MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eulem 19983
Description: Lemma for ablfac1eu 19984. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„™)
ablfac1c.d ๐ท = {๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆฃ ๐‘ค โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต)}
ablfac1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ ๐ด)
ablfac1eu.1 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘‡ โˆง (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต))
ablfac1eu.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
ablfac1eu.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
ablfac1eu.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
ablfac1eulem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
ablfac1eulem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ})))))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐‘ค,๐‘ฅ,๐ต   ๐ท,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ž,๐‘ค,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘ž   ๐ด,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐‘‡,๐‘ž,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ž,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ค)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ค)   ๐‘ƒ(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ค,๐‘)   ๐บ(๐‘ค)   ๐‘‚(๐‘ค)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4003 . 2 ๐ด โІ ๐ด
2 ablfac1eulem.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
3 sseq1 4006 . . . . . 6 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†” โˆ… โІ ๐ด))
4 difeq1 4114 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}) = (โˆ… โˆ– {๐‘ƒ}))
5 0dif 4400 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ… โˆ– {๐‘ƒ}) = โˆ…
64, 5eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}) = โˆ…)
76reseq2d 5980 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ โˆ…))
8 res0 5984 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โ†พ โˆ…) = โˆ…
97, 8eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})) = โˆ…)
109oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd โˆ…))
1110fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…)))
1211breq2d 5159 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…))))
1312notbid 317 . . . . . 6 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…))))
143, 13imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ((๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†” (โˆ… โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…)))))
1514imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…))))))
16 sseq1 4006 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†” ๐‘ง โІ ๐ด))
17 difeq1 4114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}) = (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))
1817reseq2d 5980 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))
1918oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))
2019fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))))
2120breq2d 5159 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))
2221notbid 317 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))
2316, 22imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†” (๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))))))
2423imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))))
25 sseq1 4006 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†” (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด))
26 difeq1 4114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}) = ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))
2726reseq2d 5980 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))
2827oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))
2928fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))
3029breq2d 5159 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))
3130notbid 317 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))
3225, 31imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ ((๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†” ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))))
3332imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฆ = (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))))) โ†” (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))))
34 sseq1 4006 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†” ๐ด โІ ๐ด))
35 difeq1 4114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}) = (๐ด โˆ– {๐‘ƒ}))
3635reseq2d 5980 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ})))
3736oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ}))))
3837fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ})))))
3938breq2d 5159 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ}))))))
4039notbid 317 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ}))))))
4134, 40imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†” (๐ด โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ})))))))
4241imbi2d 339 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ฆ โˆ– {๐‘ƒ})))))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐ด โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ}))))))))
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
44 nprmdvds1 16647 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
47 ablgrp 19694 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
48 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
4948dprd0 19942 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บdom DProd โˆ… โˆง (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)}))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd โˆ… โˆง (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)}))
5150simprd 494 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)})
5251fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…)) = (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}))
53 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐บ) โˆˆ V
54 hashsng 14333 . . . . . . . . 9 ((0gโ€˜๐บ) โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}) = 1
5652, 55eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…)) = 1)
5756breq2d 5159 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1))
5845, 57mtbird 324 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…)))
5958a1d 25 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd โˆ…))))
60 ssun1 4171 . . . . . . . . . 10 ๐‘ง โІ (๐‘ง โˆช {๐‘ž})
61 sstr 3989 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โІ (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ด)
6260, 61mpan 686 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ๐‘ง โІ ๐ด)
6362imim1i 63 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘‡ โˆง (๐บ DProd ๐‘‡) = ๐ต))
6564simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
6765, 66dprdf2 19918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘‡:๐ดโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
69 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)
7069ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}) โІ ๐ด)
7168, 70fssresd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})):((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
72 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง)
73 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ง โˆฉ {๐‘ž}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง)
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ง โˆฉ {๐‘ž}) = โˆ…)
7574difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ง โˆฉ {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}) = (โˆ… โˆ– {๐‘ƒ}))
76 difindir 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ง โˆฉ {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}) = ((๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}) โˆฉ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))
7775, 76, 53eqtr3g 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}) โˆฉ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})) = โˆ…)
78 difundir 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}) = ((๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}) โˆช ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}) = ((๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}) โˆช ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))
80 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (LSSumโ€˜๐บ) = (LSSumโ€˜๐บ)
8165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
8266adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
8381, 82, 70dprdres 19939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ (๐บ DProd ๐‘‡)))
8483simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))
8571, 77, 79, 80, 84dprdsplit 19959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))) = ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))
8685fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))))
87 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
8871fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ dom (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) = ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))
89 ssdif 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โІ (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}) โІ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))
9060, 89mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}) โІ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))
9184, 88, 90dprdres 19939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})) โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))
9291simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))
93 dprdsubg 19935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
95 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {๐‘ž} โІ (๐‘ง โˆช {๐‘ž})
