Theorem prodpr 32027

Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodpr	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4716	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4631	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9321	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		vex 3478	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
9	8	elpr 4651	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
10		prodpr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
11	10	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
12		prodpr.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
14	11, 13	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
15		prodpr.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
17		prodpr.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
19	16, 18	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
20	14, 19	jaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	9, 20	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	3, 5, 7, 21	fprodsplit 15909	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷))
23		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
24	10	prodsn 15905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
25	23, 12, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 = 𝐸)
26		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
27	15	prodsn 15905	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
28	26, 17, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷 = 𝐹)
29	25, 28	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐷) = (𝐸 · 𝐹))
30	22, 29	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107   · cmul 11114  ∏cprod 15848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849

This theorem is referenced by:  prodtp  32028