Theorem dprdpr 19568

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
dprdpr.2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
dprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdpr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		dmdprdpr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		xpscf 17193	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
5		1n0 8286	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
6	5	necomi 2997	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
7		disjsn2 4645	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
9		df2o3 8282	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10		df-pr 4561	. . . . 5 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
11	9, 10	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
13		dprdpr.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
14		dprdpr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
15		dprdpr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
16		dmdprdpr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17		dmdprdpr.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
18	16, 17, 1, 2	dmdprdpr 19567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
19	14, 15, 18	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩})
20	4, 8, 12, 13, 19	dprdsplit 19566	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))))
21	4	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
22		0ex 5226	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
23	22	prid1 4695	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
24	23, 9	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
25		fnressn 7012	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
26	21, 24, 25	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
27		fvpr0o 17187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
28	1, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
29	28	opeq2d 4808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
30	29	sneqd 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
31	26, 30	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
32	31	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
33		dprdsn 19554	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
34	22, 1, 33	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
35	34	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
36	32, 35	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
37		1oex 8280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
38	37	prid2 4696	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
39	38, 9	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
40		fnressn 7012	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
41	21, 39, 40	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
42		fvpr1o 17188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
43	2, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
44	43	opeq2d 4808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
45	44	sneqd 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
46	41, 45	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
47	46	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
48		1on 8274	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
49		dprdsn 19554	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
50	48, 2, 49	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
51	50	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
52	47, 51	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
53	36, 52	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊕ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 ⊕ 𝑇))
54	20, 53	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 ⊕ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  Oncon0 6251   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  LSSumclsm 19154   DProd cdprd 19511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-dprd 19513

This theorem is referenced by: (None)