Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpr 19075
 Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpr.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p + = (+g𝐺)
gsumpr.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumpr ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr
StepHypRef Expression
1 gsumpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumpr.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 simp1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4 prfi 8790 . . . 4 {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6 vex 3483 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
76elpr 4573 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁))
8 gsumpr.s . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
9 eleq1a 2911 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
109adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
11103ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
128, 11syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
13 gsumpr.t . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
14 eleq1a 2911 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1514adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
16153ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1713, 16syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
1812, 17jaoi 854 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
197, 18sylbi 220 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
2019impcom 411 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴𝐵)
21 disjsn2 4633 . . . . 5 (𝑀𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22213ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23223ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24 df-pr 4553 . . . 4 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2524a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26 eqid 2824 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
271, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26gsummptfidmsplitres 19051 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28 snsspr1 4731 . . . . . 6 {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29 resmpt 5892 . . . . . 6 ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3028, 29mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3130oveq2d 7165 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32 cmnmnd 18922 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑀𝑉)
34 simpl 486 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
351, 8gsumsn 19074 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3632, 33, 34, 35syl3an 1157 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3731, 36eqtrd 2859 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38 snsspr2 4732 . . . . . 6 {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39 resmpt 5892 . . . . . 6 ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4038, 39mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4140oveq2d 7165 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑁𝑊)
43 simpr 488 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
441, 13gsumsn 19074 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁𝑊𝐷𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4532, 42, 43, 44syl3an 1157 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4641, 45eqtrd 2859 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
4737, 46oveq12d 7167 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
4827, 47eqtrd 2859 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {csn 4550  {cpr 4552   ↦ cmpt 5132   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  Basecbs 16483  +gcplusg 16565   Σg cgsu 16714  Mndcmnd 17911  CMndccmn 18906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908 This theorem is referenced by:  linds2eq  30981  lincvalpr  44758  zlmodzxzldeplem3  44842
 Copyright terms: Public domain W3C validator