Theorem cshwsdisj 17154

Description: The singletons resulting by cyclically shifting a given word of length being a prime number and not consisting of identical symbols is a disjoint collection. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

Assertion

Ref	Expression
cshwsdisj	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem cshwsdisj

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 880	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
2	1	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
3		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)))
4		simprrl 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5		simprrr 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6		necom 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 ↔ 𝑗 ≠ 𝑛)
7	6	birani 508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ≠ 𝑛)
8		cshwshash.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
9	8	cshwshashlem3 17153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ≠ 𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗)))
10	9	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ≠ 𝑛)) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
11	3, 4, 5, 7, 10	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
12		disjsn2 4680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
14	13	olcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
15	14	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
16	2, 15	pm2.61ine 3047	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
17	16	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
18		oveq2 7416	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑊 cyclShift 𝑛) = (𝑊 cyclShift 𝑗))
19	18	sneqd 4603	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {(𝑊 cyclShift 𝑗)})
20	19	disjor 5092	. 2 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
21	17, 20	sylibr 237	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4591  Disj wdisj 5077  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546   cyclShift ccsh 14821  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-reps 14802  df-csh 14822  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-phi 16821

This theorem is referenced by:  cshwshashnsame  17159