Theorem m2detleib 22606

Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleib.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleib.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
m2detleib.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleib.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleib.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
m2detleib.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleib	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

Proof of Theorem m2detleib

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleib.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		m2detleib.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		m2detleib.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		m2detleib.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib1 22566	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))))
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringcmn 20254	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
15		m2detleib.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
16		prfi 9227	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
17	15, 16	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ Fin
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
19	18, 4	symgbasfi 19345	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
20	17, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
22		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
24	4, 6, 5	zrhpsgnelbas 21584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
25	17, 24	mp3an2 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
26	25	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑀 ∈ 𝐵)
30	15, 4, 2, 3, 8	m2detleiblem2 22603	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
31	23, 27, 29, 30	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
32	11, 7	ringcl 20222	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
33	23, 26, 31, 32	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
34		opex 5411	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
35		opex 5411	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨2, 2⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V)
37		opex 5411	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 2⟩ ∈ V
38		opex 5411	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨2, 1⟩ ∈ V
39	37, 38	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)
40	36, 39	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V))
41		1ne2 12375	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
42	41	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2)
43		1ex 11131	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
44	43, 43	opthne 5430	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2))
45	42, 44	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩
46	41	orci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1)
47	43, 43	opthne 5430	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1))
48	46, 47	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩
49	45, 48	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)
50	49	orci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))
51	40, 50	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))))
53		prneimg 4798	. . . . 5 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
54	53	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
55		disjsn2 4657	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
56	52, 54, 55	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
57		2nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
58	18, 4, 15	symg2bas 19359	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
59	43, 57, 58	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
60		df-pr 4571	. . . . 5 ⊢ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
61	59, 60	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}))
63	11, 12, 14, 21, 33, 56, 62	gsummptfidmsplit 19896	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))))
64		ringmnd 20215	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
65	64	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
66		prex 5375	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
67	66	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V)
68	66	prid1 4707	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
69	68, 59	eleqtrri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
71	4, 6, 5	zrhpsgnelbas 21584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
72	17, 71	mp3an2 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
73	70, 72	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
74	15, 4, 2, 3, 8	m2detleiblem2 22603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
75	69, 74	mp3an2 1452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
76	11, 7	ringcl 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
77	22, 73, 75, 76	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
78		2fveq3 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})))
79		fveq1 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑘‘𝑛) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛))
80	79	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
81	80	mpteq2dv 5180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
82	81	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
83	78, 82	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
84	11, 83	gsumsn 19920	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
85	65, 67, 77, 84	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
86		prex 5375	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V)
88	86	prid2 4708	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
89	88, 59	eleqtrri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
90	89	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
91	4, 6, 5	zrhpsgnelbas 21584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
92	17, 91	mp3an2 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
93	90, 92	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
94	15, 4, 2, 3, 8	m2detleiblem2 22603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
95	89, 94	mp3an2 1452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
96	11, 7	ringcl 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
97	22, 93, 95, 96	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
98		2fveq3 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})))
99		fveq1 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑘‘𝑛) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛))
100	99	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
101	100	mpteq2dv 5180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
102	101	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
103	98, 102	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
104	11, 103	gsumsn 19920	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
105	65, 87, 97, 104	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
106	85, 105	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))) = ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g‘𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))))
107		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
108		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
109	15, 4, 5, 6, 108	m2detleiblem5 22600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r‘𝑅))
110	107, 109	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r‘𝑅))
111		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
112	8, 7	mgpplusg 20116	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
113	15, 4, 2, 3, 8, 112	m2detleiblem3 22604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
114	22, 111, 28, 113	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
115	110, 114	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1r‘𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))))
116	43	prid1 4707	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
117	116, 15	eleqtrri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ 𝑁
118	117	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑁)
119	3	eleq2i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
120	119	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
121	120	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
122	2, 11	matecl 22400	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
123	118, 118, 121, 122	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
124		prid2g 4706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ {1, 2})
125	57, 124	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
126	125, 15	eleqtrri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ 𝑁
127	126	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ 𝑁)
128	2, 11	matecl 22400	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
129	127, 127, 121, 128	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
130	11, 7	ringcl 20222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
131	22, 123, 129, 130	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
132	11, 7, 108	ringlidm 20241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
133	131, 132	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
134	115, 133	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
135		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
136		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
137	15, 4, 5, 6, 108, 136	m2detleiblem6 22601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
138	135, 137	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
139		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
140	15, 4, 2, 3, 8, 112	m2detleiblem4 22605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
141	22, 139, 28, 140	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
142	138, 141	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
143	134, 142	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g‘𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))))
144	2, 11	matecl 22400	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
145	127, 118, 121, 144	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
146	2, 11	matecl 22400	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
147	118, 127, 121, 146	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
148	11, 7	ringcl 20222	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
149	22, 145, 147, 148	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
150		m2detleib.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
151	15, 4, 5, 6, 108, 136, 7, 150	m2detleiblem7 22602	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
152	22, 131, 149, 151	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
153	106, 143, 152	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘‘𝑛)𝑀𝑛))))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
154	10, 63, 153	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) − ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  1c1 11030  ℕcn 12165  2c2 12227  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  SymGrpcsymg 19335  pmSgncpsgn 19455  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  ℤRHomczrh 21489   Mat cmat 22382   maDet cmdat 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-symg 19336  df-pmtr 19408  df-psgn 19457  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-cnfld 21345  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-mat 22383  df-mdet 22560

This theorem is referenced by:  lmat22det  33982