MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eulem 19123
Description: Lemma for ablfac1eu 19124. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
ablfac1eulem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ablfac1eulem.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑃,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑃(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3986 . 2 𝐴𝐴
2 ablfac1eulem.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 difeq1 4089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
5 0dif 4352 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∖ {𝑃}) = ∅
64, 5syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ∅)
76reseq2d 5846 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
8 res0 5850 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ↾ ∅) = ∅
97, 8syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = ∅)
109oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
1110fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
1211breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
1312notbid 319 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
143, 13imbi12d 346 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))))
1514imbi2d 342 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))))
16 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
17 difeq1 4089 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝑧 ∖ {𝑃}))
1817reseq2d 5846 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
1918oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
2019fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
2120breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2221notbid 319 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2316, 22imbi12d 346 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))))
2423imbi2d 342 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))))
25 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴))
26 difeq1 4089 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
2726reseq2d 5846 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
2827oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))
2928fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
3029breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3130notbid 319 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3225, 31imbi12d 346 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
3332imbi2d 342 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
34 sseq1 3989 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
35 difeq1 4089 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝐴 ∖ {𝑃}))
3635reseq2d 5846 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))
3736oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))
3837fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
3938breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4039notbid 319 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4134, 40imbi12d 346 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
4241imbi2d 342 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))))
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 nprmdvds1 16038 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
47 ablgrp 18840 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
48 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4948dprd0 19082 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5150simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
5251fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = (♯‘{(0g𝐺)}))
53 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
54 hashsng 13718 . . . . . . . . 9 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
5652, 55syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = 1)
5756breq2d 5069 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)) ↔ 𝑃 ∥ 1))
5845, 57mtbird 326 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
5958a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
60 ssun1 4145 . . . . . . . . . 10 𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
61 sstr 3972 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6260, 61mpan 686 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
6362imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
6564simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
6765, 66dprdf2 19058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
69 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)
7069ssdifssd 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) ⊆ 𝐴)
7168, 70fssresd 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})):((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})⟶(SubGrp‘𝐺))
72 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑞𝑧)
73 disjsn 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝑧)
7472, 73sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅)
7574difeq1d 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
76 difindir 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7775, 76, 53eqtr3g 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
78 difundir 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
80 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
8165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
8266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom 𝑇 = 𝐴)
8381, 82, 70dprdres 19079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
8483simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
8571, 77, 79, 80, 84dprdsplit 19099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) = ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
8685fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
87 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8871fdmd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
89 ssdif 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9060, 89mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9184, 88, 90dprdres 19079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9291simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
93 dprdsubg 19075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
95 ssun2 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
96 ssdif 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9884, 88, 97dprdres 19079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9998simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
100 dprdsubg 19075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10284, 88, 90, 97, 77, 48dprddisj2 19090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = {(0g𝐺)})
10384, 88, 90, 97, 77, 87dprdcntz2 19089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
104 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
106 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (Base‘𝐺)
107106dprdssv 19067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
108 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
109105, 107, 108sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
110106dprdssv 19067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
111 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
112105, 110, 111sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
11380, 48, 87, 94, 101, 102, 103, 109, 112lsmhash 18760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
11490resabs1d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
115114oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
116115fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
11797resabs1d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
118117oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
119118fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
120116, 119oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
12186, 113, 1203eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
122121breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
12343adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ ℙ)
124106dprdssv 19067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
125 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
126105, 124, 125sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
127 hashcl 13705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
129128nn0zd 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
130106dprdssv 19067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
131 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
132105, 130, 131sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
133 hashcl 13705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
135134nn0zd 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
136 euclemma 16045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
137123, 129, 135, 136syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
138122, 137bitrd 280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
13945ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
140 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → 𝑞 = 𝑃)
141140sneqd 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → {𝑞} = {𝑃})
142141difeq1d 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ({𝑃} ∖ {𝑃}))
143 difid 4327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑃} ∖ {𝑃}) = ∅
144142, 143syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ∅)
145144reseq2d 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
146145, 8syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
147146oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
14851ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
149147, 148eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = {(0g𝐺)})
150149fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘{(0g𝐺)}))
151150, 55syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = 1)
152151breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ 1))
153139, 152mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
154 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℙ)
15669unssbd 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
157 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑞 ∈ V
158157snss 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞𝐴 ↔ {𝑞} ⊆ 𝐴)
159156, 158sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞𝐴)
160155, 159sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ ℙ)
161 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
162159, 161syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
163 prmdvdsexpr 16049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
164123, 160, 162, 163syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
165 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = 𝑞𝑞 = 𝑃)
166164, 165syl6ib 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑞 = 𝑃))
167166necon3ad 3026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑞𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
168167imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶))
169 disjsn2 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝑃 → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
170169adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
171 disj3 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅ ↔ {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
172170, 171sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
173172reseq2d 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑇 ↾ {𝑞}) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
174173oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
17565ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝐺dom DProd 𝑇)
17666ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → dom 𝑇 = 𝐴)
177159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞𝐴)
178175, 176, 177dpjlem 19102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝑇𝑞))
179174, 178eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝑇𝑞))
180179fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
181 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
182159, 181syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
183182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
184180, 183eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (𝑞𝐶))
185184breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
186168, 185mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
187153, 186pm2.61dane 3101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
188 orel2 884 . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
190138, 189sylbid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
191190con3d 155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
192191expr 457 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
193192a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
19463, 193syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
195194expcom 414 . . . . . 6 𝑞𝑧 → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
196195adantl 482 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
197196a2d 29 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
19815, 24, 33, 42, 59, 197findcard2s 8747 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
1992, 198mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
2001, 199mpi 20 1 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  1c1 10526   · cmul 10530  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13417  chash 13678  cdvds 15595  cprime 16003   pCnt cpc 16161  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Cntzccntz 18383  odcod 18581  LSSumclsm 18688  Abelcabl 18836   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-pj1 18691  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  19124
  Copyright terms: Public domain W3C validator