Theorem m2detleib 22825

Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleib.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleib.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
m2detleib.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleib.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleib.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
m2detleib.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleib	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

Proof of Theorem m2detleib

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleib.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		m2detleib.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		m2detleib.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		m2detleib.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib1 22785	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))))
11		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2766	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringcmn 20397	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
15		m2detleib.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
16		prfi 9293	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
17	15, 16	eqeltri 2862	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ Fin
18		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
19	18, 4	symgbasfi 19480	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
20	17, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
22		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
24	4, 6, 5	zrhpsgnelbas 21781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
25	17, 24	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
26	25	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑀 ∈ 𝐵)
30	15, 4, 2, 3, 8	m2detleiblem2 22822	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
31	23, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
32	11, 7	ringcl 20363	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
33	23, 26, 31, 32	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
34		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
35		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨2, 2⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V)
37		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 2⟩ ∈ V
38		opex 5450	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨2, 1⟩ ∈ V
39	37, 38	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)
40	36, 39	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V))
41		1ne2 12469	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
42	41	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2)
43		1ex 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
44	43, 43	opthne 5469	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2))
45	42, 44	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩
46	41	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1)
47	43, 43	opthne 5469	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1))
48	46, 47	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩
49	45, 48	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)
50	49	orci 879	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))
51	40, 50	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))))
53		prneimg 4824	. . . . 5 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
54	53	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
55		disjsn2 4683	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
56	52, 54, 55	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
57		2nn 12332	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
58	18, 4, 15	symg2bas 19494	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
59	43, 57, 58	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
60		df-pr 4597	. . . . 5 ⊢ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
61	59, 60	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}))
63	11, 12, 14, 21, 33, 56, 62	gsummptfidmsplit 20031	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))))
64		ringmnd 20356	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
65	64	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
66		prex 5414	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
67	66	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V)
68	66	prid1 4733	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
69	68, 59	eleqtrri 2865	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
71	4, 6, 5	zrhpsgnelbas 21781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
72	17, 71	mp3an2 1478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
73	70, 72	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
74	15, 4, 2, 3, 8	m2detleiblem2 22822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
75	69, 74	mp3an2 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
76	11, 7	ringcl 20363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
77	22, 73, 75, 76	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
78		2fveq3 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})))
79		fveq1 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑘‘𝑛) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛))
80	79	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
81	80	mpteq2dv 5210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
82	81	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
83	78, 82	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
84	11, 83	gsumsn 20055	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
85	65, 67, 77, 84	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
86		prex 5414	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V)
88	86	prid2 4734	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
89	88, 59	eleqtrri 2865	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
90	89	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
91	4, 6, 5	zrhpsgnelbas 21781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
92	17, 91	mp3an2 1478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
93	90, 92	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
94	15, 4, 2, 3, 8	m2detleiblem2 22822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
95	89, 94	mp3an2 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
96	11, 7	ringcl 20363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
97	22, 93, 95, 96	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
98		2fveq3 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})))
99		fveq1 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑘‘𝑛) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛))
100	99	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
101	100	mpteq2dv 5210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
102	101	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
103	98, 102	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
104	11, 103	gsumsn 20055	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
105	65, 87, 97, 104	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
106	85, 105	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))) = ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g‘𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))))
107		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
108		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
109	15, 4, 5, 6, 108	m2detleiblem5 22819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r‘𝑅))
110	107, 109	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r‘𝑅))
111		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
112	8, 7	mgpplusg 20251	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
113	15, 4, 2, 3, 8, 112	m2detleiblem3 22823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
114	22, 111, 28, 113	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
115	110, 114	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1r‘𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))))
116	43	prid1 4733	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
117	116, 15	eleqtrri 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ 𝑁
118	117	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑁)
119	3	eleq2i 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
120	119	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
121	2, 11	matecl 22619	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
122	118, 118, 120, 121	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
123		prid2g 4732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ {1, 2})
124	57, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
125	124, 15	eleqtrri 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ 𝑁
126	125	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ 𝑁)
127	2, 11	matecl 22619	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
128	126, 126, 120, 127	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
129	11, 7	ringcl 20363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
130	22, 122, 128, 129	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
131	11, 7, 108	ringlidm 20384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
132	130, 131	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
133	115, 132	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
134		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
135		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
136	15, 4, 5, 6, 108, 135	m2detleiblem6 22820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
137	134, 136	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
138		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
139	15, 4, 2, 3, 8, 112	m2detleiblem4 22824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
140	22, 138, 28, 139	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
141	137, 140	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
142	133, 141	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g‘𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))))
143	2, 11	matecl 22619	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
144	126, 118, 120, 143	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
145	2, 11	matecl 22619	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
146	118, 126, 120, 145	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
147	11, 7	ringcl 20363	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
148	22, 144, 146, 147	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
149		m2detleib.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
150	15, 4, 5, 6, 108, 135, 7, 149	m2detleiblem7 22821	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
151	22, 130, 148, 150	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
152	106, 142, 151	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
153	10, 63, 152	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ∅c0 4289  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  1c1 11119  ℕcn 12251  2c2 12313  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336   Σ_g cgsu 17518  Mndcmnd 18821  inv_gcminusg 19032  -_gcsg 19033  SymGrpcsymg 19470  pmSgncpsgn 19590  CMndccmn 19881  mulGrpcmgp 20247  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  ℤRHomczrh 21686   Mat cmat 22601   maDet cmdat 22778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-reverse 14820  df-s2 14911  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-efmnd 18959  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-symg 19471  df-pmtr 19543  df-psgn 19592  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-cnfld 21560  df-zring 21634  df-zrh 21690  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-mat 22602  df-mdet 22779

This theorem is used by:  lmat22det  34243