96 ssdif 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({๐‘ž} โІ (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โ†’ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}) โІ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}) โІ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))
9884, 88, 97dprdres 19939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})) โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))
9998simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))
100 dprdsubg 19935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บdom DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
10284, 88, 90, 97, 77, 48dprddisj2 19950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆฉ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) = {(0gโ€˜๐บ)})
10384, 88, 90, 97, 77, 87dprdcntz2 19949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))
104 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
106 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
107106dprdssv 19927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต
108 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
109105, 107, 108sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
110106dprdssv 19927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต
111 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
112105, 110, 111sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
11380, 48, 87, 94, 101, 102, 103, 109, 112lsmhash 19614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))(LSSumโ€˜๐บ)(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))) = ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))))
11490resabs1d 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))
115114oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))
116115fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))))
11797resabs1d 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))
118117oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))
119118fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))
120116, 119oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd ((๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})) โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))) = ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))))
12186, 113, 1203eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))) = ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))))
122121breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))))
12343adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
124106dprdssv 19927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต
125 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
126105, 124, 125sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
127 hashcl 14320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„•0)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„•0)
129128nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„ค)
130106dprdssv 19927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต
131 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โІ ๐ต) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
132105, 130, 131sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin)
133 hashcl 14320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„•0)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„•0)
135134nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„ค)
136 euclemma 16654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))))
137123, 129, 135, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))))
138122, 137bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))))
13945ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
140 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ž = ๐‘ƒ)
141140sneqd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ž} = {๐‘ƒ})
142141difeq1d 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}) = ({๐‘ƒ} โˆ– {๐‘ƒ}))
143 difid 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({๐‘ƒ} โˆ– {๐‘ƒ}) = โˆ…
144142, 143eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}) = โˆ…)
145144reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})) = (๐‘‡ โ†พ โˆ…))
146145, 8eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})) = โˆ…)
147146oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐บ DProd โˆ…))
14851ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (๐บ DProd โˆ…) = {(0gโ€˜๐บ)})
149147, 148eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) = {(0gโ€˜๐บ)})
150149fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜{(0gโ€˜๐บ)}))
151150, 55eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) = 1)
152151breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1))
153139, 152mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž = ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))
154 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„™)
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐ด โІ โ„™)
15669unssbd 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ {๐‘ž} โІ ๐ด)
157 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘ž โˆˆ V
158157snss 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ž โˆˆ ๐ด โ†” {๐‘ž} โІ ๐ด)
159156, 158sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ด)
160155, 159sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
161 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
162159, 161syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
163 prmdvdsexpr 16658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ = ๐‘ž))
164123, 160, 162, 163syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ = ๐‘ž))
165 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ = ๐‘ž โ†” ๐‘ž = ๐‘ƒ)
166164, 165imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ) โ†’ ๐‘ž = ๐‘ƒ))
167166necon3ad 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ)))
168167imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ))
169 disjsn2 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ โ†’ ({๐‘ž} โˆฉ {๐‘ƒ}) = โˆ…)
170169adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ ({๐‘ž} โˆฉ {๐‘ƒ}) = โˆ…)
171 disj3 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({๐‘ž} โˆฉ {๐‘ƒ}) = โˆ… โ†” {๐‘ž} = ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))
172170, 171sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ž} = ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))
173172reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ†พ {๐‘ž}) = (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))
174173oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ {๐‘ž})) = (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))
17565ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘‡)
17666ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ dom ๐‘‡ = ๐ด)
177159adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ๐ด)
178175, 176, 177dpjlem 19962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ {๐‘ž})) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
179174, 178eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))) = (๐‘‡โ€˜๐‘ž))
180179fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)))
181 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
182159, 181syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
183182adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ž)) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
184180, 183eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) = (๐‘žโ†‘๐ถ))
185184breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘žโ†‘๐ถ)))
186168, 185mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โˆง ๐‘ž โ‰  ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))
187153, 186pm2.61dane 3027 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))))
188 orel2 887 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ({๐‘ž} โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))
190138, 189sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))))
191190con3d 152 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โˆง (๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด)) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))
192191expr 455 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))))
193192a2d 29 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))))
19463, 193syl5 34 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ})))))))
195194expcom 412 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))))
196195adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ}))))) โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))))
197196a2d 29 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ž โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐‘ง โˆ– {๐‘ƒ})))))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ ((๐‘ง โˆช {๐‘ž}) โˆ– {๐‘ƒ}))))))))
19815, 24, 33, 42, 59, 197findcard2s 9167 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐ด โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ})))))))
1992, 198mpcom 38 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โІ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ}))))))
2001, 199mpi 20 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐บ DProd (๐‘‡ โ†พ (๐ด โˆ– {๐‘ƒ})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  dom cdm 5675   โ†พ cres 5677  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612   pCnt cpc 16773  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220  odcod 19433  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690   DProd cdprd 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-pj1 19546  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-dprd 19906
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  19984
  Copyright terms: Public domain W3C validator