MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleib 21996
Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleib.n ๐‘ = {1, 2}
m2detleib.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
m2detleib.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
m2detleib.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
m2detleib.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
m2detleib.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
m2detleib ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))

Proof of Theorem m2detleib
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2detleib.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 m2detleib.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 m2detleib.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2733 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 eqid 2733 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜๐‘…) = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
6 eqid 2733 . . . 4 (pmSgnโ€˜๐‘) = (pmSgnโ€˜๐‘)
7 m2detleib.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 eqid 2733 . . . 4 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib1 21956 . . 3 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))))
109adantl 483 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))))
11 eqid 2733 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
12 eqid 2733 . . 3 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringcmn 20008 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
1413adantr 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
15 m2detleib.n . . . . . 6 ๐‘ = {1, 2}
16 prfi 9269 . . . . . 6 {1, 2} โˆˆ Fin
1715, 16eqeltri 2830 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ Fin
18 eqid 2733 . . . . . 6 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
1918, 4symgbasfi 19165 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
2017, 19ax-mp 5 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin
2120a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
22 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2322adantr 482 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
244, 6, 5zrhpsgnelbas 21014 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2517, 24mp3an2 1450 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2625adantlr 714 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
27 simpr 486 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
28 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
2928adantr 482 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
3015, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 21993 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3211, 7ringcl 19986 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3323, 26, 31, 32syl3anc 1372 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
34 opex 5422 . . . . . . . 8 โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V
35 opex 5422 . . . . . . . 8 โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V
3634, 35pm3.2i 472 . . . . . . 7 (โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V)
37 opex 5422 . . . . . . . 8 โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V
38 opex 5422 . . . . . . . 8 โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V
3937, 38pm3.2i 472 . . . . . . 7 (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)
4036, 39pm3.2i 472 . . . . . 6 ((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V))
41 1ne2 12366 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  2
4241olci 865 . . . . . . . . 9 (1 โ‰  1 โˆจ 1 โ‰  2)
43 1ex 11156 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ V
4443, 43opthne 5440 . . . . . . . . 9 (โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โ†” (1 โ‰  1 โˆจ 1 โ‰  2))
4542, 44mpbir 230 . . . . . . . 8 โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ
4641orci 864 . . . . . . . . 9 (1 โ‰  2 โˆจ 1 โ‰  1)
4743, 43opthne 5440 . . . . . . . . 9 (โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ โ†” (1 โ‰  2 โˆจ 1 โ‰  1))
4846, 47mpbir 230 . . . . . . . 8 โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ
4945, 48pm3.2i 472 . . . . . . 7 (โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ)
5049orci 864 . . . . . 6 ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ))
5140, 50pm3.2i 472 . . . . 5 (((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โˆง ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ)))
5251a1i 11 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โˆง ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ))))
53 prneimg 4813 . . . . 5 (((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โ†’ (((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ)) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ‰  {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}))
5453imp 408 . . . 4 ((((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โˆง ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ))) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ‰  {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})
55 disjsn2 4674 . . . 4 ({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ‰  {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆฉ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}) = โˆ…)
5652, 54, 553syl 18 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆฉ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}) = โˆ…)
57 2nn 12231 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
5818, 4, 15symg2bas 19179 . . . . . 6 ((1 โˆˆ V โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}})
5943, 57, 58mp2an 691 . . . . 5 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}
60 df-pr 4590 . . . . 5 {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} = ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆช {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}})
6159, 60eqtri 2761 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆช {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}})
6261a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆช {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}))
6311, 12, 14, 21, 33, 56, 62gsummptfidmsplit 19712 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))))
64 ringmnd 19979 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6564adantr 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
66 prex 5390 . . . . . 6 {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ V
6766a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ V)
6866prid1 4724 . . . . . . . . 9 {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}
6968, 59eleqtrri 2833 . . . . . . . 8 {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
7069a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
714, 6, 5zrhpsgnelbas 21014 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7217, 71mp3an2 1450 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7370, 72sylan2 594 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 21993 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7569, 74mp3an2 1450 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7611, 7ringcl 19986 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7722, 73, 75, 76syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
78 2fveq3 6848 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})))
79 fveq1 6842 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ (๐‘˜โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›))
8079oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›) = (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))
