Theorem sumpr 15460

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sumpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
sumpr.3	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
sumpr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
sumpr.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumpr	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4648	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4564	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 9089	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		sumpr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
9		sumpr.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
10		sumpr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
11	10	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
12		sumpr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
13	12	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
14	11, 13	ralprg 4630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
15	9, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
16	8, 15	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ)
17	16	r19.21bi 3134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	3, 5, 7, 17	fsumsplit 15453	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
19	9	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
20	8	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
21	10	sumsn 15458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
23	9	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
24	8	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
25	12	sumsn 15458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	22, 26	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	18, 27	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869   + caddc 10874  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sumtp  15461  ehl2eudis  24586  sge0pr  43932  nnsum3primes4  45240  nnsum3primesgbe  45244