![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > prodpr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr.1 | โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) |
prodpr.2 | โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) |
prodpr.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
prodpr.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
prodpr.e | โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
prodpr.f | โข (๐ โ ๐น โ โ) |
prodpr.3 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr | โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prodpr.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
2 | disjsn2 4677 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ต โ ({๐ด} โฉ {๐ต}) = โ ) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ({๐ด} โฉ {๐ต}) = โ ) |
4 | df-pr 4593 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โช {๐ต}) | |
5 | 4 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} = ({๐ด} โช {๐ต})) |
6 | prfi 9272 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต} โ Fin | |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ Fin) |
8 | vex 3451 | . . . . 5 โข ๐ โ V | |
9 | 8 | elpr 4613 | . . . 4 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต} โ (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต)) |
10 | prodpr.1 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) | |
11 | 10 | adantl 483 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท = ๐ธ) |
12 | prodpr.e | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) | |
13 | 12 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ธ โ โ) |
14 | 11, 13 | eqeltrd 2834 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
15 | prodpr.2 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) | |
16 | 15 | adantl 483 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท = ๐น) |
17 | prodpr.f | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐น โ โ) | |
18 | 17 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐น โ โ) |
19 | 16, 18 | eqeltrd 2834 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท โ โ) |
20 | 14, 19 | jaodan 957 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต)) โ ๐ท โ โ) |
21 | 9, 20 | sylan2b 595 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ {๐ด, ๐ต}) โ ๐ท โ โ) |
22 | 3, 5, 7, 21 | fprodsplit 15857 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (โ๐ โ {๐ด}๐ท ยท โ๐ โ {๐ต}๐ท)) |
23 | prodpr.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
24 | 10 | prodsn 15853 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ธ โ โ) โ โ๐ โ {๐ด}๐ท = ๐ธ) |
25 | 23, 12, 24 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด}๐ท = ๐ธ) |
26 | prodpr.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
27 | 15 | prodsn 15853 | . . . 4 โข ((๐ต โ ๐ โง ๐น โ โ) โ โ๐ โ {๐ต}๐ท = ๐น) |
28 | 26, 17, 27 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ต}๐ท = ๐น) |
29 | 25, 28 | oveq12d 7379 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐ด}๐ท ยท โ๐ โ {๐ต}๐ท) = (๐ธ ยท ๐น)) |
30 | 22, 29 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 โช cun 3912 โฉ cin 3913 โ c0 4286 {csn 4590 {cpr 4592 (class class class)co 7361 Fincfn 8889 โcc 11057 ยท cmul 11064 โcprod 15796 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-inf2 9585 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-sup 9386 df-oi 9454 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-clim 15379 df-prod 15797 |
This theorem is referenced by: prodtp 31779 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |