Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodpr 30136
Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
prodpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
prodpr.a (𝜑𝐴𝑉)
prodpr.b (𝜑𝐵𝑊)
prodpr.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodpr (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodpr
StepHypRef Expression
1 prodpr.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4479 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4401 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 8523 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 vex 3401 . . . . 5 𝑘 ∈ V
98elpr 4421 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
10 prodpr.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1110adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
12 prodpr.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1312adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
1411, 13eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
15 prodpr.2 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1615adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
17 prodpr.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
1817adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
1916, 18eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
2014, 19jaodan 943 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
219, 20sylan2b 587 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐷 ∈ ℂ)
223, 5, 7, 21fprodsplit 15099 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷))
23 prodpr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2410prodsn 15095 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐸 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
2523, 12, 24syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
26 prodpr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2715prodsn 15095 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
2826, 17, 27syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
2925, 28oveq12d 6940 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷) = (𝐸 · 𝐹))
3022, 29eqtrd 2814 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cun 3790  cin 3791  c0 4141  {csn 4398  {cpr 4400  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cc 10270   · cmul 10277  cprod 15038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-prod 15039
This theorem is referenced by:  prodtp  30137
  Copyright terms: Public domain W3C validator