![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > prodpr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr.1 | โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) |
prodpr.2 | โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) |
prodpr.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
prodpr.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
prodpr.e | โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
prodpr.f | โข (๐ โ ๐น โ โ) |
prodpr.3 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr | โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prodpr.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
2 | disjsn2 4712 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ต โ ({๐ด} โฉ {๐ต}) = โ ) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ({๐ด} โฉ {๐ต}) = โ ) |
4 | df-pr 4627 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โช {๐ต}) | |
5 | 4 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โช {๐ต})) |
6 | prfi 9340 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต} โ Fin | |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ Fin) |
8 | vex 3473 | . . . . 5 โข ๐ โ V | |
9 | 8 | elpr 4647 | . . . 4 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต)) |
10 | prodpr.1 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) | |
11 | 10 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท = ๐ธ) |
12 | prodpr.e | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) | |
13 | 12 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ธ โ โ) |
14 | 11, 13 | eqeltrd 2828 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
15 | prodpr.2 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) | |
16 | 15 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท = ๐น) |
17 | prodpr.f | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐น โ โ) | |
18 | 17 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐น โ โ) |
19 | 16, 18 | eqeltrd 2828 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท โ โ) |
20 | 14, 19 | jaodan 956 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต)) โ ๐ท โ โ) |
21 | 9, 20 | sylan2b 593 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ {๐ด, ๐ต}) โ ๐ท โ โ) |
22 | 3, 5, 7, 21 | fprodsplit 15936 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (โ๐ โ {๐ด}๐ท ยท โ๐ โ {๐ต}๐ท)) |
23 | prodpr.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
24 | 10 | prodsn 15932 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ธ โ โ) โ โ๐ โ {๐ด}๐ท = ๐ธ) |
25 | 23, 12, 24 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด}๐ท = ๐ธ) |
26 | prodpr.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
27 | 15 | prodsn 15932 | . . . 4 โข ((๐ต โ ๐ โง ๐น โ โ) โ โ๐ โ {๐ต}๐ท = ๐น) |
28 | 26, 17, 27 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ต}๐ท = ๐น) |
29 | 25, 28 | oveq12d 7432 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐ด}๐ท ยท โ๐ โ {๐ต}๐ท) = (๐ธ ยท ๐น)) |
30 | 22, 29 | eqtrd 2767 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โจ wo 846 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2935 โช cun 3942 โฉ cin 3943 โ c0 4318 {csn 4624 {cpr 4626 (class class class)co 7414 Fincfn 8957 โcc 11130 ยท cmul 11137 โcprod 15875 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9658 ax-cnex 11188 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 ax-pre-sup 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9459 df-oi 9527 df-card 9956 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-n0 12497 df-z 12583 df-uz 12847 df-rp 13001 df-fz 13511 df-fzo 13654 df-seq 13993 df-exp 14053 df-hash 14316 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-clim 15458 df-prod 15876 |
This theorem is referenced by: prodtp 32584 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |