Theorem sumpair 45466

Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpair.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
sumpair.3	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
sumupair.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sumupair.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sumupair.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumupair.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sumpair	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumupair.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4656	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4570	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9234	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		elpri 4591	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
9		sumupair.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10		sumupair.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		sumupair.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14		sumupair.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	12, 16	jaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	8, 17	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	3, 5, 7, 18	fsumsplit 15703	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20		sumpair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
21		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
22		sumupair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23	20, 21, 9, 22, 10	sumsnd 45457	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24		sumpair.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
25		sumupair.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
26	24, 21, 13, 25, 14	sumsnd 45457	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	23, 26	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	19, 27	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  {csn 4567  {cpr 4569  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036   + caddc 11041  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  45468