MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpr 19988
Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpr.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p + = (+g𝐺)
gsumpr.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumpr ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr
StepHypRef Expression
1 gsumpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumpr.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 simp1 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4 prfi 9361 . . . 4 {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6 vex 3482 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
76elpr 4655 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁))
8 gsumpr.s . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
9 eleq1a 2834 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
11103ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
128, 11syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
13 gsumpr.t . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
14 eleq1a 2834 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
16153ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1713, 16syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
1812, 17jaoi 857 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
197, 18sylbi 217 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
2019impcom 407 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴𝐵)
21 disjsn2 4717 . . . . 5 (𝑀𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22213ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23223ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24 df-pr 4634 . . . 4 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2524a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26 eqid 2735 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
271, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26gsummptfidmsplitres 19964 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28 snsspr1 4819 . . . . . 6 {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29 resmpt 6057 . . . . . 6 ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3028, 29mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3130oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32 cmnmnd 19830 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑀𝑉)
34 simpl 482 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
351, 8gsumsn 19987 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3632, 33, 34, 35syl3an 1159 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3731, 36eqtrd 2775 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38 snsspr2 4820 . . . . . 6 {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39 resmpt 6057 . . . . . 6 ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4038, 39mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4140oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑁𝑊)
43 simpr 484 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
441, 13gsumsn 19987 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁𝑊𝐷𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4532, 42, 43, 44syl3an 1159 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4641, 45eqtrd 2775 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
4737, 46oveq12d 7449 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
4827, 47eqtrd 2775 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  cmpt 5231  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815
This theorem is referenced by:  gsumtp  33044  linds2eq  33389  evl1deg1  33581  evl1deg3  33583  lincvalpr  48264  zlmodzxzldeplem3  48348
  Copyright terms: Public domain W3C validator