Theorem gsumpr 20149

Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumpr.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsumpr	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumpr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		prfi 9299	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6		vex 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
7	6	elpr 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁))
8		gsumpr.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
9		eleq1a 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 ∈ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	8, 11	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
13		gsumpr.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
14		eleq1a 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐵))
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 = 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐵))
17	13, 16	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
18	12, 17	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
19	7, 18	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
20	19	impcom 413	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
21		disjsn2 4673	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ 𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22	21	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23	22	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24		df-pr 4587	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
27	1, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26	gsummptfidmsplitres 20125	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28		snsspr1 4775	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29		resmpt 6031	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
30	28, 29	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
31	30	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32		cmnmnd 19991	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝑉)
34		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	1, 8	gsumsn 20148	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
36	32, 33, 34, 35	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
37	31, 36	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38		snsspr2 4776	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39		resmpt 6031	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
40	38, 39	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
41	40	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑊)
43		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐵)
44	1, 13	gsumsn 20148	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
45	32, 42, 43, 44	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
46	41, 45	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
47	37, 46	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
48	27, 47	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  CMndccmn 19974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976

This theorem is used by:  gsumtp  33607  linds2eq  33918  evl1deg1  34090  evl1deg3  34092  lincvalpr  49474  zlmodzxzldeplem3  49558