Theorem sumpair 45613

Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpair.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
sumpair.3	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
sumupair.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sumupair.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sumupair.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumupair.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sumpair	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumupair.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4588	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9271	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		elpri 4609	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
9		sumupair.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10		sumupair.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		sumupair.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14		sumupair.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	12, 16	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	8, 17	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	3, 5, 7, 18	fsumsplit 15782	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20		sumpair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
21		nfv 1937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
22		sumupair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23	20, 21, 9, 22, 10	sumsnd 45604	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24		sumpair.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
25		sumupair.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
26	24, 21, 13, 25, 14	sumsnd 45604	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	23, 26	oveq12d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	19, 27	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2912   ≠ wne 2960   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906  ∅c0 4288  {csn 4585  {cpr 4587  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  ℂcc 11086   + caddc 11091  Σcsu 15727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  45615