Theorem ablfac1eulem 20040

Description: Lemma for ablfac1eu 20041. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
ablfac1eu.1	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
ablfac1eulem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ablfac1eulem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ablfac1eulem	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑃,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑃(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eulem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3945	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		ablfac1eulem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4		difeq1 4060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
5		0dif 4346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∖ {𝑃}) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ∅)
7	6	reseq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
8		res0 5942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ↾ ∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = ∅)
10	9	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
11	10	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
12	11	breq2d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
13	12	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
14	3, 13	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))))
16		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑧 ⊆ 𝐴))
17		difeq1 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝑧 ∖ {𝑃}))
18	17	reseq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
19	18	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
20	19	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
21	20	breq2d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
22	21	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
23	16, 22	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))))
24	23	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))))
25		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴))
26		difeq1 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
27	26	reseq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
28	27	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))
29	28	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
30	29	breq2d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
31	30	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
32	25, 31	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
33	32	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
34		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
35		difeq1 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝐴 ∖ {𝑃}))
36	35	reseq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))
37	36	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))
38	37	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
39	38	breq2d 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
40	39	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
41	34, 40	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
42	41	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))))
43		ablfac1eulem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
44		nprmdvds1 16667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
46		ablfac1.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
47		ablgrp 19751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
49	48	dprd0 19999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)}))
50	46, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)}))
51	50	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)})
52	51	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
53		fvex 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
54		hashsng 14322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
56	52, 55	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = 1)
57	56	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)) ↔ 𝑃 ∥ 1))
58	45, 57	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
59	58	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
60		ssun1 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
61		sstr 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
62	60, 61	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ⊆ 𝐴)
63	62	imim1i 63	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
64		ablfac1eu.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
65	64	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑇)
66		ablfac1eu.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
67	65, 66	dprdf2 19975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
69		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)
70	69	ssdifssd 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) ⊆ 𝐴)
71	68, 70	fssresd 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})):((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})⟶(SubGrp‘𝐺))
72		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑞 ∈ 𝑧)
73		disjsn 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞 ∈ 𝑧)
74	72, 73	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅)
75	74	difeq1d 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
76		difindir 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
77	75, 76, 5	3eqtr3g 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
78		difundir 4232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
80		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
81	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
82	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom 𝑇 = 𝐴)
83	81, 82, 70	dprdres 19996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
84	83	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
85	71, 77, 79, 80, 84	dprdsplit 20016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) = ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
86	85	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
87		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
88	71	fdmd 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
89		ssdif 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
90	60, 89	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
91	84, 88, 90	dprdres 19996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
92	91	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
93		dprdsubg 19992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
95		ssun2 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
96		ssdif 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
97	95, 96	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
98	84, 88, 97	dprdres 19996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
99	98	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
100		dprdsubg 19992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
102	84, 88, 90, 97, 77, 48	dprddisj2 20007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = {(0g‘𝐺)})
103	84, 88, 90, 97, 77, 87	dprdcntz2 20006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
104		ablfac1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
106		ablfac1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
107	106	dprdssv 19984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
108		ssfi 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
109	105, 107, 108	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
110	106	dprdssv 19984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
111		ssfi 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
112	105, 110, 111	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
113	80, 48, 87, 94, 101, 102, 103, 109, 112	lsmhash 19671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
114	90	resabs1d 5967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
115	114	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
116	115	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
117	97	resabs1d 5967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
118	117	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
119	118	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
120	116, 119	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
121	86, 113, 120	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
122	121	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
123	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ ℙ)
124	106	dprdssv 19984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
125		ssfi 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
126	105, 124, 125	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
127		hashcl 14309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
129	128	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
130	106	dprdssv 19984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
131		ssfi 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
132	105, 130, 131	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
133		hashcl 14309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
135	134	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
136		euclemma 16674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
137	123, 129, 135, 136	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
138	122, 137	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
139	45	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
140		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → 𝑞 = 𝑃)
141	140	sneqd 4580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → {𝑞} = {𝑃})
142	141	difeq1d 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ({𝑃} ∖ {𝑃}))
143		difid 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({𝑃} ∖ {𝑃}) = ∅
144	142, 143	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ∅)
145	144	reseq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
146	145, 8	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
147	146	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
148	51	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g‘𝐺)})
149	147, 148	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = {(0g‘𝐺)})
150	149	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
151	150, 55	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = 1)
152	151	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ 1))
153	139, 152	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
154		ablfac1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℙ)
156	69	unssbd 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
157		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑞 ∈ V
158	157	snss 4729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 ↔ {𝑞} ⊆ 𝐴)
159	156, 158	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
160	155, 159	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ ℙ)
161		ablfac1eu.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
162	159, 161	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
163		prmdvdsexpr 16678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑞↑𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
164	123, 160, 162, 163	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞↑𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
165		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑃)
166	164, 165	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞↑𝐶) → 𝑞 = 𝑃))
167	166	necon3ad 2946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞↑𝐶)))
168	167	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞↑𝐶))
169		disjsn2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
170	169	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
171		disj3 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅ ↔ {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
172	170, 171	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
173	172	reseq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (𝑇 ↾ {𝑞}) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
174	173	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
175	65	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → 𝐺dom DProd 𝑇)
176	66	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → dom 𝑇 = 𝐴)
177	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → 𝑞 ∈ 𝐴)
178	175, 176, 177	dpjlem 20019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝑇‘𝑞))
179	174, 178	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝑇‘𝑞))
180	179	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝑇‘𝑞)))
181		ablfac1eu.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
182	159, 181	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
183	182	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (♯‘(𝑇‘𝑞)) = (𝑞↑𝐶))
184	180, 183	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (𝑞↑𝐶))
185	184	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (𝑞↑𝐶)))
186	168, 185	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
187	153, 186	pm2.61dane 3020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
188		orel2 891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
190	138, 189	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
191	190	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
192	191	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
193	192	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
194	63, 193	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝑧) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
195	194	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑞 ∈ 𝑧 → (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
196	195	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝑧) → (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
197	196	a2d 29	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞 ∈ 𝑧) → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
198	15, 24, 33, 42, 59, 197	findcard2s 9093	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
199	2, 198	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
200	1, 199	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  1c1 11030   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014  ♯chash 14283   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631   pCnt cpc 16798  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  Cntzccntz 19281  odcod 19490  LSSumclsm 19600  Abelcabl 19747   DProd cdprd 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-pj1 19603  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-dprd 19963

This theorem is referenced by:  ablfac1eu  20041