Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumpair 41661
 Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpair.1 (𝜑𝑘𝐷)
sumpair.3 (𝜑𝑘𝐸)
sumupair.1 (𝜑𝐴𝑉)
sumupair.2 (𝜑𝐵𝑊)
sumupair.3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5 (𝜑𝐴𝐵)
sumupair.8 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sumpair (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair
StepHypRef Expression
1 sumupair.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4611 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4531 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 8781 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 elpri 4550 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
9 sumupair.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10 sumupair.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
129, 11eqeltrd 2893 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 sumupair.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14 sumupair.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2893 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1712, 16jaodan 955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
188, 17sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
193, 5, 7, 18fsumsplit 15093 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20 sumpair.1 . . . 4 (𝜑𝑘𝐷)
21 nfv 1915 . . . 4 𝑘𝜑
22 sumupair.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2320, 21, 9, 22, 10sumsnd 41652 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24 sumpair.3 . . . 4 (𝜑𝑘𝐸)
25 sumupair.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2624, 21, 13, 25, 14sumsnd 41652 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2723, 26oveq12d 7157 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
2819, 27eqtrd 2836 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2939   ≠ wne 2990   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883  ∅c0 4246  {csn 4528  {cpr 4530  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528   + caddc 10533  Σcsu 15038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039 This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  41663
 Copyright terms: Public domain W3C validator