MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eulem 20106
Description: Lemma for ablfac1eu 20107. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
ablfac1eulem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ablfac1eulem.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑃,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑃(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4017 . 2 𝐴𝐴
2 ablfac1eulem.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 difeq1 4128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
5 0dif 4410 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∖ {𝑃}) = ∅
64, 5eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ∅)
76reseq2d 5999 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
8 res0 6003 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ↾ ∅) = ∅
97, 8eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = ∅)
109oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
1110fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
1211breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
1312notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
143, 13imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))))
16 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
17 difeq1 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝑧 ∖ {𝑃}))
1817reseq2d 5999 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
1918oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
2019fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
2120breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2221notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2316, 22imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))))
2423imbi2d 340 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))))
25 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴))
26 difeq1 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
2726reseq2d 5999 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
2827oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))
2928fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
3029breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3130notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3225, 31imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
3332imbi2d 340 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
34 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
35 difeq1 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝐴 ∖ {𝑃}))
3635reseq2d 5999 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))
3736oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))
3837fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
3938breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4039notbid 318 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4134, 40imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
4241imbi2d 340 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))))
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 nprmdvds1 16739 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
47 ablgrp 19817 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
48 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4948dprd0 20065 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5150simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
5251fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = (♯‘{(0g𝐺)}))
53 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
54 hashsng 14404 . . . . . . . . 9 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
5652, 55eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = 1)
5756breq2d 5159 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)) ↔ 𝑃 ∥ 1))
5845, 57mtbird 325 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
5958a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
60 ssun1 4187 . . . . . . . . . 10 𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
61 sstr 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6260, 61mpan 690 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
6362imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
6564simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
6765, 66dprdf2 20041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
69 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)
7069ssdifssd 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) ⊆ 𝐴)
7168, 70fssresd 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})):((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})⟶(SubGrp‘𝐺))
72 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑞𝑧)
73 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝑧)
7472, 73sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅)
7574difeq1d 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
76 difindir 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7775, 76, 53eqtr3g 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
78 difundir 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
80 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
8165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
8266adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom 𝑇 = 𝐴)
8381, 82, 70dprdres 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
8483simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
8571, 77, 79, 80, 84dprdsplit 20082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) = ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
8685fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
87 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8871fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
89 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9060, 89mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9184, 88, 90dprdres 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9291simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
93 dprdsubg 20058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
95 ssun2 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
96 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9884, 88, 97dprdres 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9998simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
100 dprdsubg 20058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10284, 88, 90, 97, 77, 48dprddisj2 20073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = {(0g𝐺)})
10384, 88, 90, 97, 77, 87dprdcntz2 20072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
104 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
106 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (Base‘𝐺)
107106dprdssv 20050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
108 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
109105, 107, 108sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
110106dprdssv 20050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
111 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
112105, 110, 111sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
11380, 48, 87, 94, 101, 102, 103, 109, 112lsmhash 19737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
11490resabs1d 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
115114oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
116115fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
11797resabs1d 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
118117oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
119118fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
120116, 119oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
12186, 113, 1203eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
122121breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
12343adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ ℙ)
124106dprdssv 20050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
125 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
126105, 124, 125sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
127 hashcl 14391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
129128nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
130106dprdssv 20050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
131 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
132105, 130, 131sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
133 hashcl 14391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
135134nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
136 euclemma 16746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
137123, 129, 135, 136syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
138122, 137bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
13945ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → 𝑞 = 𝑃)
141140sneqd 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → {𝑞} = {𝑃})
142141difeq1d 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ({𝑃} ∖ {𝑃}))
143 difid 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑃} ∖ {𝑃}) = ∅
144142, 143eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ∅)
145144reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
146145, 8eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
147146oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
14851ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
149147, 148eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = {(0g𝐺)})
150149fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘{(0g𝐺)}))
151150, 55eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = 1)
152151breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ 1))
153139, 152mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
154 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℙ)
15669unssbd 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
157 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑞 ∈ V
158157snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞𝐴 ↔ {𝑞} ⊆ 𝐴)
159156, 158sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞𝐴)
160155, 159sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ ℙ)
161 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
162159, 161syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
163 prmdvdsexpr 16750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
164123, 160, 162, 163syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
165 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = 𝑞𝑞 = 𝑃)
166164, 165imbitrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑞 = 𝑃))
167166necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑞𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
168167imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶))
169 disjsn2 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝑃 → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
170169adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
171 disj3 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅ ↔ {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
172170, 171sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
173172reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑇 ↾ {𝑞}) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
174173oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
17565ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝐺dom DProd 𝑇)
17666ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → dom 𝑇 = 𝐴)
177159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞𝐴)
178175, 176, 177dpjlem 20085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝑇𝑞))
179174, 178eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝑇𝑞))
180179fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
181 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
182159, 181syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
184180, 183eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (𝑞𝐶))
185184breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
186168, 185mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
187153, 186pm2.61dane 3026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
188 orel2 890 . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
190138, 189sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
191190con3d 152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
192191expr 456 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
193192a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
19463, 193syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
195194expcom 413 . . . . . 6 𝑞𝑧 → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
196195adantl 481 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
197196a2d 29 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
19815, 24, 33, 42, 59, 197findcard2s 9203 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
1992, 198mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
2001, 199mpi 20 1 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  1c1 11153   · cmul 11157  0cn0 12523  cz 12610  cexp 14098  chash 14365  cdvds 16286  cprime 16704   pCnt cpc 16869  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  SubGrpcsubg 19150  Cntzccntz 19345  odcod 19556  LSSumclsm 19666  Abelcabl 19813   DProd cdprd 20027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-lsm 19668  df-pj1 19669  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-dprd 20029
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  20107
  Copyright terms: Public domain W3C validator