MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eulem 18738
Description: Lemma for ablfac1eu 18739. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
ablfac1eulem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ablfac1eulem.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑃,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑃(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3783 . 2 𝐴𝐴
2 ablfac1eulem.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 difeq1 3883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
5 0dif 4139 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∖ {𝑃}) = ∅
64, 5syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ∅)
76reseq2d 5565 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
8 res0 5569 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ↾ ∅) = ∅
97, 8syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = ∅)
109oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
1110fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
1211breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
1312notbid 309 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
143, 13imbi12d 335 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))))
1514imbi2d 331 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))))
16 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
17 difeq1 3883 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝑧 ∖ {𝑃}))
1817reseq2d 5565 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
1918oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
2019fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
2120breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2221notbid 309 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
2316, 22imbi12d 335 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))))
2423imbi2d 331 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))))
25 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴))
26 difeq1 3883 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑦 ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
2726reseq2d 5565 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
2827oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))
2928fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
3029breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3130notbid 309 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
3225, 31imbi12d 335 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
3332imbi2d 331 . . . 4 (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑞}) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
34 sseq1 3786 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
35 difeq1 3883 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∖ {𝑃}) = (𝐴 ∖ {𝑃}))
3635reseq2d 5565 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))
3736oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))
3837fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
3938breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4039notbid 309 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
4134, 40imbi12d 335 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
4241imbi2d 331 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑦 ∖ {𝑃})))))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))))
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 nprmdvds1 15697 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
47 ablgrp 18464 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
48 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4948dprd0 18697 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
5150simprd 489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
5251fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = (♯‘{(0g𝐺)}))
53 fvex 6388 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
54 hashsng 13361 . . . . . . . . 9 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
5652, 55syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd ∅)) = 1)
5756breq2d 4821 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)) ↔ 𝑃 ∥ 1))
5845, 57mtbird 316 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅)))
5958a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd ∅))))
60 ssun1 3938 . . . . . . . . . 10 𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
61 sstr 3769 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6260, 61mpan 681 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
6362imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
6564simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
6765, 66dprdf2 18673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
69 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)
7069ssdifssd 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) ⊆ 𝐴)
7168, 70fssresd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})):((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})⟶(SubGrp‘𝐺))
72 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑞𝑧)
73 disjsn 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝑧)
7472, 73sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∩ {𝑞}) = ∅)
7574difeq1d 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = (∅ ∖ {𝑃}))
76 difindir 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∩ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7775, 76, 53eqtr3g 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∩ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
78 difundir 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃}))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}) = ((𝑧 ∖ {𝑃}) ∪ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
80 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
8165adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd 𝑇)
8266adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom 𝑇 = 𝐴)
8381, 82, 70dprdres 18694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
8483simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))
8571, 77, 79, 80, 84dprdsplit 18714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))) = ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
8685fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
87 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8871fdmd 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → dom (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) = ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
89 ssdif 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9060, 89mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9184, 88, 90dprdres 18694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9291simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
93 dprdsubg 18690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
95 ssun2 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞})
96 ssdif 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑞} ⊆ (𝑧 ∪ {𝑞}) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) ⊆ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))
9884, 88, 97dprdres 18694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))
9998simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
100 dprdsubg 18690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺dom DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10284, 88, 90, 97, 77, 48dprddisj2 18705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = {(0g𝐺)})
10384, 88, 90, 97, 77, 87dprdcntz2 18704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
104 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
106 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (Base‘𝐺)
107106dprdssv 18682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
108 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
109105, 107, 108sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
110106dprdssv 18682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
111 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
112105, 110, 111sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
