MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdpr 19292
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
dprdpr.2 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dprdpr (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 dmdprdpr.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 xpscf 16942 . . . 4 ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
41, 2, 3sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
5 1n0 8151 . . . . 5 1o ≠ ∅
65necomi 2988 . . . 4 ∅ ≠ 1o
7 disjsn2 4604 . . . 4 (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
9 df2o3 8147 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
10 df-pr 4520 . . . . 5 {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
119, 10eqtri 2761 . . . 4 2o = ({∅} ∪ {1o})
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
13 dprdpr.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
14 dprdpr.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
15 dprdpr.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
16 dmdprdpr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17 dmdprdpr.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 19291 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
1914, 15, 18mpbir2and 713 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩})
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 19290 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))))
214ffnd 6506 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
22 0ex 5176 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2322prid1 4654 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅, 1o}
2423, 9eleqtrri 2832 . . . . . . 7 ∅ ∈ 2o
25 fnressn 6931 . . . . . . 7 (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
2621, 24, 25sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
27 fvpr0o 16936 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
281, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
2928opeq2d 4769 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
3029sneqd 4529 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
3126, 30eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
3231oveq2d 7187 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
33 dprdsn 19278 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
3422, 1, 33sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
3534simprd 499 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
3632, 35eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
37 1oex 8145 . . . . . . . . 9 1o ∈ V
3837prid2 4655 . . . . . . . 8 1o ∈ {∅, 1o}
3938, 9eleqtrri 2832 . . . . . . 7 1o ∈ 2o
40 fnressn 6931 . . . . . . 7 (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
4121, 39, 40sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
42 fvpr1o 16937 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
432, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
4443opeq2d 4769 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
4544sneqd 4529 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
4641, 45eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
4746oveq2d 7187 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
48 1on 8139 . . . . . 6 1o ∈ On
49 dprdsn 19278 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
5048, 2, 49sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
5150simprd 499 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5247, 51eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
5336, 52oveq12d 7189 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 𝑇))
5420, 53eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}) = (𝑆 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  Vcvv 3398  cun 3842  cin 3843  wss 3844  c0 4212  {csn 4517  {cpr 4519  cop 4523   class class class wbr 5031  dom cdm 5526  cres 5528  Oncon0 6173   Fn wfn 6335  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7171  1oc1o 8125  2oc2o 8126  0gc0g 16817  SubGrpcsubg 18392  Cntzccntz 18564  LSSumclsm 18878   DProd cdprd 19235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-tpos 7922  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-er 8321  df-map 8440  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-mhm 18073  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-mulg 18344  df-subg 18395  df-ghm 18475  df-gim 18518  df-cntz 18566  df-oppg 18593  df-lsm 18880  df-cmn 19027  df-dprd 19237
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator