MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleib 22140
Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleib.n ๐‘ = {1, 2}
m2detleib.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
m2detleib.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
m2detleib.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
m2detleib.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
m2detleib.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
m2detleib ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))

Proof of Theorem m2detleib
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2detleib.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 m2detleib.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 m2detleib.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2732 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 eqid 2732 . . . 4 (โ„คRHomโ€˜๐‘…) = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
6 eqid 2732 . . . 4 (pmSgnโ€˜๐‘) = (pmSgnโ€˜๐‘)
7 m2detleib.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 eqid 2732 . . . 4 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib1 22100 . . 3 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))))
109adantl 482 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))))
11 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
12 eqid 2732 . . 3 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringcmn 20101 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
1413adantr 481 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
15 m2detleib.n . . . . . 6 ๐‘ = {1, 2}
16 prfi 9324 . . . . . 6 {1, 2} โˆˆ Fin
1715, 16eqeltri 2829 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ Fin
18 eqid 2732 . . . . . 6 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
1918, 4symgbasfi 19248 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
2017, 19ax-mp 5 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin
2120a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆˆ Fin)
22 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2322adantr 481 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
244, 6, 5zrhpsgnelbas 21153 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2517, 24mp3an2 1449 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2625adantlr 713 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
27 simpr 485 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
28 simpr 485 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
2928adantr 481 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
3015, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 22137 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1371 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3211, 7ringcl 20075 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
3323, 26, 31, 32syl3anc 1371 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
34 opex 5464 . . . . . . . 8 โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V
35 opex 5464 . . . . . . . 8 โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V
3634, 35pm3.2i 471 . . . . . . 7 (โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V)
37 opex 5464 . . . . . . . 8 โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V
38 opex 5464 . . . . . . . 8 โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V
3937, 38pm3.2i 471 . . . . . . 7 (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)
4036, 39pm3.2i 471 . . . . . 6 ((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V))
41 1ne2 12422 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  2
4241olci 864 . . . . . . . . 9 (1 โ‰  1 โˆจ 1 โ‰  2)
43 1ex 11212 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ V
4443, 43opthne 5482 . . . . . . . . 9 (โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โ†” (1 โ‰  1 โˆจ 1 โ‰  2))
4542, 44mpbir 230 . . . . . . . 8 โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ
4641orci 863 . . . . . . . . 9 (1 โ‰  2 โˆจ 1 โ‰  1)
4743, 43opthne 5482 . . . . . . . . 9 (โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ โ†” (1 โ‰  2 โˆจ 1 โ‰  1))
4846, 47mpbir 230 . . . . . . . 8 โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ
4945, 48pm3.2i 471 . . . . . . 7 (โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ)
5049orci 863 . . . . . 6 ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ))
5140, 50pm3.2i 471 . . . . 5 (((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โˆง ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ)))
5251a1i 11 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โˆง ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ))))
53 prneimg 4855 . . . . 5 (((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โ†’ (((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ)) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ‰  {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}))
5453imp 407 . . . 4 ((((โŸจ1, 1โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โˆˆ V) โˆง (โŸจ1, 2โŸฉ โˆˆ V โˆง โŸจ2, 1โŸฉ โˆˆ V)) โˆง ((โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ1, 1โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ) โˆจ (โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ1, 2โŸฉ โˆง โŸจ2, 2โŸฉ โ‰  โŸจ2, 1โŸฉ))) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ‰  {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})
55 disjsn2 4716 . . . 4 ({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ‰  {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆฉ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}) = โˆ…)
5652, 54, 553syl 18 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆฉ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}) = โˆ…)
57 2nn 12287 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
5818, 4, 15symg2bas 19262 . . . . . 6 ((1 โˆˆ V โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}})
5943, 57, 58mp2an 690 . . . . 5 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}
60 df-pr 4631 . . . . 5 {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} = ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆช {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}})
6159, 60eqtri 2760 . . . 4 (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆช {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}})
6261a1i 11 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = ({{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โˆช {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}))
6311, 12, 14, 21, 33, 56, 62gsummptfidmsplit 19800 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))))
64 ringmnd 20068 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6564adantr 481 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
66 prex 5432 . . . . . 6 {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ V
6766a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ V)
6866prid1 4766 . . . . . . . . 9 {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}
6968, 59eleqtrri 2832 . . . . . . . 8 {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
7069a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
714, 6, 5zrhpsgnelbas 21153 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7217, 71mp3an2 1449 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7370, 72sylan2 593 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 22137 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7569, 74mp3an2 1449 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7611, 7ringcl 20075 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7722, 73, 75, 76syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
78 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})))
79 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ (๐‘˜โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›))
8079oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›) = (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))
8180mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))
8281oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))
8378, 82oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
