MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eulem 20041
Description: Lemma for ablfac1eu 20042. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
ablfac1eulem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ablfac1eulem.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑃,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑃(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3999 . 2 𝐴𝐴
2 ablfac1eulem.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4002 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 difeq1 4111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
5 0dif 4403 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∖ {𝑃}) = ∅
64, 5eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ∅)
76reseq2d 5985 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
8 res0 5989 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ↾ ∅) = ∅
97, 8eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = ∅)
109oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
1110fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
1211breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
1312notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
143, 13imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))))
1514imbi2d 339 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))))
16 sseq1 4002 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
17 difeq1 4111 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝑧 ∖ {𝑃}))
1817reseq2d 5985 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
1918oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
2019fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
2120breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2221notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2316, 22imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))))
2423imbi2d 339 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))))
25 sseq1 4002 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴))
26 difeq1 4111 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
2726reseq2d 5985 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
2827oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))
2928fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
3029breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3130notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3225, 31imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
3332imbi2d 339 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
34 sseq1 4002 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
35 difeq1 4111 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝐴 ∖ {𝑃}))
3635reseq2d 5985 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))
3736oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))
3837fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
3938breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4039notbid 317 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4134, 40imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
4241imbi2d 339 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))))
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 nprmdvds1 16680 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
47 ablgrp 19752 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4948dprd0 20000 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5150simprd 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
5251fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = (♯‘{(0g𝐺)}))
53 fvex 6909 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
54 hashsng 14364 . . . . . . . . 9 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
5652, 55eqtrdi 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = 1)
5756breq2d 5161 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)) ↔ 𝑃 ∥ 1))
5845, 57mtbird 324 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
5958a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
60 ssun1 4170 . . . . . . . . . 10 𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
61 sstr 3985 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6260, 61mpan 688 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
6362imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
6564simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
6765, 66dprdf2 19976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
69 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)
7069ssdifssd 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) ⊆ 𝐴)
7168, 70fssresd 6764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})):((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})⟶(SubGrp‘𝐺))
72 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑞𝑧)
73 disjsn 4717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝑧)
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅)
7574difeq1d 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
76 difindir 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7775, 76, 53eqtr3g 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
78 difundir 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
80 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
8165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
8266adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom 𝑇 = 𝐴)
8381, 82, 70dprdres 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
8483simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
8571, 77, 79, 80, 84dprdsplit 20017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) = ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
8685fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
87 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8871fdmd 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
89 ssdif 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9060, 89mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9184, 88, 90dprdres 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9291simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
93 dprdsubg 19993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
95 ssun2 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
96 ssdif 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9884, 88, 97dprdres 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9998simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
100 dprdsubg 19993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10284, 88, 90, 97, 77, 48dprddisj2 20008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = {(0g𝐺)})
10384, 88, 90, 97, 77, 87dprdcntz2 20007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
104 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
106 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (Base‘𝐺)
107106dprdssv 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
108 ssfi 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
109105, 107, 108sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
110106dprdssv 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
111 ssfi 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
112105, 110, 111sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
11380, 48, 87, 94, 101, 102, 103, 109, 112lsmhash 19672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
11490resabs1d 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
115114oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
116115fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
11797resabs1d 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
118117oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
119118fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
120116, 119oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
12186, 113, 1203eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
122121breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
12343adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ ℙ)
124106dprdssv 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
125 ssfi 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
126105, 124, 125sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
127 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
129128nn0zd 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
130106dprdssv 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
131 ssfi 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
132105, 130, 131sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
133 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
135134nn0zd 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
136 euclemma 16687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
137123, 129, 135, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
138122, 137bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
13945ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
140 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → 𝑞 = 𝑃)
141140sneqd 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → {𝑞} = {𝑃})
142141difeq1d 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ({𝑃} ∖ {𝑃}))
143 difid 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑃} ∖ {𝑃}) = ∅
144142, 143eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ∅)
145144reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
146145, 8eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
147146oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
14851ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
149147, 148eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = {(0g𝐺)})
150149fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘{(0g𝐺)}))
151150, 55eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = 1)
152151breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ 1))
153139, 152mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
154 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℙ)
15669unssbd 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
157 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑞 ∈ V
158157snss 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞𝐴 ↔ {𝑞} ⊆ 𝐴)
159156, 158sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞𝐴)
160155, 159sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ ℙ)
161 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
162159, 161syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
163 prmdvdsexpr 16691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
164123, 160, 162, 163syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
165 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = 𝑞𝑞 = 𝑃)
166164, 165imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑞 = 𝑃))
167166necon3ad 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑞𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
168167imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶))
169 disjsn2 4718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝑃 → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
170169adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
171 disj3 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅ ↔ {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
172170, 171sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
173172reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑇 ↾ {𝑞}) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
174173oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
17565ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝐺dom DProd 𝑇)
17666ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → dom 𝑇 = 𝐴)
177159adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞𝐴)
178175, 176, 177dpjlem 20020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝑇𝑞))
179174, 178eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝑇𝑞))
180179fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
181 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
182159, 181syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
183182adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
184180, 183eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (𝑞𝐶))
185184breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
186168, 185mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
187153, 186pm2.61dane 3018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
188 orel2 888 . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
190138, 189sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
191190con3d 152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
192191expr 455 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
193192a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
19463, 193syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
195194expcom 412 . . . . . 6 𝑞𝑧 → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
196195adantl 480 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
197196a2d 29 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
19815, 24, 33, 42, 59, 197findcard2s 9190 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
1992, 198mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
2001, 199mpi 20 1 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  1c1 11141   · cmul 11145  0cn0 12505  cz 12591  cexp 14062  chash 14325  cdvds 16234  cprime 16645   pCnt cpc 16808  Basecbs 17183  0gc0g 17424  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19083  Cntzccntz 19278  odcod 19491  LSSumclsm 19601  Abelcabl 19748   DProd cdprd 19962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-pj1 19604  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-dprd 19964
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  20042
  Copyright terms: Public domain W3C validator