MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleib 20656
Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleib.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleib.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
m2detleib.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleib.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleib.m = (-g𝑅)
m2detleib.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleib ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

Proof of Theorem m2detleib
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2detleib.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 m2detleib.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 m2detleib.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2817 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2817 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2817 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 m2detleib.t . . . 4 · = (.r𝑅)
8 eqid 2817 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib1 20616 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))))
109adantl 469 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))))
11 eqid 2817 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 eqid 2817 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringcmn 18790 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1413adantr 468 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
15 m2detleib.n . . . . . 6 𝑁 = {1, 2}
16 prfi 8481 . . . . . 6 {1, 2} ∈ Fin
1715, 16eqeltri 2892 . . . . 5 𝑁 ∈ Fin
18 eqid 2817 . . . . . 6 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1918, 4symgbasfi 18014 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2017, 19ax-mp 5 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin
2120a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
22 simpl 470 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 468 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
244, 6, 5zrhpsgnelbas 20155 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
2517, 24mp3an2 1566 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
2625adantlr 697 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
27 simpr 473 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
28 simpr 473 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
2928adantr 468 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑀𝐵)
3015, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 20653 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1483 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
3211, 7ringcl 18770 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
3323, 26, 31, 32syl3anc 1483 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
34 opex 5133 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ∈ V
35 opex 5133 . . . . . . . 8 ⟨2, 2⟩ ∈ V
3634, 35pm3.2i 458 . . . . . . 7 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V)
37 opex 5133 . . . . . . . 8 ⟨1, 2⟩ ∈ V
38 opex 5133 . . . . . . . 8 ⟨2, 1⟩ ∈ V
3937, 38pm3.2i 458 . . . . . . 7 (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)
4036, 39pm3.2i 458 . . . . . 6 ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V))
41 1ne2 11514 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
4241olci 884 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2)
43 1ex 10328 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4443, 43opthne 5151 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2))
4542, 44mpbir 222 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩
4641orci 883 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1)
4743, 43opthne 5151 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1))
4846, 47mpbir 222 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩
4945, 48pm3.2i 458 . . . . . . 7 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)
5049orci 883 . . . . . 6 ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))
5140, 50pm3.2i 458 . . . . 5 (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)))
5251a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))))
53 prneimg 4586 . . . . 5 (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
5453imp 395 . . . 4 ((((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
55 disjsn2 4450 . . . 4 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
5652, 54, 553syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
57 2nn 11469 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5818, 4, 15symg2bas 18026 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
5943, 57, 58mp2an 675 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
60 df-pr 4384 . . . . 5 {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
6159, 60eqtri 2839 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
6261a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}))
6311, 12, 14, 21, 33, 56, 62gsummptfidmsplit 18538 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))))
64 ringmnd 18765 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6564adantr 468 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
66 prex 5110 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V)
6866prid1 4499 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
6968, 59eleqtrri 2895 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7069a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
714, 6, 5zrhpsgnelbas 20155 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7217, 71mp3an2 1566 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7370, 72sylan2 582 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 20653 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
7569, 74mp3an2 1566 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
7611, 7ringcl 18770 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
7722, 73, 75, 76syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
78 2fveq3 6420 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})))
79 fveq1 6414 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑘𝑛) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛))
8079oveq1d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((𝑘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
8180mpteq2dv 4950 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
8281oveq2d 6897 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
8378, 82oveq12d 6899 . . . . . 6 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
8411, 83gsumsn 18562 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
8565, 67, 77, 84syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
86 prex 5110 . . . . . 6 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
8786a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V)
8886prid2 4500 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
8988, 59eleqtrri 2895 . . . . . . . 8 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9089a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
