Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodpr 32499
Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)
prodpr.2 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)
prodpr.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
prodpr.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
prodpr.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
prodpr.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
prodpr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prodpr (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐‘‰   ๐‘˜,๐‘Š   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem prodpr
StepHypRef Expression
1 prodpr.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
2 disjsn2 4708 . . . 4 (๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ({๐ด} โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐ด} โˆฉ {๐ต}) = โˆ…)
4 df-pr 4623 . . . 4 {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โˆช {๐ต})
54a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โˆช {๐ต}))
6 prfi 9318 . . . 4 {๐ด, ๐ต} โˆˆ Fin
76a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐ด, ๐ต} โˆˆ Fin)
8 vex 3470 . . . . 5 ๐‘˜ โˆˆ V
98elpr 4643 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต} โ†” (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต))
10 prodpr.1 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท = ๐ธ)
12 prodpr.e . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1411, 13eqeltrd 2825 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
15 prodpr.2 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท = ๐น)
17 prodpr.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
1916, 18eqeltrd 2825 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2014, 19jaodan 954 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
219, 20sylan2b 593 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
223, 5, 7, 21fprodsplit 15907 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท))
23 prodpr.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
2410prodsn 15903 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท = ๐ธ)
2523, 12, 24syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท = ๐ธ)
26 prodpr.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
2715prodsn 15903 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท = ๐น)
2826, 17, 27syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท = ๐น)
2925, 28oveq12d 7419 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ต}๐ท) = (๐ธ ยท ๐น))
3022, 29eqtrd 2764 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   โˆช cun 3938   โˆฉ cin 3939  โˆ…c0 4314  {csn 4620  {cpr 4622  (class class class)co 7401  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104   ยท cmul 11111  โˆcprod 15846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847
This theorem is referenced by:  prodtp  32500
  Copyright terms: Public domain W3C validator