MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdpr 19836
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
dmdprdpr.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dmdprdpr.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
dmdprdpr.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
dprdpr.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
dprdpr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
dprdpr.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆฉ ๐‘‡) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dprdpr (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}) = (๐‘† โŠ• ๐‘‡))

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 dmdprdpr.t . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
3 xpscf 17454 . . . 4 ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}:2oโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†” (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)))
41, 2, 3sylanbrc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}:2oโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
5 1n0 8439 . . . . 5 1o โ‰  โˆ…
65necomi 2999 . . . 4 โˆ… โ‰  1o
7 disjsn2 4678 . . . 4 (โˆ… โ‰  1o โ†’ ({โˆ…} โˆฉ {1o}) = โˆ…)
86, 7mp1i 13 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({โˆ…} โˆฉ {1o}) = โˆ…)
9 df2o3 8425 . . . . 5 2o = {โˆ…, 1o}
10 df-pr 4594 . . . . 5 {โˆ…, 1o} = ({โˆ…} โˆช {1o})
119, 10eqtri 2765 . . . 4 2o = ({โˆ…} โˆช {1o})
1211a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2o = ({โˆ…} โˆช {1o}))
13 dprdpr.s . . 3 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
14 dprdpr.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
15 dprdpr.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆฉ ๐‘‡) = { 0 })
16 dmdprdpr.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
17 dmdprdpr.0 . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 19835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†” (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โˆง (๐‘† โˆฉ ๐‘‡) = { 0 })))
1914, 15, 18mpbir2and 712 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ})
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 19834 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}) = ((๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…})) โŠ• (๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o}))))
214ffnd 6674 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} Fn 2o)
22 0ex 5269 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ V
2322prid1 4728 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ {โˆ…, 1o}
2423, 9eleqtrri 2837 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ 2o
25 fnressn 7109 . . . . . . 7 (({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} Fn 2o โˆง โˆ… โˆˆ 2o) โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…}) = {โŸจโˆ…, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜โˆ…)โŸฉ})
2621, 24, 25sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…}) = {โŸจโˆ…, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜โˆ…)โŸฉ})
27 fvpr0o 17448 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜โˆ…) = ๐‘†)
281, 27syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜โˆ…) = ๐‘†)
2928opeq2d 4842 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โŸจโˆ…, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜โˆ…)โŸฉ = โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ)
3029sneqd 4603 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจโˆ…, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜โˆ…)โŸฉ} = {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ})
3126, 30eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…}) = {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ})
3231oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…})) = (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ}))
33 dprdsn 19822 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ V โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐บdom DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ} โˆง (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ}) = ๐‘†))
3422, 1, 33sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ} โˆง (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ}) = ๐‘†))
3534simprd 497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ}) = ๐‘†)
3632, 35eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…})) = ๐‘†)
37 1oex 8427 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ V
3837prid2 4729 . . . . . . . 8 1o โˆˆ {โˆ…, 1o}
3938, 9eleqtrri 2837 . . . . . . 7 1o โˆˆ 2o
40 fnressn 7109 . . . . . . 7 (({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} Fn 2o โˆง 1o โˆˆ 2o) โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o}) = {โŸจ1o, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜1o)โŸฉ})
4121, 39, 40sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o}) = {โŸจ1o, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜1o)โŸฉ})
42 fvpr1o 17449 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜1o) = ๐‘‡)
432, 42syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜1o) = ๐‘‡)
4443opeq2d 4842 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โŸจ1o, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜1o)โŸฉ = โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ)
4544sneqd 4603 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ1o, ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}โ€˜1o)โŸฉ} = {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ})
4641, 45eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o}) = {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ})
4746oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o})) = (๐บ DProd {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}))
48 1on 8429 . . . . . 6 1o โˆˆ On
49 dprdsn 19822 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐บdom DProd {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โˆง (๐บ DProd {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}) = ๐‘‡))
5048, 2, 49sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โˆง (๐บ DProd {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}) = ๐‘‡))
5150simprd 497 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd {โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}) = ๐‘‡)
5247, 51eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o})) = ๐‘‡)
5336, 52oveq12d 7380 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {โˆ…})) โŠ• (๐บ DProd ({โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ} โ†พ {1o}))) = (๐‘† โŠ• ๐‘‡))
5420, 53eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd {โŸจโˆ…, ๐‘†โŸฉ, โŸจ1o, ๐‘‡โŸฉ}) = (๐‘† โŠ• ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  Vcvv 3448   โˆช cun 3913   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5638   โ†พ cres 5640  Oncon0 6322   Fn wfn 6496  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1oc1o 8410  2oc2o 8411  0gc0g 17328  SubGrpcsubg 18929  Cntzccntz 19102  LSSumclsm 19423   DProd cdprd 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-dprd 19781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator