Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdpr 19175
 Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
dprdpr.2 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dprdpr (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 dmdprdpr.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 xpscf 16841 . . . 4 ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
41, 2, 3sylanbrc 585 . . 3 (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
5 1n0 8122 . . . . 5 1o ≠ ∅
65necomi 3073 . . . 4 ∅ ≠ 1o
7 disjsn2 4651 . . . 4 (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
9 df2o3 8120 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
10 df-pr 4573 . . . . 5 {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
119, 10eqtri 2847 . . . 4 2o = ({∅} ∪ {1o})
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
13 dprdpr.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
14 dprdpr.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
15 dprdpr.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
16 dmdprdpr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17 dmdprdpr.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 19174 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
1914, 15, 18mpbir2and 711 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩})
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 19173 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))))
214ffnd 6518 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
22 0ex 5214 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2322prid1 4701 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅, 1o}
2423, 9eleqtrri 2915 . . . . . . 7 ∅ ∈ 2o
25 fnressn 6923 . . . . . . 7 (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
2621, 24, 25sylancl 588 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
27 fvpr0o 16835 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
281, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
2928opeq2d 4813 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
3029sneqd 4582 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
3126, 30eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
3231oveq2d 7175 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
33 dprdsn 19161 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
3422, 1, 33sylancr 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
3534simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
3632, 35eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
37 1oex 8113 . . . . . . . . 9 1o ∈ V
3837prid2 4702 . . . . . . . 8 1o ∈ {∅, 1o}
3938, 9eleqtrri 2915 . . . . . . 7 1o ∈ 2o
40 fnressn 6923 . . . . . . 7 (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
4121, 39, 40sylancl 588 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
42 fvpr1o 16836 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
432, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
4443opeq2d 4813 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
4544sneqd 4582 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
4641, 45eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
4746oveq2d 7175 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
48 1on 8112 . . . . . 6 1o ∈ On
49 dprdsn 19161 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
5048, 2, 49sylancr 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
5150simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5247, 51eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
5336, 52oveq12d 7177 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 𝑇))
5420, 53eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  Vcvv 3497   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {csn 4570  {cpr 4572  ⟨cop 4576   class class class wbr 5069  dom cdm 5558   ↾ cres 5560  Oncon0 6194   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  1oc1o 8098  2oc2o 8099  0gc0g 16716  SubGrpcsubg 18276  Cntzccntz 18448  LSSumclsm 18762   DProd cdprd 19118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-gim 18402  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-dprd 19120 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator