MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumpr 15638
Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sumpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
sumpr.3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
sumpr.4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
sumpr.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumpr (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4674 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4590 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 9269 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 sumpr.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
9 sumpr.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
10 sumpr.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
1110eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
12 sumpr.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
1312eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
1411, 13ralprg 4656 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
159, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ)))
168, 15mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 ∈ ℂ)
1716r19.21bi 3233 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
183, 5, 7, 17fsumsplit 15631 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
199simpld 496 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
208simpld 496 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2110sumsn 15636 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
239simprd 497 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
248simprd 497 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2512sumsn 15636 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2623, 24, 25syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2722, 26oveq12d 7376 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
2818, 27eqtrd 2773 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  cun 3909  cin 3910  c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cc 11054   + caddc 11059  Σcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  sumtp  15639  ehl2eudis  24802  sge0pr  44721  nnsum3primes4  46066  nnsum3primesgbe  46070
  Copyright terms: Public domain W3C validator