11380, 48, 87, 94, 101, 102, 103, 109, 112lsmhash 18382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘((𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
11490resabs1d 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))
115114oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))
116115fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))
11797resabs1d 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
118117oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
119118fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
120116, 119oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd ((𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})) ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
12186, 113, 1203eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) = ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))))
122121breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
12343adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ ℙ)
124106dprdssv 18682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
125 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
126105, 124, 125sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
127 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
129128nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
130106dprdssv 18682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵
131 ssfi 8387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
132105, 130, 131sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin)
133 hashcl 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℕ0)
135134nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ)
136 euclemma 15704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
137123, 129, 135, 136syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ ((♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) · (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
138122, 137bitrd 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) ↔ (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))))
13945ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 1)
140 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → 𝑞 = 𝑃)
141140sneqd 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → {𝑞} = {𝑃})
142141difeq1d 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ({𝑃} ∖ {𝑃}))
143 difid 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑃} ∖ {𝑃}) = ∅
144142, 143syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ({𝑞} ∖ {𝑃}) = ∅)
145144reseq2d 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = (𝑇 ↾ ∅))
146145, 8syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})) = ∅)
147146oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝐺 DProd ∅))
14851ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
149147, 148eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = {(0g𝐺)})
150149fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘{(0g𝐺)}))
151150, 55syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = 1)
152151breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ 1))
153139, 152mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞 = 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
154 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℙ)
15669unssbd 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → {𝑞} ⊆ 𝐴)
157 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑞 ∈ V
158157snss 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞𝐴 ↔ {𝑞} ⊆ 𝐴)
159156, 158sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞𝐴)
160155, 159sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ ℙ)
161 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
162159, 161syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
163 prmdvdsexpr 15708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
164123, 160, 162, 163syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑃 = 𝑞))
165 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = 𝑞𝑞 = 𝑃)
166164, 165syl6ib 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑞𝐶) → 𝑞 = 𝑃))
167166necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑞𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
168167imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶))
169 disjsn2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝑃 → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
170169adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅)
171 disj3 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑞} ∩ {𝑃}) = ∅ ↔ {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
172170, 171sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → {𝑞} = ({𝑞} ∖ {𝑃}))
173172reseq2d 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑇 ↾ {𝑞}) = (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))
174173oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))
17565ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝐺dom DProd 𝑇)
17666ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → dom 𝑇 = 𝐴)
177159adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞𝐴)
178175, 176, 177dpjlem 18717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {𝑞})) = (𝑇𝑞))
179174, 178eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))) = (𝑇𝑞))
180179fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (♯‘(𝑇𝑞)))
181 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
182159, 181syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
183182adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
184180, 183eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) = (𝑞𝐶))
185184breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) ↔ 𝑃 ∥ (𝑞𝐶)))
186168, 185mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑞𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
187153, 186pm2.61dane 3024 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))))
188 orel2 914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃})))) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → ((𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) ∨ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ({𝑞} ∖ {𝑃}))))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
190138, 189sylbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))) → 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))))
191190con3d 149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑞𝑧 ∧ (𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))
192191expr 448 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → (¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))) → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
193192a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
19463, 193syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃})))))))
195194expcom 402 . . . . . 6 𝑞𝑧 → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
196195adantl 473 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃}))))) → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
197196a2d 29 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑞𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝑧 ∖ {𝑃})))))) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ ((𝑧 ∪ {𝑞}) ∖ {𝑃}))))))))
19815, 24, 33, 42, 59, 197findcard2s 8408 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))))
1992, 198mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃}))))))
2001, 199mpi 20 1 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (♯‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴 ∖ {𝑃})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cres 5279  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  1c1 10190   · cmul 10194  0cn0 11538  cz 11624  cexp 13067  chash 13321  cdvds 15265  cprime 15665   pCnt cpc 15820  Basecbs 16130  0gc0g 16366  Grpcgrp 17689  SubGrpcsubg 17852  Cntzccntz 18011  odcod 18208  LSSumclsm 18313  Abelcabl 18460   DProd cdprd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-gim 17965  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-lsm 18315  df-pj1 18316  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-dprd 18661
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  18739
  Copyright terms: Public domain W3C validator