MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpr 19974
Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpr.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p + = (+g𝐺)
gsumpr.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumpr ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr
StepHypRef Expression
1 gsumpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumpr.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 simp1 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4 prfi 9364 . . . 4 {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6 vex 3483 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
76elpr 4649 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁))
8 gsumpr.s . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
9 eleq1a 2835 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
11103ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
128, 11syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
13 gsumpr.t . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
14 eleq1a 2835 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
16153ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1713, 16syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
1812, 17jaoi 857 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
197, 18sylbi 217 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
2019impcom 407 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴𝐵)
21 disjsn2 4711 . . . . 5 (𝑀𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22213ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23223ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24 df-pr 4628 . . . 4 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2524a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26 eqid 2736 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
271, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26gsummptfidmsplitres 19950 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28 snsspr1 4813 . . . . . 6 {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29 resmpt 6054 . . . . . 6 ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3028, 29mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3130oveq2d 7448 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32 cmnmnd 19816 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑀𝑉)
34 simpl 482 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
351, 8gsumsn 19973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3632, 33, 34, 35syl3an 1160 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3731, 36eqtrd 2776 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38 snsspr2 4814 . . . . . 6 {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39 resmpt 6054 . . . . . 6 ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4038, 39mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4140oveq2d 7448 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑁𝑊)
43 simpr 484 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
441, 13gsumsn 19973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁𝑊𝐷𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4532, 42, 43, 44syl3an 1160 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4641, 45eqtrd 2776 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
4737, 46oveq12d 7450 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
4827, 47eqtrd 2776 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  {cpr 4627  cmpt 5224  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  CMndccmn 19799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801
This theorem is referenced by:  gsumtp  33062  linds2eq  33410  evl1deg1  33602  evl1deg3  33604  lincvalpr  48340  zlmodzxzldeplem3  48424
  Copyright terms: Public domain W3C validator