![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > prodpr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr.1 | โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) |
prodpr.2 | โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) |
prodpr.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
prodpr.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
prodpr.e | โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
prodpr.f | โข (๐ โ ๐น โ โ) |
prodpr.3 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr | โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prodpr.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
2 | disjsn2 4708 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ต โ ({๐ด} โฉ {๐ต}) = โ ) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ({๐ด} โฉ {๐ต}) = โ ) |
4 | df-pr 4623 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โช {๐ต}) | |
5 | 4 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โช {๐ต})) |
6 | prfi 9318 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต} โ Fin | |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ Fin) |
8 | vex 3470 | . . . . 5 โข ๐ โ V | |
9 | 8 | elpr 4643 | . . . 4 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต)) |
10 | prodpr.1 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) | |
11 | 10 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท = ๐ธ) |
12 | prodpr.e | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) | |
13 | 12 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ธ โ โ) |
14 | 11, 13 | eqeltrd 2825 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
15 | prodpr.2 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) | |
16 | 15 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท = ๐น) |
17 | prodpr.f | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐น โ โ) | |
18 | 17 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐น โ โ) |
19 | 16, 18 | eqeltrd 2825 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท โ โ) |
20 | 14, 19 | jaodan 954 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต)) โ ๐ท โ โ) |
21 | 9, 20 | sylan2b 593 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ {๐ด, ๐ต}) โ ๐ท โ โ) |
22 | 3, 5, 7, 21 | fprodsplit 15907 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (โ๐ โ {๐ด}๐ท ยท โ๐ โ {๐ต}๐ท)) |
23 | prodpr.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
24 | 10 | prodsn 15903 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ธ โ โ) โ โ๐ โ {๐ด}๐ท = ๐ธ) |
25 | 23, 12, 24 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด}๐ท = ๐ธ) |
26 | prodpr.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
27 | 15 | prodsn 15903 | . . . 4 โข ((๐ต โ ๐ โง ๐น โ โ) โ โ๐ โ {๐ต}๐ท = ๐น) |
28 | 26, 17, 27 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ต}๐ท = ๐น) |
29 | 25, 28 | oveq12d 7419 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐ด}๐ท ยท โ๐ โ {๐ต}๐ท) = (๐ธ ยท ๐น)) |
30 | 22, 29 | eqtrd 2764 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 โช cun 3938 โฉ cin 3939 โ c0 4314 {csn 4620 {cpr 4622 (class class class)co 7401 Fincfn 8935 โcc 11104 ยท cmul 11111 โcprod 15846 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-oi 9501 df-card 9930 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-rp 12972 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-seq 13964 df-exp 14025 df-hash 14288 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-clim 15429 df-prod 15847 |
This theorem is referenced by: prodtp 32500 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |