Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodpr 32583
Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)
prodpr.2 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)
prodpr.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
prodpr.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
prodpr.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
prodpr.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
prodpr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prodpr (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐‘‰   ๐‘˜,๐‘Š   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem prodpr
StepHypRef Expression
1 prodpr.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
2 disjsn2 4712 . . . 4 (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ({๐ด} โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐ด} โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
4 df-pr 4627 . . . 4 {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โˆช {๐ต})
54a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โˆช {๐ต}))
6 prfi 9340 . . . 4 {๐ด, ๐ต} โˆˆ Fin
76a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐ด, ๐ต} โˆˆ Fin)
8 vex 3473 . . . . 5 ๐‘˜ โˆˆ V
98elpr 4647 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต} โ†” (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต))
10 prodpr.1 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท = ๐ธ)
12 prodpr.e . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1411, 13eqeltrd 2828 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
15 prodpr.2 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท = ๐น)
17 prodpr.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
1916, 18eqeltrd 2828 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2014, 19jaodan 956 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
219, 20sylan2b 593 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
223, 5, 7, 21fprodsplit 15936 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท))
23 prodpr.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
2410prodsn 15932 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท = ๐ธ)
2523, 12, 24syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท = ๐ธ)
26 prodpr.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
2715prodsn 15932 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท = ๐น)
2826, 17, 27syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท = ๐น)
2925, 28oveq12d 7432 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท) = (๐ธ ยท ๐น))
3022, 29eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โˆช cun 3942   โˆฉ cin 3943  โˆ…c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  โ„‚cc 11130   ยท cmul 11137  โˆcprod 15875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876
This theorem is referenced by:  prodtp  32584
  Copyright terms: Public domain W3C validator