𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
9280, 90, 91syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃!𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
9379, 92f1mptrn 30397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐴) → Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩))
9493ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑗𝐴 → Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
9594sbcimdv 3792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ([𝑙 / 𝑗]𝑗𝐴[𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
96 sbcfung 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)))
97 csbcnv 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩)
98 csbmpt12 5412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩))
99 csbopg 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑙 / 𝑗𝑘⟩)
100 csbvarg 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗 = 𝑙)
101 csbconstg 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑘 = 𝑘)
102100, 101opeq12d 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ V → ⟨𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑙 / 𝑗𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
10399, 102eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
104103mpteq2dv 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ V → (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
10598, 104eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
106105cnveqd 5714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
10797, 106syl5eqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ V → 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) = (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
108107funeqd 6350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 ∈ V → (Fun 𝑙 / 𝑗(𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
10996, 108bitrd 282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 ∈ V → ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
11054, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑙 / 𝑗]Fun (𝑘𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑘⟩) ↔ Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
11195, 50, 1103imtr3g 298 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑙𝐴 → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩)))
112111imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝐴) → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
11337, 112syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Fun (𝑘𝑙 / 𝑗𝐵 ↦ ⟨𝑙, 𝑘⟩))
114 vsnid 4565 . . . . . . . . . . 11 𝑙 ∈ {𝑙}
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → 𝑙 ∈ {𝑙})
116115, 45opelxpd 5561 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑘𝑙 / 𝑗𝐵) → ⟨𝑙, 𝑘⟩ ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
11765, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116esumc 31418 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 = Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹)
118 nfab1 2960 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}
119 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑡({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
120 opeq1 4766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑙 → ⟨𝑖, 𝑘⟩ = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
121120eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ 𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
122121rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → (∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩))
12354, 122rexsn 4583 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩ ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
124 elxp2 5547 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝑙}∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑖, 𝑘⟩)
125 abid 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩)
126123, 124, 1253bitr4ri 307 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} ↔ 𝑡 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
127118, 119, 126eqri 3938 . . . . . . . . 9 {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
128 esumeq1 31401 . . . . . . . . 9 ({𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩} = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) → Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
129127, 128ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*𝑧 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑘 𝑙 / 𝑗𝐵𝑡 = ⟨𝑙, 𝑘⟩}𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹
130117, 129eqtrdi 2852 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑘𝑙 / 𝑗𝐵𝑙 / 𝑗𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
13164, 130eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
132131adantr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹)
13328, 132oveq12d 7157 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶) = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
134 nfv 1915 . . . . . 6 𝑗(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
135 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑗𝑏
136 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑗{𝑙}
137 vex 3447 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
138137a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
139 snex 5300 . . . . . . 7 {𝑙} ∈ V
140139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑙} ∈ V)
14136eldifbd 3897 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑙𝑏)
142 disjsn 4610 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅ ↔ ¬ 𝑙𝑏)
143141, 142sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑙}) = ∅)
144 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝜑)
145 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
146145sselda 3918 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝐴)
14746anassrs 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148147ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149 nfcv 2958 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
150149esumcl 31397 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15138, 148, 150syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
152144, 146, 151syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝜑)
15437snssd 4705 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑙} ⊆ 𝐴)
155154sselda 3918 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → 𝑗𝐴)
156153, 155, 151syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗 ∈ {𝑙}) → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))
157134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156esumsplit 31420 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶))
158157adantr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 +𝑒 Σ*𝑗 ∈ {𝑙*𝑘𝐵𝐶))
159 iunxun 4982 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵))
160136, 29nfxp 5556 . . . . . . . . . . 11 𝑗({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
161 sneq 4538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → {𝑗} = {𝑙})
162161, 32xpeq12d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
163160, 162iunxsngf 4980 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ V → 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
