Theorem cshwsdisj 17012

Description: The singletons resulting by cyclically shifting a given word of length being a prime number and not consisting of identical symbols is a disjoint collection. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

Assertion

Ref	Expression
cshwsdisj	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem cshwsdisj

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
3		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)))
4		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		necom 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 ↔ 𝑗 ≠ 𝑛)
7	6	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 → 𝑗 ≠ 𝑛)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ≠ 𝑛)
9		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
10	9	cshwshashlem3 17011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ≠ 𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗)))
11	10	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ≠ 𝑛)) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
12	3, 4, 5, 8, 11	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
13		disjsn2 4664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
15	14	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
17	2, 16	pm2.61ine 3012	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
18	17	ralrimivva 3176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
19		oveq2 7360	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑊 cyclShift 𝑛) = (𝑊 cyclShift 𝑗))
20	19	sneqd 4587	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {(𝑊 cyclShift 𝑗)})
21	20	disjor 5075	. 2 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
22	18, 21	sylibr 234	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  {csn 4575  Disj wdisj 5060  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   cyclShift ccsh 14697  ℙcprime 16584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-reps 14678  df-csh 14698  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-phi 16679

This theorem is referenced by:  cshwshashnsame  17017