Theorem prodpr 30860

Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodpr	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4628	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4544	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 8946	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		vex 3412	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
9	8	elpr 4564	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
10		prodpr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
11	10	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
12		prodpr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
13	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
14	11, 13	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
15		prodpr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
16	15	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
17		prodpr.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
18	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
19	16, 18	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
20	14, 19	jaodan 958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	9, 20	sylan2b 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	3, 5, 7, 21	fprodsplit 15528	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷))
23		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
24	10	prodsn 15524	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
25	23, 12, 24	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
26		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
27	15	prodsn 15524	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
28	26, 17, 27	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
29	25, 28	oveq12d 7231	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷) = (𝐸 · 𝐹))
30	22, 29	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865  ∅c0 4237  {csn 4541  {cpr 4543  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  ℂcc 10727   · cmul 10734  ∏cprod 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468

This theorem is referenced by:  prodtp  30861