16454, 163ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵) = ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
165164uneq2i 4090 . . . . . . . 8 ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ 𝑗 ∈ {𝑙} ({𝑗} × 𝐵)) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
166159, 165eqtri 2824 . . . . . . 7 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
167 esumeq1 31401 . . . . . . 7 ( 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹)
168166, 167ax-mp 5 . . . . . 6 Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹
169 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏)))
170 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)
171 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑧({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)
172 snex 5300 . . . . . . . . . 10 {𝑗} ∈ V
173146, 39syldan 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝐵𝑊)
174 xpexg 7457 . . . . . . . . . 10 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
175172, 173, 174sylancr 590 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
176175ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
177 iunexg 7650 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ V ∧ ∀𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
178137, 176, 177sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
179 xpexg 7457 . . . . . . . 8 (({𝑙} ∈ V ∧ 𝑙 / 𝑗𝐵𝑊) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ∈ V)
180139, 42, 179sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ∈ V)
181 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝑏)
182141adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → ¬ 𝑙𝑏)
183 nelne2 3087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑏 ∧ ¬ 𝑙𝑏) → 𝑗𝑙)
184181, 182, 183syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → 𝑗𝑙)
185 disjsn2 4611 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑙 → ({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅)
186 xpdisj1 5989 . . . . . . . . . 10 (({𝑗} ∩ {𝑙}) = ∅ → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
187184, 185, 1863syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑗𝑏) → (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
188187iuneq2dv 4908 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = 𝑗𝑏 ∅)
189160iunin1f 30324 . . . . . . . 8 𝑗𝑏 (({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))
190 iun0 4951 . . . . . . . 8 𝑗𝑏 ∅ = ∅
191188, 189, 1903eqtr3g 2859 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∩ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) = ∅)
192 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝜑)
193 iunss1 4898 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐴 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
194145, 193syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
195194sselda 3918 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
196 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
197 nfiu1 4918 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
198197nfcri 2946 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
199196, 198nfan 1900 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
200 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑘(((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
201 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
20265, 201nfel 2972 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹 ∈ (0[,]+∞)
20374adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 = 𝐶)
204 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝜑)
205 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑗𝐴)
206 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝑘𝐵)
207204, 205, 206, 46syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
208203, 207eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑘𝐵) ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
209 elsnxp 6114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝐴 → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
210209biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
211210adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
212200, 202, 208, 211r19.29af2 3291 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
213 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
214 eliun 4888 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
215213, 214sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑗𝐴 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
216199, 212, 215r19.29af 3292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
217192, 195, 216syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
218 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝜑)
219 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝐴
220 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑙
221219, 220, 160, 162ssiun2sf 30326 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝐴 → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
22237, 221syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵) ⊆ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
223222sselda 3918 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
224218, 223, 216syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)) → 𝐹 ∈ (0[,]+∞))
225169, 170, 171, 178, 180, 191, 217, 224esumsplit 31420 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑧 ∈ ( 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵) ∪ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵))𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
226168, 225syl5eq 2848 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
227226adantr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹 = (Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 +𝑒 Σ*𝑧 ∈ ({𝑙} × 𝑙 / 𝑗𝐵)𝐹))
228133, 158, 2273eqtr4d 2846 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹) → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹)
229228ex 416 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑙 ∈ (𝐴𝑏))) → (Σ*𝑗𝑏Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝑏 ({𝑗} × 𝐵)𝐹 → Σ*𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗 ∈ (𝑏 ∪ {𝑙})({𝑗} × 𝐵)𝐹))
230 esum2dlem.e . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2315, 10, 15, 20, 27, 229, 230findcard2d 8748 1 (𝜑 → Σ*𝑗𝐴Σ*𝑘𝐵𝐶 = Σ*𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wnfc 2939  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  ∃!wreu 3111  Vcvv 3444  [wsbc 3723  csb 3831  cdif 3881  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {csn 4528  cop 4534   ciun 4884  cmpt 5113   × cxp 5521  ccnv 5522  Fun wfun 6322  cfv 6328  (class class class)co 7139  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  Fincfn 8496  0cc0 10530  +∞cpnf 10665   +𝑒 cxad 12497  [,]cicc 12733  Σ*cesum 31394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-scaf 19633  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-tsms 22735  df-trg 22768  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-ii 23485  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-esum 31395
This theorem is referenced by:  esum2d  31460
  Copyright terms: Public domain W3C validator