Theorem sumpair 45001

Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpair.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
sumpair.3	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
sumupair.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sumupair.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sumupair.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumupair.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sumpair	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumupair.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4600	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9292	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		elpri 4621	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
9		sumupair.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10		sumupair.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		sumupair.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14		sumupair.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	12, 16	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	8, 17	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	3, 5, 7, 18	fsumsplit 15714	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20		sumpair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
21		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
22		sumupair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23	20, 21, 9, 22, 10	sumsnd 44992	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24		sumpair.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
25		sumupair.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
26	24, 21, 13, 25, 14	sumsnd 44992	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	23, 26	oveq12d 7412	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	19, 27	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2878   ≠ wne 2927   ∪ cun 3920   ∩ cin 3921  ∅c0 4304  {csn 4597  {cpr 4599  (class class class)co 7394  Fincfn 8922  ℂcc 11084   + caddc 11089  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9411  df-oi 9481  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-exp 14037  df-hash 14306  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  45003