Theorem gsumpr 20175

Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumpr.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
gsumpr.t	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
gsumpr	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)

Proof of Theorem gsumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumpr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		prfi 9319	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → {𝑀, 𝑁} ∈ Fin)
6		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
7	6	elpr 4605	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↔ (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁))
8		gsumpr.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
9		eleq1a 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 ∈ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶 → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	8, 11	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
13		gsumpr.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
14		eleq1a 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐵))
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐴 = 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐵))
17	13, 16	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
18	12, 17	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁) → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
19	7, 18	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} → ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
20	19	impcom 413	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
21		disjsn2 4669	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ 𝑁 → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
22	21	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
23	22	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ({𝑀} ∩ {𝑁}) = ∅)
24		df-pr 4587	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁}))
26		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)
27	1, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26	gsummptfidmsplitres 20151	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))))
28		snsspr1 4769	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁}
29		resmpt 6028	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
30	28, 29	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
31	30	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
32		cmnmnd 20017	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝑉)
34		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	1, 8	gsumsn 20174	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
36	32, 33, 34, 35	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
37	31, 36	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) = 𝐶)
38		snsspr2 4770	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁}
39		resmpt 6028	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ⊆ {𝑀, 𝑁} → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
40	38, 39	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}) = (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴))
41	40	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)))
42		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑊)
43		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐵)
44	1, 13	gsumsn 20174	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
45	32, 42, 43, 44	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝐴)) = 𝐷)
46	41, 45	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁})) = 𝐷)
47	37, 46	oveq12d 7439	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀})) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴) ↾ {𝑁}))) = (𝐶 + 𝐷))
48	27, 47	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434   Σ_g cgsu 17617  Mndcmnd 18929  CMndccmn 20000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002

This theorem is used by:  gsumtp  33672  linds2eq  33983  evl1deg1  34155  evl1deg3  34157  lincvalpr  49624  zlmodzxzldeplem3  49708