8411, 83gsumsn 19824 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆˆ V โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
8565, 67, 77, 84syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
86 prex 5432 . . . . . 6 {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ V
8786a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ V)
8886prid2 4767 . . . . . . . . 9 {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}, {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}}
8988, 59eleqtrri 2832 . . . . . . . 8 {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
9089a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))
914, 6, 5zrhpsgnelbas 21153 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9217, 91mp3an2 1449 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9390, 92sylan2 593 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 22137 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9589, 94mp3an2 1449 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9611, 7ringcl 20075 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9722, 93, 95, 96syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
98 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})))
99 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ (๐‘˜โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›))
10099oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›) = (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))
101100mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))
102101oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))
10398, 102oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
10411, 103gsumsn 19824 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆˆ V โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
10565, 87, 97, 104syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))))
10685, 105oveq12d 7429 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))(+gโ€˜๐‘…)(((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))
107 eqidd 2733 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})
108 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
10915, 4, 5, 6, 108m2detleiblem5 22134 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) = (1rโ€˜๐‘…))
110107, 109sylan2 593 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) = (1rโ€˜๐‘…))
111 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})
1128, 7mgpplusg 19993 . . . . . . . 8 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
11315, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem3 22138 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} = {โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ} โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
11422, 111, 28, 113syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
115110, 114oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))))
11643prid1 4766 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ {1, 2}
117116, 15eleqtrri 2832 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ ๐‘
118117a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐‘)
1193eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
120119biimpi 215 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
121120adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1222, 11matecl 21934 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (1๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
123118, 118, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
124 prid2g 4765 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ {1, 2})
12557, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ {1, 2}
126125, 15eleqtrri 2832 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ ๐‘
127126a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 2 โˆˆ ๐‘)
1282, 11matecl 21934 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ ๐‘ โˆง 2 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (2๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
129127, 127, 121, 128syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13011, 7ringcl 20075 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (1๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (2๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13122, 123, 129, 130syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
13211, 7, 108ringlidm 20088 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
133131, 132syldan 591 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
134115, 133eqtrd 2772 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)))
135 eqidd 2733 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})
136 eqid 2732 . . . . . . 7 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
13715, 4, 5, 6, 108, 136m2detleiblem6 22135 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
138135, 137sylan2 593 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))
139 eqidd 2733 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})
14015, 4, 2, 3, 8, 112m2detleiblem4 22139 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} = {โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ} โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))
14122, 139, 28, 140syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))) = ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))
142138, 141oveq12d 7429 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›)))) = (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
143134, 142oveq12d 7429 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))(+gโ€˜๐‘…)(((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ})) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (({โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))))
1442, 11matecl 21934 . . . . . 6 ((2 โˆˆ ๐‘ โˆง 1 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (2๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
145127, 118, 121, 144syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1462, 11matecl 21934 . . . . . 6 ((1 โˆˆ ๐‘ โˆง 2 โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (1๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
147118, 127, 121, 146syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
14811, 7ringcl 20075 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (2๐‘€1) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (1๐‘€2) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
14922, 145, 147, 148syl3anc 1371 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
150 m2detleib.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
15115, 4, 5, 6, 108, 136, 7, 150m2detleiblem7 22136 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
15222, 131, 149, 151syl3anc 1371 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2))(+gโ€˜๐‘…)(((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2)))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
153106, 143, 1523eqtrd 2776 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 1โŸฉ, โŸจ2, 2โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {{โŸจ1, 2โŸฉ, โŸจ2, 1โŸฉ}} โ†ฆ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…)โ€˜((pmSgnโ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)) ยท ((mulGrpโ€˜๐‘…) ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜โ€˜๐‘›)๐‘€๐‘›))))))) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
15410, 63, 1533eqtrd 2776 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((1๐‘€1) ยท (2๐‘€2)) โˆ’ ((2๐‘€1) ยท (1๐‘€2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  Vcvv 3474   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947  โˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  โŸจcop 4634   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  1c1 11113  โ„•cn 12214  2c2 12269  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200   ฮฃg cgsu 17388  Mndcmnd 18627  invgcminusg 18822  -gcsg 18823  SymGrpcsymg 19236  pmSgncpsgn 19359  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  โ„คRHomczrh 21055   Mat cmat 21914   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mat 21915  df-mdet 22094
This theorem is referenced by:  lmat22det  32871
  Copyright terms: Public domain W3C validator