Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumpr 15115
 Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sumpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
sumpr.3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
sumpr.4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
sumpr.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumpr (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4611 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4531 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 8795 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 sumpr.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
9 sumpr.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
10 sumpr.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
1110eleq1d 2874 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
12 sumpr.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
1312eleq1d 2874 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
1411, 13ralprg 4595 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
159, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
168, 15mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ)
1716r19.21bi 3173 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
183, 5, 7, 17fsumsplit 15109 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
199simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
208simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2110sumsn 15113 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
2219, 20, 21syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
239simprd 499 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
248simprd 499 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2512sumsn 15113 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2623, 24, 25syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2722, 26oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
2818, 27eqtrd 2833 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4246  {csn 4528  {cpr 4530  (class class class)co 7145  Fincfn 8510  ℂcc 10542   + caddc 10547  Σcsu 15054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055 This theorem is referenced by:  sumtp  15116  ehl2eudis  24067  sge0pr  43201  nnsum3primes4  44474  nnsum3primesgbe  44478
 Copyright terms: Public domain W3C validator