Theorem cshwsdisj 16728

Description: The singletons resulting by cyclically shifting a given word of length being a prime number and not consisting of identical symbols is a disjoint collection. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

Assertion

Ref	Expression
cshwsdisj	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem cshwsdisj

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 863	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
3		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)))
4		simprrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5		simprrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		necom 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 ↔ 𝑗 ≠ 𝑛)
7	6	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 → 𝑗 ≠ 𝑛)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ≠ 𝑛)
9		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
10	9	cshwshashlem3 16727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ≠ 𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗)))
11	10	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ≠ 𝑛)) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
12	3, 4, 5, 8, 11	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
13		disjsn2 4645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
15	14	olcd 870	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
17	2, 16	pm2.61ine 3027	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
18	17	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
19		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑊 cyclShift 𝑛) = (𝑊 cyclShift 𝑗))
20	19	sneqd 4570	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {(𝑊 cyclShift 𝑗)})
21	20	disjor 5050	. 2 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
22	18, 21	sylibr 233	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558  Disj wdisj 5035  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   cyclShift ccsh 14429  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-reps 14410  df-csh 14430  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-phi 16395

This theorem is referenced by:  cshwshashnsame  16733