Theorem prodpr 32922

Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodpr	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4671	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4585	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9236	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		vex 3446	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
9	8	elpr 4607	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
10		prodpr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
12		prodpr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
14	11, 13	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
15		prodpr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
17		prodpr.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
19	16, 18	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
20	14, 19	jaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	9, 20	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	3, 5, 7, 21	fprodsplit 15901	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷))
23		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
24	10	prodsn 15897	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
25	23, 12, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
26		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
27	15	prodsn 15897	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
28	26, 17, 27	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
29	25, 28	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷) = (𝐸 · 𝐹))
30	22, 29	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036   · cmul 11043  ∏cprod 15838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839

This theorem is referenced by:  prodtp  32923