Theorem dprdpr 19979

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
dprdpr.2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdpr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		dmdprdpr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		xpscf 17484	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
5		1n0 8413	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
6	5	necomi 2984	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
7		disjsn2 4667	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
9		df2o3 8403	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10		df-pr 4581	. . . . 5 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
11	9, 10	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
13		dprdpr.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
14		dprdpr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
15		dprdpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
16		dmdprdpr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		dmdprdpr.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
18	16, 17, 1, 2	dmdprdpr 19978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
19	14, 15, 18	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩})
20	4, 8, 12, 13, 19	dprdsplit 19977	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))))
21	4	ffnd 6661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
22		0ex 5250	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
23	22	prid1 4717	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
24	23, 9	eleqtrri 2833	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
25		fnressn 7101	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
26	21, 24, 25	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
27		fvpr0o 17478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
28	1, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
29	28	opeq2d 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
30	29	sneqd 4590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
31	26, 30	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
32	31	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
33		dprdsn 19965	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
34	22, 1, 33	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
35	34	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
36	32, 35	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
37		1oex 8405	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
38	37	prid2 4718	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
39	38, 9	eleqtrri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
40		fnressn 7101	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
41	21, 39, 40	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
42		fvpr1o 17479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
43	2, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
44	43	opeq2d 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
45	44	sneqd 4590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
46	41, 45	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
47	46	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
48		1on 8407	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
49		dprdsn 19965	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
50	48, 2, 49	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
51	50	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
52	47, 51	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
53	36, 52	oveq12d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 ⊕ 𝑇))
54	20, 53	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  Oncon0 6315   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  0_gc0g 17357  SubGrpcsubg 19048  Cntzccntz 19242  LSSumclsm 19561   DProd cdprd 19922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-dprd 19924

This theorem is referenced by: (None)