Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumpr 43147
 Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpr.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p + = (+g𝐺)
gsumpr.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
gsumpr ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr
StepHypRef Expression
1 gsumpr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumpr.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 simp1 1127 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4 prfi 8523 . . . 4 {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6 vex 3400 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
76elpr 4420 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁))
8 gsumpr.s . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
9 eleq1a 2853 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
109adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
11103ad2ant3 1126 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐶𝐴𝐵))
128, 11syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
13 gsumpr.t . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
14 eleq1a 2853 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1514adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
16153ad2ant3 1126 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐴 = 𝐷𝐴𝐵))
1713, 16syl5com 31 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
1812, 17jaoi 846 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
197, 18sylbi 209 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → 𝐴𝐵))
2019impcom 398 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴𝐵)
21 disjsn2 4478 . . . . 5 (𝑀𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22213ad2ant3 1126 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23223ad2ant2 1125 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24 df-pr 4400 . . . 4 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2524a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26 eqid 2777 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
271, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26gsummptfidmsplitres 18717 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28 snsspr1 4576 . . . . . 6 {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29 resmpt 5699 . . . . . 6 ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3028, 29mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
3130oveq2d 6938 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32 cmnmnd 18594 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simp1 1127 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑀𝑉)
34 simpl 476 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐶𝐵)
351, 8gsumsn 18740 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀𝑉𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3632, 33, 34, 35syl3an 1160 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
3731, 36eqtrd 2813 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38 snsspr2 4577 . . . . . 6 {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39 resmpt 5699 . . . . . 6 ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4038, 39mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
4140oveq2d 6938 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42 simp2 1128 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) → 𝑁𝑊)
43 simpr 479 . . . . 5 ((𝐶𝐵𝐷𝐵) → 𝐷𝐵)
441, 13gsumsn 18740 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁𝑊𝐷𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4532, 42, 43, 44syl3an 1160 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
4641, 45eqtrd 2813 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
4737, 46oveq12d 6940 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
4827, 47eqtrd 2813 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   ∪ cun 3789   ∩ cin 3790   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140  {csn 4397  {cpr 4399   ↦ cmpt 4965   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  Basecbs 16255  +gcplusg 16338   Σg cgsu 16487  Mndcmnd 17680  CMndccmn 18579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581 This theorem is referenced by:  lincvalpr  43215  zlmodzxzldeplem3  43299
 Copyright terms: Public domain W3C validator