MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleib 21240
Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleib.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleib.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
m2detleib.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleib.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleib.m = (-g𝑅)
m2detleib.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleib ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

Proof of Theorem m2detleib
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2detleib.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 m2detleib.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 m2detleib.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2821 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2821 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2821 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 m2detleib.t . . . 4 · = (.r𝑅)
8 eqid 2821 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib1 21200 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))))
109adantl 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))))
11 eqid 2821 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 eqid 2821 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringcmn 19331 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1413adantr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
15 m2detleib.n . . . . . 6 𝑁 = {1, 2}
16 prfi 8793 . . . . . 6 {1, 2} ∈ Fin
1715, 16eqeltri 2909 . . . . 5 𝑁 ∈ Fin
18 eqid 2821 . . . . . 6 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1918, 4symgbasfi 18507 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2017, 19ax-mp 5 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin
2120a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
22 simpl 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
244, 6, 5zrhpsgnelbas 20738 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
2517, 24mp3an2 1445 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
2625adantlr 713 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
27 simpr 487 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
28 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
2928adantr 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑀𝐵)
3015, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 21237 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1367 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
3211, 7ringcl 19311 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
3323, 26, 31, 32syl3anc 1367 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
34 opex 5356 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ∈ V
35 opex 5356 . . . . . . . 8 ⟨2, 2⟩ ∈ V
3634, 35pm3.2i 473 . . . . . . 7 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V)
37 opex 5356 . . . . . . . 8 ⟨1, 2⟩ ∈ V
38 opex 5356 . . . . . . . 8 ⟨2, 1⟩ ∈ V
3937, 38pm3.2i 473 . . . . . . 7 (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)
4036, 39pm3.2i 473 . . . . . 6 ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V))
41 1ne2 11846 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
4241olci 862 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2)
43 1ex 10637 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4443, 43opthne 5374 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2))
4542, 44mpbir 233 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩
4641orci 861 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1)
4743, 43opthne 5374 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1))
4846, 47mpbir 233 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩
4945, 48pm3.2i 473 . . . . . . 7 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)
5049orci 861 . . . . . 6 ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))
5140, 50pm3.2i 473 . . . . 5 (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)))
5251a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))))
53 prneimg 4785 . . . . 5 (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
5453imp 409 . . . 4 ((((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
55 disjsn2 4648 . . . 4 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
5652, 54, 553syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
57 2nn 11711 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5818, 4, 15symg2bas 18521 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
5943, 57, 58mp2an 690 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
60 df-pr 4570 . . . . 5 {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
6159, 60eqtri 2844 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
6261a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}))
6311, 12, 14, 21, 33, 56, 62gsummptfidmsplit 19050 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))))
64 ringmnd 19306 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6564adantr 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
66 prex 5333 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V)
6866prid1 4698 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
6968, 59eleqtrri 2912 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7069a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
714, 6, 5zrhpsgnelbas 20738 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7217, 71mp3an2 1445 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7370, 72sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 21237 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
7569, 74mp3an2 1445 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
7611, 7ringcl 19311 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
7722, 73, 75, 76syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
78 2fveq3 6675 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})))
79 fveq1 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑘𝑛) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛))
8079oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((𝑘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
8180mpteq2dv 5162 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
8281oveq2d 7172 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
8378, 82oveq12d 7174 . . . . . 6 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
8411, 83gsumsn 19074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
8565, 67, 77, 84syl3anc 1367 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
86 prex 5333 . . . . . 6 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
8786a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V)
8886prid2 4699 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
8988, 59eleqtrri 2912 . . . . . . . 8 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9089a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
914, 6, 5zrhpsgnelbas 20738 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9217, 91mp3an2 1445 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9390, 92sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 21237 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
9589, 94mp3an2 1445 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
9611, 7ringcl 19311 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
9722, 93, 95, 96syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
98 2fveq3 6675 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})))
99 fveq1 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑘𝑛) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛))
10099oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝑘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
101100mpteq2dv 5162 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
102101oveq2d 7172 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
10398, 102oveq12d 7174 . . . . . 6 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10411, 103gsumsn 19074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10565, 87, 97, 104syl3anc 1367 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10685, 105oveq12d 7174 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))) = ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))))
107 eqidd 2822 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
108 eqid 2821 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
10915, 4, 5, 6, 108m2detleiblem5 21234 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r𝑅))
110107, 109sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r𝑅))
111 eqidd 2822 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
1128, 7mgpplusg 19243 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
11315, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem3 21238 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
11422, 111, 28, 113syl3anc 1367 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
115110, 114oveq12d 7174 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))))
11643prid1 4698 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
117116, 15eleqtrri 2912 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝑁
118117a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ 𝑁)
1193eleq2i 2904 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
120119biimpi 218 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
121120adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
1222, 11matecl 21034 . . . . . . . 8 ((1 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
123118, 118, 121, 122syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
124 prid2g 4697 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℕ → 2 ∈ {1, 2})
12557, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
126125, 15eleqtrri 2912 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝑁
127126a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 2 ∈ 𝑁)
1282, 11matecl 21034 . . . . . . . 8 ((2 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
129127, 127, 121, 128syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
13011, 7ringcl 19311 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
13122, 123, 129, 130syl3anc 1367 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
13211, 7, 108ringlidm 19321 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
133131, 132syldan 593 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
134115, 133eqtrd 2856 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
135 eqidd 2822 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
136 eqid 2821 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13715, 4, 5, 6, 108, 136m2detleiblem6 21235 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
138135, 137sylan2 594 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
139 eqidd 2822 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
14015, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem4 21239 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
14122, 139, 28, 140syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
142138, 141oveq12d 7174 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
143134, 142oveq12d 7174 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))))
1442, 11matecl 21034 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
145127, 118, 121, 144syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
1462, 11matecl 21034 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
147118, 127, 121, 146syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
14811, 7ringcl 19311 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
14922, 145, 147, 148syl3anc 1367 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
150 m2detleib.m . . . . 5 = (-g𝑅)
15115, 4, 5, 6, 108, 136, 7, 150m2detleiblem7 21236 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
15222, 131, 149, 151syl3anc 1367 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
153106, 143, 1523eqtrd 2860 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
15410, 63, 1533eqtrd 2860 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3016  Vcvv 3494  cun 3934  cin 3935  c0 4291  {csn 4567  {cpr 4569  cop 4573  cmpt 5146  cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  1c1 10538  cn 11638  2c2 11693  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566   Σg cgsu 16714  Mndcmnd 17911  invgcminusg 18104  -gcsg 18105  SymGrpcsymg 18495  pmSgncpsgn 18617  CMndccmn 18906  mulGrpcmgp 19239  1rcur 19251  Ringcrg 19297  ℤRHomczrh 20647   Mat cmat 21016   maDet cmdat 21193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1502  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-word 13863  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017  df-mdet 21194
This theorem is referenced by:  lmat22det  31087
  Copyright terms: Public domain W3C validator