8180mpteq2dv 5208 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))
8281oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))
8378, 82oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
8411, 83gsumsn 19736 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ V โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
8565, 67, 77, 84syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
86 prex 5390 . . . . . 6 {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ V
8786a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ V)
8886prid2 4725 . . . . . . . . 9 {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}
8988, 59eleqtrri 2833 . . . . . . . 8 {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
9089a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
914, 6, 5zrhpsgnelbas 21014 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9217, 91mp3an2 1450 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9390, 92sylan2 594 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 21993 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9589, 94mp3an2 1450 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9611, 7ringcl 19986 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9722, 93, 95, 96syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
98 2fveq3 6848 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})))
99 fveq1 6842 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ (๐‘˜โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›))
10099oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›) = (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))
101100mpteq2dv 5208 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))
102101oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))
10398, 102oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
10411, 103gsumsn 19736 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ V โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
10565, 87, 97, 104syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
10685, 105oveq12d 7376 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))(+gโ€˜๐‘…)(((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))
107 eqidd 2734 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})
108 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
10915, 4, 5, 6, 108m2detleiblem5 21990 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) = (1rโ€˜๐‘…))
110107, 109sylan2 594 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) = (1rโ€˜๐‘…))
111 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})
1128, 7mgpplusg 19905 . . . . . . . 8 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
11315, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem3 21994 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
11422, 111, 28, 113syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
115110, 114oveq12d 7376 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))))
11643prid1 4724 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ {1, 2}
117116, 15eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ ๐‘
118117a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐‘)
1193eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
120119biimpi 215 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
121120adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1222, 11matecl 21790 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (1๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
123118, 118, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
124 prid2g 4723 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ {1, 2})
12557, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ {1, 2}
126125, 15eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ ๐‘
127126a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 2 โˆˆ ๐‘)
1282, 11matecl 21790 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ ๐‘ โˆง 2 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (2๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
129127, 127, 121, 128syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13011, 7ringcl 19986 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (1๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (2๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13122, 123, 129, 130syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13211, 7, 108ringlidm 19997 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
133131, 132syldan 592 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
134115, 133eqtrd 2773 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
135 eqidd 2734 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})
136 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
13715, 4, 5, 6, 108, 136m2detleiblem6 21991 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
138135, 137sylan2 594 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
139 eqidd 2734 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})
14015, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem4 21995 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))
14122, 139, 28, 140syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))
142138, 141oveq12d 7376 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
143134, 142oveq12d 7376 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))(+gโ€˜๐‘…)(((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))))
1442, 11matecl 21790 . . . . . 6 ((2 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (2๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
145127, 118, 121, 144syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1462, 11matecl 21790 . . . . . 6 ((1 โˆˆ ๐‘ โˆง 2 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (1๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
147118, 127, 121, 146syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
14811, 7ringcl 19986 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (2๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (1๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
14922, 145, 147, 148syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
150 m2detleib.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
15115, 4, 5, 6, 108, 136, 7, 150m2detleiblem7 21992 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
15222, 131, 149, 151syl3anc 1372 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
153106, 143, 1523eqtrd 2777 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
15410, 63, 1533eqtrd 2777 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3444   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910  โˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  โŸจcop 4593   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057  โ„•cn 12158  2c2 12213  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139   ฮฃg cgsu 17327  Mndcmnd 18561  invgcminusg 18754  -gcsg 18755  SymGrpcsymg 19153  pmSgncpsgn 19276  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  1rcur 19918  Ringcrg 19969  โ„คRHomczrh 20916   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-word 14409  df-lsw 14457  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-splice 14644  df-reverse 14653  df-s2 14743  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-efmnd 18684  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-gim 19054  df-cntz 19102  df-oppg 19129  df-symg 19154  df-pmtr 19229  df-psgn 19278  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771  df-mdet 21950
This theorem is referenced by:  lmat22det  32460
  Copyright terms: Public domain W3C validator