914, 6, 5zrhpsgnelbas 20155 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9217, 91mp3an2 1566 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9390, 92sylan2 582 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 20653 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
9589, 94mp3an2 1566 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
9611, 7ringcl 18770 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
9722, 93, 95, 96syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
98 2fveq3 6420 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})))
99 fveq1 6414 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑘𝑛) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛))
10099oveq1d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝑘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
101100mpteq2dv 4950 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
102101oveq2d 6897 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
10398, 102oveq12d 6899 . . . . . 6 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10411, 103gsumsn 18562 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10565, 87, 97, 104syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10685, 105oveq12d 6899 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))) = ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))))
107 eqidd 2818 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
108 eqid 2817 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
10915, 4, 5, 6, 108m2detleiblem5 20650 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r𝑅))
110107, 109sylan2 582 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r𝑅))
111 eqidd 2818 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
1128, 7mgpplusg 18702 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
11315, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem3 20654 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
11422, 111, 28, 113syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
115110, 114oveq12d 6899 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))))
11643prid1 4499 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
117116, 15eleqtrri 2895 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝑁
118117a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ 𝑁)
1193eleq2i 2888 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
120119biimpi 207 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
121120adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
1222, 11matecl 20449 . . . . . . . 8 ((1 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
123118, 118, 121, 122syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
124 prid2g 4498 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℕ → 2 ∈ {1, 2})
12557, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
126125, 15eleqtrri 2895 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝑁
127126a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 2 ∈ 𝑁)
1282, 11matecl 20449 . . . . . . . 8 ((2 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
129127, 127, 121, 128syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
13011, 7ringcl 18770 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
13122, 123, 129, 130syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
13211, 7, 108ringlidm 18780 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
133131, 132syldan 581 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
134115, 133eqtrd 2851 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
135 eqidd 2818 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
136 eqid 2817 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13715, 4, 5, 6, 108, 136m2detleiblem6 20651 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
138135, 137sylan2 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
139 eqidd 2818 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
14015, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem4 20655 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
14122, 139, 28, 140syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
142138, 141oveq12d 6899 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
143134, 142oveq12d 6899 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))))
1442, 11matecl 20449 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
145127, 118, 121, 144syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
1462, 11matecl 20449 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
147118, 127, 121, 146syl3anc 1483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
14811, 7ringcl 18770 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
14922, 145, 147, 148syl3anc 1483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
150 m2detleib.m . . . . 5 = (-g𝑅)
15115, 4, 5, 6, 108, 136, 7, 150m2detleiblem7 20652 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
15222, 131, 149, 151syl3anc 1483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
153106, 143, 1523eqtrd 2855 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
15410, 63, 1533eqtrd 2855 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  Vcvv 3402  cun 3778  cin 3779  c0 4127  {csn 4381  {cpr 4383  cop 4387  cmpt 4934  cfv 6108  (class class class)co 6881  Fincfn 8199  1c1 10229  cn 11312  2c2 11363  Basecbs 16075  +gcplusg 16160  .rcmulr 16161   Σg cgsu 16313  Mndcmnd 17506  invgcminusg 17635  -gcsg 17636  SymGrpcsymg 18005  pmSgncpsgn 18117  CMndccmn 18401  mulGrpcmgp 18698  1rcur 18710  Ringcrg 18756  ℤRHomczrh 20063   Mat cmat 20431   maDet cmdat 20609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-ot 4390  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-of 7134  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-tpos 7594  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-pm 8102  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-sup 8594  df-oi 8661  df-card 9055  df-cda 9282  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-xnn0 11637  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-rp 12054  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-seq 13032  df-exp 13091  df-fac 13288  df-bc 13317  df-hash 13345  df-word 13517  df-lsw 13518  df-concat 13519  df-s1 13520  df-substr 13521  df-splice 13522  df-reverse 13523  df-s2 13824  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-hom 16184  df-cco 16185  df-0g 16314  df-gsum 16315  df-prds 16320  df-pws 16322  df-mre 16458  df-mrc 16459  df-acs 16461  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-mhm 17547  df-submnd 17548  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-sbg 17639  df-mulg 17753  df-subg 17800  df-ghm 17867  df-gim 17910  df-cntz 17958  df-oppg 17984  df-symg 18006  df-pmtr 18070  df-psgn 18119  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-rnghom 18926  df-subrg 18989  df-sra 19388  df-rgmod 19389  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-dsmm 20294  df-frlm 20309  df-mat 20432  df-mdet 20610
This theorem is referenced by:  lmat22det  30223
  Copyright terms: Public domain W3C validator