Theorem sumpair 44021

Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpair.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
sumpair.3	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
sumupair.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sumupair.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sumupair.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumupair.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sumpair	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumupair.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4715	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4630	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9324	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		elpri 4649	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
9		sumupair.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10		sumupair.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		sumupair.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14		sumupair.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	12, 16	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	8, 17	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	3, 5, 7, 18	fsumsplit 15691	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20		sumpair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
21		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
22		sumupair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23	20, 21, 9, 22, 10	sumsnd 44012	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24		sumpair.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
25		sumupair.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
26	24, 21, 13, 25, 14	sumsnd 44012	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	23, 26	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	19, 27	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Ⅎwnfc 2881   ≠ wne 2938   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  ℂcc 11110   + caddc 11115  Σcsu 15636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  44023