Theorem dprdpr 20038

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
dprdpr.2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdpr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		dmdprdpr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		xpscf 17581	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
5		1n0 8508	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
6	5	necomi 2985	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
7		disjsn2 4692	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
9		df2o3 8496	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10		df-pr 4609	. . . . 5 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
11	9, 10	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
13		dprdpr.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
14		dprdpr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
15		dprdpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
16		dmdprdpr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		dmdprdpr.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
18	16, 17, 1, 2	dmdprdpr 20037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
19	14, 15, 18	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩})
20	4, 8, 12, 13, 19	dprdsplit 20036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))))
21	4	ffnd 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
22		0ex 5287	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
23	22	prid1 4742	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
24	23, 9	eleqtrri 2832	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
25		fnressn 7158	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
26	21, 24, 25	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
27		fvpr0o 17575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
28	1, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
29	28	opeq2d 4860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
30	29	sneqd 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
31	26, 30	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
32	31	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
33		dprdsn 20024	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
34	22, 1, 33	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
35	34	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
36	32, 35	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
37		1oex 8498	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
38	37	prid2 4743	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
39	38, 9	eleqtrri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
40		fnressn 7158	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
41	21, 39, 40	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
42		fvpr1o 17576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
43	2, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
44	43	opeq2d 4860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
45	44	sneqd 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
46	41, 45	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
47	46	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
48		1on 8500	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
49		dprdsn 20024	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
50	48, 2, 49	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
51	50	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
52	47, 51	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
53	36, 52	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 ⊕ 𝑇))
54	20, 53	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  {cpr 4608  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  dom cdm 5665   ↾ cres 5667  Oncon0 6363   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1_oc1o 8481  2_oc2o 8482  0_gc0g 17455  SubGrpcsubg 19107  Cntzccntz 19302  LSSumclsm 19620   DProd cdprd 19981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-gim 19246  df-cntz 19304  df-oppg 19333  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-dprd 19983

This theorem is referenced by: (None)